场强与场强的叠加
积分求场强与电场力
利用积分求场强
①对面投影，使面变成线
②建立
x
,
y
x,y
x,y坐标系
{
直线
:
x
轴与线重合
圆弧
:
原点位于圆心
\begin{cases} 直线:x轴与线重合 \\ 圆弧:原点位于圆心 \end{cases}
{直线:x轴与线重合圆弧:原点位于圆心
③直线:选择线上任意一点，点宽度为
d
x
dx
dx,到
O
O
O距离为
x
x
x，求出该点对待求点的场强
d
E
dE
dE。
弧：选择线上任意一点，点对应角度为
d
φ
dφ
dφ，求出该点对待求点的场强
E
E
E。
④求出
d
E
dE
dE在
x
,
y
x,y
x,y轴的分量
d
E
x
,
d
E
y
dE_x,dE_y
dEx,dEy。
⑤对
d
E
x
,
d
E
y
dE_x,dE_y
dEx,dEy积分，求出
E
x
,
E
y
E_x,E_y
Ex,Ey，并合并。
电场力/库仑力
| 受力的电荷 | 力的大小 | 力的方向 |
|---|---|---|
| 点电荷 | F = E q F=Eq F=Eq | |
| 带电体 | ①建立坐标轴坐标系/坐标系 ②受力体上取某点，求出其电量 d q dq dq ③求出场源电荷在点处的场强 E E E ④ F = E d q F=Edq F=Edq在带电体上的积分 |
遵循同性相斥，异性相吸的规律 |
场强的注意点
①描述静电场性质的两个基本物理量是
电场强度
‾
\underline{电场强度}
电场强度与
u
n
d
e
r
l
i
n
e
电势
underline{电势}
underline电势，
它们的定义式是
E
⃗
=
F
⃗
q
0
‾
\underline{\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0}}
E=q0F和
∫
A
点
电势零点
E
⃗
d
l
⃗
‾
\underline{\int_{A点}^{电势零点}{\vec{E}d\vec{l}}}
∫A点电势零点Edl。
②场强是矢量，既有大小又有方向。
③试验电荷是正电荷时，其所受电场力方向与场强方向相同 。
试验电荷是负电荷时，其所受电场力方向与场强方向相反。
电通量，高斯定理
求通过某个面的电通量
当面与
E
E
E平行时，
φ
e
=
0
φ_e=0
φe=0。
当有多个面时，求各个面的电通量，再将结果相加。
用高斯定理 φ e = 1 ε 0 ∑ q 内 φ_e=\frac{1}{ε_0}\sum_{}^{}q_内 φe=ε01∑q内求场强。
电通量，高斯定理注意点
电介质中的高斯定理与静电能
用电介质中的高斯定理求场强
①当作没有电介质，求出场强
②将式子中的
φ
e
φ_e
φe改成
ε
r
∮
s
E
d
s
ε_r∮_sEds
εr∮sEds,并给结果乘上
ε
r
ε_r
εr。
求极化电荷，束缚电荷
①求出电介质中真是的场强
E
E
E
②假设没有电介质，求出没有时的场强
E
无介质
E_{无介质}
E无介质。
③将
E
无
介质
E_无介质
E无介质表达式里的
q
q
q或
σ
σ
σ换成
q
极化
或
σ
极化，该场强记作
E
极化
q_{极化}或σ{极化}，该场强记作E_{极化}
q极化或σ极化，该场强记作E极化
④根据
E
=
E
无介质
+
E
极化
E=E_{无介质}+E_{极化}
E=E无介质+E极化求出
q
极化
或
σ
极化
q_{极化}或σ_{极化}
q极化或σ极化。
电介质中高斯定理注意
①静电场的高斯定理有两种形式：
∮
S
D
∗
d
s
=
∑
q
∮_SD*ds=\sum{q}
∮SD∗ds=∑q,其中
q
q
q指的是高斯面
S
S
S内的自由电荷;
∮
S
E
∗
d
s
=
1
ϵ
0
∑
q
∮_SE*ds=\frac{1}{\epsilon_0}\sum{q}
∮SE∗ds=ϵ01∑q,其中
q
q
