14.1 矩阵幂级数-Toy模板网

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矩阵的幂

现在讨论下矩阵的n次方的问题，比如下面的矩阵：
$A^ 1 = \begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\ 1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2\\ \end{pmatrix}\\ A^ 2 = \begin{pmatrix}6 & 5 & -5\\ 5 & 6 & -5\\ -5 & -5 & 6\\ \end{pmatrix}\\ A^ 3 = \begin{pmatrix}22 & 21 & -21\\ 21 & 22 & -21\\ -21 & -21 & 22\\ \end{pmatrix}\\\$
后面的我就不算下去了，越算越大。再看看这个矩阵：
$A^ 1 = \begin{pmatrix}0.1 & 0.2 & 0\\ 0.5 & 0.5 & 0.5\\ 0 & 0.2 & 0.5\\ \end{pmatrix} \\ A^ 2 = \begin{pmatrix}0.11 & 0.12 & 0.1\\ 0.3 & 0.45 & 0.5\\ 0.1 & 0.2 & 0.35\\ \end{pmatrix} \\ A^ 3 = \begin{pmatrix}0.071 & 0.102 & 0.11\\ 0.255 & 0.385 & 0.475\\ 0.11 & 0.19 & 0.275\\ \end{pmatrix} \\ A^ 4 = \begin{pmatrix}0.058 & 0.087 & 0.106\\ 0.218 & 0.338 & 0.43\\ 0.106 & 0.172 & 0.232\\ \end{pmatrix} \\ \vdots\\ A^ {\infty} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}$
就可以看到，数字越来越小了。为什么有的矩阵的幂越来越大，有的却越来越小呢？这是由什么决定的呢？

矩阵幂的极限

矩阵的幂的极限由什么确定？是由矩阵的谱半径 $\rho(A)$ 决定的。那么什么是矩阵的谱半径？谱半径的定义是矩阵所有的特征值的模长的最大值。那么为什么会是这样？如果学习了约当标准型就很容易理解了，对于任意一个矩阵，都可以求出它的约当标准型，也就是 $A=P^{-1}JP$ ,那么就可以这样计算了：
$\lim_{n\to\infty}A^n=\lim_{n\to\infty}(P^{-1}J^{n}P)=P^{-1}(\lim_{n\to\infty}J^{n})P$
而 $\lim_{n\to\infty}J^{n}$ 这个极限就取决于约当标准型的对角线，如果都小于1，那么就存在极限且极限为0.约当标准型的对角线上就是矩阵的所有特征值。

谱半径与范数

计算特征值是十分麻烦的，所以计算谱半径也是十分麻烦的。那么实际中有没有好的办法呢？可以利用矩阵的范数来判断。我们知道对于任意矩阵范数，有以下定理：
$\rho(A)=\inf_{\alpha}\parallel A\parallel_{\alpha}$
也就是说,所有矩阵的所有范数都要大于等于谱半径：
$\rho(A)\le \parallel A\parallel_{\alpha}$
所以实际应用中，用这个就可以快速地判断一个矩阵幂的极限是否存在。比如列和范数（1-范数），行和范数（无穷范数）就是非常好的判断方法。第一步肉眼扫一下，如果有模长和小于1的行或列，根据上述不等式，那么谱半径一定小于1.所以矩阵幂的极限就一定收敛。

矩阵幂级数

矩阵幂级数和数学分析里的幂级数定义差不多，不过是把变量x换成了矩阵A而已。如果谱半径小于1，那么矩阵幂级数存在，并且有以下公式：
$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^nA^i=(E-A)^{-1}$
证明我就不证明了。**注意，i从0开始，也就意味着第一项是单位矩阵E.**其实把 $A$ 看出一个小于1的正数，就非常容易理解这个公式：
$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^nx^i=\frac1{1-x}$
不过是等比数列的前 $n$ 项和吗？
对于粉丝提的一个问题，如果谱半径小于1，那么下列式子收敛吗？
$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^niA^i$
这个式子展开后是什么？是这样的：
$\sum_{i=0}^niA^i=0+A+2A^2+\dots+nA^n\\$
因为矩阵和实数一样，他的加法和乘法组成了域，根据域论，所以矩阵完全可以看成实数：
$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^nix^i=0+x+2x^2+\dots+nx^n\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{x(1-x^n)}{(1-x)^2}=\frac{x}{(1-x)^2}$
怎么证明呢？可以这样：
$S_n=0+x+2x^2+\dots+nx^n\\ \frac{S_n}{x}=0+1+2x+\cdots+nx^{n-1}\\ \frac{S_n}{x}-S_n=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}-nx^n\\ \lim_{n\to\infty}(\frac{S_n}{x}-S_n)=\lim_{n\to\infty}(\frac{1-x^{n-1}}{1-x}-nx^n)\\$
在两边取极限的情况下， $nx^n$ 是一个无穷小量，所以可以省略。于是有：
$\lim_{n\to\infty}S_n\frac{1-x}{x}=\lim_{n\to\infty}\frac{1-x^{n-1}}{1-x}\\ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{x(1-x^{n-1})}{(1-x)^2}\\ =\frac{x}{(1-x)^2}\\$
再换回矩阵，所以粉丝的这个问题是有答案的，在谱半径小于1的情况下：
$\sum_{i=0}^niA^i=A(E-A)^{-2}$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-530648.html