微积分之八——级数整理-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了微积分之八——级数整理。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

一. 无穷级数常用级数

1. 一些基本级数

几何级数（等比级数）
$\begin{aligned} &\sum_{n=0}^\infty aq^n=a+aq+aq^2+\cdot\cdot\cdot+aq^n+\cdot\cdot\cdot(a\neq0)\\ &s_n=a+aq+aq^2+\cdot\cdot\cdot+aq^{n-1}=a\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\\ &\begin{cases} |q|<1,级数收敛\\ |q|>1,级数发散\\ q=1,S_n=na\to\infty 级数发散\\ q=-1,S_n=\begin{cases}a,n为奇数\\0,n为偶数\end{cases}，所以n\to\infty时S_n不趋于稳定值，级数发散 \end{cases} \end{aligned}$
调和级数
$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{n}+\cdot\cdot\cdot$
$n\to \infty 时一般项\frac{1}{n}\to 0是趋于零的，但级数发散$
$p$ 级数
$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}=1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{n^p}+\cdot\cdot\cdot \qquad \begin{cases} p\leq1,发散\\ p>1,收敛 \end{cases}$

2. 一些特殊的常数项级数的和

$\boxed{ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}+\cdots&=ln 2\\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} &=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots&=\frac{\pi^2}{6}\\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2} &=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+\cdots+\frac{1}{(2n)^2}+\cdots&=\frac{\pi^2}{24}\\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2} &=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)^2}+\cdots&=\frac{\pi^2}{8}\\ \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{(2n-1)^2}-\frac{1}{(2n)^2}) &=1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{6^2}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)^2}-\frac{1}{(2n)^2}+\cdots&=\frac{\pi^2}{12}\\ \end{aligned} }$

3. 一些基本幂级数展开式及展开式成立区间

$\boxed{ \begin{aligned} \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}x^n, &x\in(-1,1)\\ e^x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},&x\in(-\infty,+\infty)\\ e^z&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!},&(z为复数且|z|<+\infty)\\ sinx&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}x^{2n-1},&x\in(-\infty,+\infty)\\ cosx&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n},&x\in(-\infty,+\infty)\\ ln(1+x)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n},&x\in(-1,1]\\ arctanx&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}x^{2n+1},&x\in[-1,1]\\ \sqrt{1+x}&=1+\frac{1}{2}x+\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^{n-1}(2n-3)!!}{(2n)!!}x^n,&x\in [-1,1]\\ \frac{1}{\sqrt{1+x}}&=1+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n,&x\in(-1,1]\\ \color{blue}n!!为从1&\color{blue}开始数值不超过n并且与n有相同奇偶性的自然数的乘积，&z\\ \color{blue}比如说8!!&\color{blue}=2*4*6*8\quad9!!=1*3*5*7*9 &z \end{aligned} }$
$\ Z + ，即除了正整数的全部实数 , x ∈ ( − 1 , 1 ) , 对于端点 ± 1 需要根据 α 的取值来判断 ) (1+x)^\alpha= \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=0}^n{n \choose k}(1)^kx^{n-k}\quad&(n=\alpha,\alpha\in Z^+,x\in R)\alpha为正整数那这其实就是我们常说的二项式展开定理\\ 1+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n&(\alpha\in R\backslash Z^+，即除了正整数的全部实数, x\in (-1,1),对于端点\plusmn1需要根据\alpha的取值来判断) \end{cases}\\$

4. 斯特林公式

$\begin{aligned} &n!\approx\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n\\ &\underset{n\to+\infty}{lim}\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n}=1\\ &\underset{n\to+\infty}{lim}\frac{e^n n!}{n^n\cdot \sqrt{n}}=\sqrt{2\pi}\\ \end{aligned}$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-538789.html