q指的是高斯面
S
S
S内的所有电荷，在电介质，
q
q
q包括自由电荷和极化电荷两部分。
②电介质中的电位移
D
D
D与自由电荷和极化电荷的分布有关。
③电介质充满整个电场且自由电荷的分布不发生变化时：
电介质中场强等于没有电介质时该点场强的
1
σ
r
倍
电介质中场强等于没有电介质时该点场强的\frac{1}{\sigma_r}倍
电介质中场强等于没有电介质时该点场强的σr1倍
静电能的能量/静电能
①求出场强
E
E
E（用距离r表示）
②体积微分
d
V
=
4
π
r
2
d
r
dV=4πr^2dr
dV=4πr2dr
③静电能
W
=
∫
V
1
2
ϵ
0
ϵ
r
E
2
d
V
W=\int_{V}\frac{1}{2}\epsilon_0\epsilon_rE^2dV
W=∫V21ϵ0ϵrE2dV
V指要求静电能的空间
电势，电势能
根据场强求电势
①求出场强
E
E
E（用距离r表示）
②如果题目指定了电势零点，则直接进行下一步；
如果没有，则选择无穷远处为电势零点。
③
电势
V
=
∫
待求点的
r
值
电势零点的
r
值
E
∗
d
r
电势V=\int_{待求点的r值}^{电势零点的r值} {E*dr}
电势V=∫待求点的r值电势零点的r值E∗dr
电势差/电压
①求出场强
E
E
E（用距离r表示）
②
U
a
b
=
U
a
−
U
b
=
∫
a
的
r
值
b
的
r
值
E
∗
d
r
U_{ab}=U_a-U_b=\int_{a的r值}^{b的r值} {E*dr}
Uab=Ua−Ub=∫a的r值b的r值E∗dr
取电荷元求电势
①对面投影，使面变成线。
②建立x,y坐标轴
{
直线：
x
轴与线重合
弧：原点位于圆点
\begin{cases} 直线：x轴与线重合\\ 弧：原点位于圆点 \end{cases}
{直线：x轴与线重合弧：原点位于圆点
③
{
直线：选择线上任意一点，点宽度为
d
x
，到
O
距离为
x
，求出该点的电量
d
q
弧：选择线上任意一点，点对应角度为
d
φ
，求出该点的电量
d
q
\begin{cases} 直线：选择线上任意一点，点宽度为dx，到O距离为x，求出该点的电量dq\\ 弧：选择线上任意一点，点对应角度为dφ，求出该点的电量dq \end{cases}
{直线：选择线上任意一点，点宽度为dx，到O距离为x，求出该点的电量dq弧：选择线上任意一点，点对应角度为dφ，求出该点的电量dq
④求出点到待求点的距离
r
待求点
r_{待求点}
r待求点
⑤以无穷远处为电势零点，得出 d U = d q 4 π ϵ 0 r 待求点 dU=\frac {dq}{4π\epsilon_0r_{待求点}} dU=4πϵ0r待求点dq
⑥ U = ∫ d U U=\int{dU} U=∫dU
电势/电势差的注意点
描述静电场性质的两个基本物理量是 电场强度 ‾ \underline{电场强度} 电场强度与 电势 ‾ \underline{电势} 电势，他们的定义式是 E ⃗ = F ⃗ q 0 ‾ \underline{\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0}} E=q0F和 U A 点 = ∫ A 点 电势零点 E ⃗ ∗ d l ⃗ ‾ \underline{U_{A点}=\int_{A点}^{电势零点}{\vec{E}*d\vec{l}}} UA点=∫A点电势零点E∗dl。
①电势会沿着电场线的方向变小。
②一点的电势不是一成不变的，会随着电势零点的变化而变化。
③无论电势零点选在哪里，两点间的电势差是不会变的。
④场强是电势的微分
