最小二乘法的几种拟合函数-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了最小二乘法的几种拟合函数。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

1.最小二乘法的原理和解决的问题

2.最小二乘法的公式解法

2.1 拟合h(x) = a * x

2.2 拟合 h(x) = a0 + a1*x

2.3拟合 h(x) = a0 + a1 *x + a3 * x^3

因为采用矩阵法来进行最小二乘法的函数拟合时，会出现系数矩阵的逆矩阵不存在的情况有一定的局限性，所以本篇对公式法进行简单说明。并用c++进行代码的书写。

1.最小二乘法的原理和解决的问题

最下二乘法的形式：

目标函数 = （观测值 - 理论值）^2

观测值就是我们实际数据中的值，理论值就是我们进行函数拟合后用拟合函数计算出的值。

本篇中我们以最简单的线性回归为例进行说明。

我们有n组样本（Xi，Yi） i = （1，2，3，……，n)

拟合函数的形式：h(x) = a0 + a1 * x + a2 *x^2 + a3 *x^3.

最小二乘法要做的就是找到最小的一组 a(a0 、a1、a2、a3……），使得

（h(x) - yi）^2最小。方法就是对各个系数求偏导，并让偏导数等于0即可。

2.最小二乘法的公式解法

2.1 拟合h(x) = a * x

对a求偏导得：

2 * = 0

化简得：a = Lxy / Lxx

其中 Lxx = ， Lxy = ，ex为x的均值，ey为y的均值

代码如下：

double calculate(std::vector<double> xs,std::vector<double> ys){

    int len = xs.size();

    double Lxy = 0;
    double Lxx = 0;

    for(int i = 0; i < len ; i++){
        Lxy += xs[i] * ys[i];
        Lxx += qPow(xs[i],2);
    }

    double ret = 0;
    ret = Lxy / Lxx;
    return ret;
}

2.2 拟合 h(x) = a0 + a1*x

对a0和a1分别求偏导的得：

a0： = 0

a1: 2 * = 0

联立两个方程解得：a0 = ey - a1 * ex

a1 = Lxy / Lxx（ex、ey、Lxy 和Lxx的含义同上）

代码如下：

double *calculate1(std::vector<double> xs,std::vector<double> ys){
    int len = xs.size();

    //结果
    double *ret = new double[2];

    double ex = 0;//x坐标的均值
    double ey = 0;//y坐标的均值
    double Lxx = 0;//x坐标的平方差*len
    double Lxy = 0;//(Xi-ex)*(Yi-ey)

    //辅助计算
    double xsum = 0;//x的和
    double ysum = 0;//y的和

    //计算xusm
    for(int i = 0; i < len ; i++){
        xsum += xs[i];
        ysum += ys[i];
    }
    ex = xsum / len;
    ey = double(ysum / len);
    for(int i = 0; i < len ; i++){
        Lxx += pow(xs[i]-ex,2);
        Lxy += (xs[i]-ex)*(ys[i]-ey);
    }


    ret[1] = Lxy / Lxx;//计算a1
    ret[0] = ey - ret[1]*ex;//计算a0
    return ret;
}

2.3拟合 h(x) = a0 + a1 x + a3 x^3

对a0、a1和a3分别求偏导的得：

a0: 2* = 0;

a1: 2* = 0;

a3 : 2* = 0

联立方程组解得：

a0 = ey - a1*ex - a3 * ex^3( ey为y 的均值，ex 为x的均值，ex^3为x^3的均值）

a1 = (Lxy * L(x^3)(x^3) - Lx^3 y * Lxy) / (Lxx *L(x^3)(x^3) - Lxy*Lyx)

a3 = (Lx^3y * Lxx - Lxy * L(x^3)*x) / (Lxx*L(x^3*x^3) - Lxy*Lyx)

Lxy、Lxx含义同上

L(x^3)(x^3)表示：

Lx3y表示：

代码如下：

double *calculate(std::vector<double> xs,std::vector<double> ys){

    int len = xs.size();

    double ey = 0;//y的均值
    double ex1 = 0;//x的均值
    double ex3 = 0;//x的三次方的均值
    double L11 = 0;//x的平方差
    double L12 = 0;//x的3次方的平方差*len
    double L21= 0;//等于L12
    double L1y = 0;//(Xi-ex)*(Yi-ey)的和
    double L2y = 0;//(Xi^3-ex3)*(Yi-ey)的和
    double L22 = 0;//x的3次方的平方差*len
    double Lyy = 0;//y的平方差*len

    double ysum = 0;
    double xsum1 = 0;
    double xsum3 = 0;

    //计算均值
    for(int i = 0; i < len; i++){

        ysum += ys[i];//y的总和

        xsum1 += xs[i];//x的总和
        xsum3 += std::pow(xs[i],3);//x的3次方的总和
    }
    //计算各个值
    ey = ysum / len;
    ex1 = xsum1 / len;
    ex3 = xsum3 / len;

    for(int i = 0 ; i < len ;i++){
        L11 += qPow(xs[i]-ex1,2);//x的方差*len

        L12 += (xs[i]-ex1)*(qPow(xs[i],3)-ex3);

        L1y += (xs[i]-ex1)*(ys[i]-ey);
        L2y += (qPow(xs[i],3)-ex3)*(ys[i]-ey);

        L22 += qPow((qPow(xs[i],3)-ex3),2);//x的3次方的方差*len

        Lyy += qPow(ys[i]-ey,2);
    }
    L21 = L12;
    double ret[3];
    ret[2] = (L2y * L11 - L1y * L21)/(L11 * L22 - L12 * L21);
    ret[1] = (L1y * L22 - L2y * L12)/(L11 * L22 - L12 * L21);
    ret[0] = ey - ret[1]*ex1 - ret[2]*ex3;
   
    return ret;
}

以上是我在编写一个插值函数时遇到矩阵法不可以求出拟合函数后，从原始的概念入手进行的函数拟合，如有差错之处欢迎批评指正。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-534605.html

到了这里，关于最小二乘法的几种拟合函数的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！