{ E x = − ∂ U ∂ x E y = − ∂ U ∂ y E z = − ∂ U ∂ z \begin{cases} E_x=-\frac{∂U}{∂x}\\ E_y=-\frac{∂U}{∂y}\\ E_z=-\frac{∂U}{∂z} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧Ex=−∂x∂UEy=−∂y∂UEz=−∂z∂U
电势能
| 电荷 | 电势能 |
|---|---|
| 点电荷 q q q | 电势能 |
| 带电体 | ①建立坐标轴/坐标系 ②待求件上取某个点，求出其电量 d q dq dq ③求出点处，其他带电体的电势 ④ W = ∫ U d q W=\int{Udq} W=∫Udq |
电场力对位移的电荷做功
①求出场源电势 V V V（用距离 r r r表示）
②找出受力电荷 q q q的起点距离 r 1 r_1 r1,终点距离 r 2 r_2 r2
③电场力做功 A 12 = q ( U r 2 − U r 2 ) A_{12}=q(U_{r2}-U_{r2}) A12=q(Ur2−Ur2)(若场源由多部分组成，则依次计算各部分的做功，最后叠加起来)
静电平衡
静电平衡的导体
①若两带电体放在一起，则：
a、带电体中的电荷都会跑到表面
b、可以吸引另一个带电体中相反的电荷
c、带电体除表面外的部分 ∑ q = 0 \sum{q}=0 ∑q=0
d、带电体除表面外的部分 E E E处处为0
e、带电体各处电势均相等
②若带电体接地，则靠近另一带电体这侧和没接地一样，而远离另一带电体这侧变为中性（通过该侧所有电荷入地/从大地进入等量的向电荷）
有静电平衡的导体，求场强
①根据下表，画出封闭曲面
②算出封闭曲面的电通量 Φ e \Phi_e Φe
③求出封闭曲面内的电荷量 ∑ q 内 \sum{q_内} ∑q内
④用高斯定理 Φ e = 1 ϵ 0 ∑ q 内 \Phi_e=\frac {1}{\epsilon_0}\sum{q_内} Φe=ϵ01∑q内
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有静电平衡的导体，求电势
以无穷远处为电势零点，则 U = ∫ r + ∞ E d r U=\int_r^{+\infty}{Edr} U=∫r+∞Edr
电容
平板板电容器
若平行班电容器电容器两板相对面积为 S S S,间距为 d d d，两板间介质的相对介电常数为 ϵ r \epsilon_r ϵr
一块板的带电量为 Q Q Q，电荷面密度为 σ \sigma σ
两板间场强为
E
E
E、电压为
U
U
U、相互作用力为
F
F
F
C
=
{
Q
U
ϵ
0
ϵ
r
S
d
,
Q
=
C
U
,
E
=
{
σ
ϵ
0
ϵ
r
U
d
2
F
Q
,
U
=
{
Q
C
E
d
,
F
=
E
Q
2
(
1
μ
F
=
1
0
−
6
F
,
1
p
F
=
1
0
−
12
F
)
C=\begin{cases} \frac{Q}{U}\\ \frac{\epsilon_0\epsilon_rS}{d} \end{cases} ,Q=CU,E=\begin{cases} \frac{\sigma}{\epsilon_0\epsilon_r}\\ \frac Ud\\ \frac {2F}Q \end{cases} ,U=\begin{cases} \frac QC\\ Ed \end{cases} ,F=\frac{EQ}2\\ (1\mu F=10^{-6}F,1pF=10^{-12}F)
C={UQdϵ0ϵrS,Q=CU,E=⎩
⎨
⎧ϵ0ϵrσdUQ2F,U={CQEd,F=2EQ(1μF=10−6F,1pF=10−12F)
平行板中间有介质，求总电容
若两板间有多种东西，且每种的厚度分别为 d 1 , d 2 , … , d n d1,d2,\ldots,dn d1,d2,…,dn
则相对介电常数为 ϵ r 1 , ϵ r 2 , … , ϵ r n \epsilon_{r1},\epsilon_{r2},\ldots,\epsilon_{rn} ϵr1,ϵr2,…,ϵrn
则 c = ϵ 0 S d 1 ϵ r 1 + d 2 ϵ r 2 + … + d n ϵ r n c=\frac{\epsilon_0S}{\frac{d_1}{\epsilon_{r1}}+\frac{d_2}{\epsilon_{r2}}+\ldots+\frac{d_n}{\epsilon_{rn}}} c=ϵr1d1+ϵr2d2+…+ϵrndnϵ0S
(若某种为金属板，则 ϵ r = + ∞ \epsilon_r=+\infty ϵr=+∞)
圆柱形电容器，球形电容器
圆柱形电容器中 R 2 > R 1 R_2>R_1 R2>R1
电容器内部分区域有介质，且介质面与电容器垂直，求总电容
算出各段的电容 C 1 , C 2 , C 3 , … C_1,C_2,C_3,\ldots C1,C2,C3,…
C = C 1 + C 2 + C 3 + … C=C_1+C_2+C_3+\ldots C=C1+C2+C3+…
电容器储存的电场能
W = Q 2 2 C = 1 2 Q C = 1 2 C U 2 W=\frac{Q^2}{2C}=\frac 12QC=\frac 12CU^2 W=2CQ2=21QC=21CU2
电容器两极间的位移电流
I d = { ϵ r ϵ 0 d E d t S c d U d t 方向与 E , U 相反 I_d=\begin{cases} \epsilon_r\epsilon_0\frac{dE}{dt}S\\ c\frac{dU}{dt} \end{cases}\\ 方向与E,U相反 Id={ϵrϵ0dtdEScdtdU方向与E,U相反
磁场
利用表格求磁感应强度
求通电导线段/射线的磁感应强度
若代求点在导线或其延长线上，则磁感应强度为0；若不在，则按下列步骤计算：
①按电流方向找出导线的起点，终点及待求点到导线的距离为 r r r
②待求点与起点连线，连线与导线的电流方向的延长线的夹角为 θ 1 \theta_1 θ1
③将待求点与终点连线，连线与导线的电流方向的延长线的夹角为 θ 2 \theta_2 θ2
④ B = μ 0 I 4 π r ( c o s θ 1 − c o s θ 2 ) B=\frac{\mu_0I}{4\pi r}(cos\theta_1-cos\theta_2) B=4πrμ0I(cosθ1−cosθ2)
求长为 d l dl dl的通电短导线的磁感应长度
若待求点在导线或其延长线上，则 d l dl dl长导线的磁感应强度为0,
若不在，则 B = μ 0 I d l s i n θ 4 π r 2 ( θ 是 I 方向与 r 的夹角 ) B=\frac{\mu _0Idlsin\theta}{4\pi r^2}(\theta是I方向与r的夹角) B=4πr2μ0Idlsinθ(θ是I方向与r的夹角)
利用积分求磁感应强度
①选择与 I I I纯质，且经过待求点的方向，建立 x x x坐标轴。
②在坐标轴上去宽度为 d x dx dx，与 O O O距离为 x x x的一点，求出该点对应通电部分的电流 d I dI dI
③求出该点对应通电部分在待求点的磁感应强度 d B dB dB
④ B = ∫ d B B=\int{dB} B=∫dB
利用安培环路定理求 B B B
①按照下表，判断出 B B B的方向，构造出相对应的闭合曲线 l l l，并随便假设个 l l l的方向
②求出
∮
B
d
l
\oint{Bdl}
∮Bdl
∮
B
d
l
=
B
∗
(
l
与
B
平行且同向部分
−
l
与
B
平行且反向部分
)
\oint{Bdl}=B*(l_{与B平行且同向部分}-l_{与B平行且反向部分})
∮Bdl=B∗(l与B平行且同向部分−l与B平行且反向部分)
③求出闭合曲线内的电流
∑
I
内
\sum{I_内}
∑I内
右手四指按闭合曲线的方向弯曲
电流方向与伸直的拇指方向相同时 ∑ I 内 \sum {I_内} ∑I内取正，
相反时 ∑ I 内 \sum {I_内} ∑I内取负
④用 ∮ B d l = μ 0 ∑ I 内 \oint{Bdl}=\mu _0\sum{I_内} ∮Bdl=μ0∑I内求出代求的磁感应强度
磁场里的力
判断有速度的电荷在磁场中收的力（洛仑兹力）
大小： F = q v B s i n θ ( 其中 θ 是 v 与 B 的夹角 , 0 ≤ θ ≤ π ) F=qvBsin\theta(其中\theta是v与B的夹角,0\leq\theta\leq\pi) F=qvBsinθ(其中θ是v与B的夹角,0≤θ≤π)
方向：正电荷：右手手腕到手掌是速度方向，手指根到指尖是磁场方向，此时拇指方向即是力的方向
负电荷：与正电荷相反
带电粒子在磁场作用下运动
带电粒子 q q q以初速度 v 0 v_0 v0进入磁场中
情况①： v 0 / / B v_0//B v0//B：粒子仍以 v 0 v_0 v0作匀速直线运动
情况②：
v
0
⊥
B
v_0\bot B
v0⊥B：粒子在垂直
B
B
B的平面内，以$ v_0$作匀速圆周运动。
运动半径：
R
=
m
v
0
q
B
运动周期：
T
=
2
π
m
q
B
(
式中
m
为粒子质量
)
运动半径： R=\frac{mv_0}{qB}\\ 运动周期： T=\frac{2\pi m}{qB}\\ (式中m为粒子质量)
运动半径：R=qBmv0运动周期：T=qB2πm(式中m为粒子质量)
通电导线在磁场中受的力（安培力）
大小： F = I l s i n θ ( 式中 l 为电流起点到电流终点的直线距离， θ 为电流起点到电流终点的方向与 B 的夹角， 0 ≤ θ ≤ π ) F=Ilsin\theta(式中l为电流起点到电流终点的直线距离，\theta为电流起点到电流终点的方向与B的夹角，0 \leq\theta\leq\pi ) F=Ilsinθ(式中l为电流起点到电流终点的直线距离，θ为电流起点到电流终点的方向与B的夹角，0≤θ≤π)
方向：让右手手腕到手掌与电流起点到终点方向一致，让手指根到指尖的方向与磁场方向一致，此时拇指方向就是所受安培力的方向。
载流线圈的磁矩 m ⃗ \vec{m} m ，收到的力矩 M ⃗ \vec{M} M
m ⃗ { 大小 : m = N I S ( N 为线圈匝数， S 为线圈面积 ) 方向 : 右手四指按电流 I 方向弯曲时，伸直的拇指表示 m ⃗ 的方向 \vec{m}\begin{cases} 大小:m=NIS(N为线圈匝数，S为线圈面积)\\ 方向:右手四指按电流I方向弯曲时，伸直的拇指表示\vec{m}的方向 \end{cases} m{大小:m=NIS(N为线圈匝数，S为线圈面积)方向:右手四指按电流I方向弯曲时，伸直的拇指表示m的方向
M ⃗ { 大小 : M = m B s i n θ ( θ 为 m ⃗ 与 B ⃗ 的夹角 , 0 ≤ θ ≤ π ) 方向 : 可使 m ⃗ 的方向接近 B ⃗ 的方向的转向 \vec{M}\begin{cases} 大小:M=mBsin\theta(\theta为\vec{m}与\vec{B}的夹角,0\leq\theta\leq\pi)\\ 方向:可使\vec{m}的方向接近\vec{B}的方向的转向 \end{cases} M{大小:M=mBsinθ(θ为m与B的夹角,0≤θ≤π)方向:可使m的方向接近B的方向的转向
霍尔效应
大小： V = A H I B d ( A H 为霍尔系数，其大小与板本身有关 , d 为导体板与 B 平行那个边的长度 ) V=A_H\frac{IB}{d}(A_H为霍尔系数，其大小与板本身有关,d为导体板与B平行那个边的长度) V=AHdIB(AH为霍尔系数，其大小与板本身有关,d为导体板与B平行那个边的长度)
方向：右手手腕到手掌与电流方向一致，手指根到指尖与磁场方向一致，拇指方向指向的面是电势较高的一侧
磁介质
判断三种磁介质
| 磁介质 | 相对磁导率 μ r \mu _r μr的情况 |
|---|---|
| 抗磁质 | μ r < 1 \mu _r<1 μr<1 |
| 顺磁质 | μ r > 1 \mu _r>1 μr>1 |
| 铁磁质 (铁磁质其实算是顺磁质的一种特殊情况，因其用途广，故单独命名一类) |
μ
r
>
>
1
\mu _r>>1
μr>>1 且会随着磁场 B B B的变化而变化 |
管内有磁介质，求螺线管内的磁感应强度，磁场强度
管内磁感应强度
大小： B = μ 0 μ r n I B=\mu _0\mu _r n I B=μ0μrnI
其中： μ r \mu _r μr指的是管内磁介质的相对磁导率， n n n指的是单位长度上线圈的匝数，等于 总匝数 总管长 \frac{总匝数}{总管长} 总管长总匝数
管内磁场强度
大小： H = n I H=n I H=nI
其中， n n n指的是单位长度上线圈的匝数，等于 总匝数 总管长 \frac{总匝数}{总管长} 总管长总匝数
方向：与 B B B一致
磁介质的其他两个属性：
磁导率： μ = μ r μ 0 \mu=\mu _r\mu_0 μ=μrμ0
磁化率： x = μ r − 1 x=\mu _r-1 x=μr−1
用磁介质中的安培环路定理求磁场强度与磁感应强度
①按照下表，判断出 H H H的方向，构造出相对应的闭合曲线 I I I，并随便假设个 I I I的方向。
②求出 ∮ L H d l \oint_L{Hdl} ∮LHdl
∮ L H d l = H ∗ ( l 与 H 平行且同向部分 − l 与 H 平行且反向部分 ) \oint_L{Hdl}=H*(l_{与H平行且同向部分}-l_{与H平行且反向部分}) ∮LHdl=H∗(l与H平行且同向部分−l与H平行且反向部分)
③求出闭合曲线内的电流 ∑ I 内 \sum { I_内} ∑I内
右手四指按闭合曲线的方向弯曲，电流方向与伸直的拇指方向相同时， ∑ I 内 \sum { I_ 内} ∑I内取正，相反时 ∑ I 内 \sum { I_ 内} ∑I内取反。
④用 ∮ L H d l = ∑ I 内 \oint_L{Hdl}=\sum {I _ 内} ∮LHdl=∑I内，求出 H H H，用 B = μ 0 μ r H B=\mu _ 0 \mu _ rH B=μ0μrH求出 B B B（ B B B和 H H H方向一致）
求束缚电流/磁化电流
①求磁介质中的 B B B;
②求出磁介质在代求表面处的 B 表面 B_{表面} B表面
③联立下列三个方程，解出束缚电流密度
j
′
j^{'}
j′
j
′
=
M
c
o
s
θ
M
=
μ
r
−
1
μ
0
μ
r
B
表面
θ
=
0
…
}
⟹
j
′
=
…
(
j
′
值为正时束缚电流与导体内的电流同向，
j
′
值为负时束缚电流与导体内的电流反向
)
\left. \begin{matrix} j^{'}=Mcos\theta\\ M=\frac{\mu _r-1}{\mu _0 \mu_r}B_{表面}\\ \theta=0 \end{matrix}\ldots \right\}\implies j^{'}=\ldots\\ (j^{'}值为正时束缚电流与导体内的电流同向，j^{'}值为负时束缚电流与导体内的电流反向)
j′=McosθM=μ0μrμr−1B表面θ=0…⎭
⎬
⎫⟹j′=…(j′值为正时束缚电流与导体内的电流同向，j′值为负时束缚电流与导体内的电流反向)
电磁感应
求通过某个面的磁通量
| 情况 | 磁通量 Φ \Phi Φ |
|---|---|
| 平面法线方向与 B B B方向夹角为 θ \theta θ |
P
h
i
=
±
B
∗
S
c
i
n
θ
Phi=\pm B*Scin\theta
Phi=±B∗Scinθ = ± B ∗ S ⊥ =\pm B*S_{\bot} =±B∗S⊥ |
| 封闭曲面 | Φ = 0 \Phi=0 Φ=0 |
(若面为封闭面，则 B B B穿出为正，反之为负)
利用积分通过某个面的磁通量
①建立垂直于 I I I的 x x x轴， O O O点在 I I I上
②在代求面任取一窄长条，对应宽度为 d x dx dx，与 I I I的距离为 x x x，求出窄长条的面积 d S dS dS
③求出 I I I在窄长条处产生的磁感应长度 B B B
④总磁通量为 Φ = ∫ B d S \Phi =\int {B d S} Φ=∫BdS
由磁通量变化产生的感应电动势通过 N N N匝闭合曲线的磁通量$\Phi $发生变化时：
电动势大小： E = − N d Φ d t E=-N\frac{d\Phi}{dt} E=−NdtdΦ
电动势方向：磁通量增加时，右手拇指指向 B B B的反方向
磁通量减少时，右手拇指指向 B B B的方向相对，磁通量减少时拇指与磁线方向一致，则弯曲的四指表示线圈中电动势/电流的方向
由切割磁感线产生的感应电动势
电动势大小：平动切割时： E = B l v ⊥ ( l : 导线在垂直于 B 的面的投影长 ; v ⊥ : v 在垂直于 B 的面的投影长 ) E=Blv_{\bot}(l:导线在垂直于B的面的投影长;v_{\bot}:v在垂直于B的面的投影长) E=Blv⊥(l:导线在垂直于B的面的投影长;v⊥:v在垂直于B的面的投影长)
转动切割时： E = 1 2 B ω l 2 E=\frac 12 B\omega l^2 E=21Bωl2
电动势方向：电源负极 → \to →电源正极
右手拇指与 v v v与 w w w一致，让磁感线从掌心穿过，四指指尖指向正极，反方向为负极。
感应电流：若切割部分外接闭合电路，则电路中有感应电流，从负极 → \to →正极，若其不在电路中，则无感应电流（不过电动势还有的）
利用积分算切割产生的感应电动势
电动势大小：
①沿着待求导线建立坐标轴 O x Ox Ox轴
②在坐标 x x x处取长度为 d x dx dx的距离 O O O为 x x x的点
③求出点处，待求导线外的通电体产生的磁感应强度 B B B
④总电路 E = ∫ B r d x E=\int {Brdx} E=∫Brdx
电动势方向：电源负极 → \to →电源正极
右手拇指与 v v v或 ω \omega ω一致，让磁感线从掌心穿过，四指指尖指向正极，反方向为负极
感应电流：若切割部分外接闭合电路，则电路中有感应电流，从负极 → \to →正极，若其不在电路中，则无感应电流（不过电动势还是有的）
螺线管中的磁能
磁能： W = 1 2 μ 0 μ r n 2 I 2 n : 单位长度的匝数 μ r : 螺线管内磁介质的相对磁感率 v : 螺线管的管内体积 磁能：W=\frac 12 \mu _0 \mu _rn^2I^2\\ n:单位长度的匝数\\ \mu _r:螺线管内磁介质的相对磁感率\\ v:螺线管的管内体积 磁能：W=21μ0μrn2I2n:单位长度的匝数μr:螺线管内磁介质的相对磁感率v:螺线管的管内体积文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-537216.html
磁场的能量密度
W = B 2 2 μ 0 μ r W=\frac{B^2}{2\mu_0\mu_r} W=2μ0μrB2文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-537216.html
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