C/C++提高篇——快速幂 | 取余运算 模板题

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快速幂 | 取余运算

名人说:莫听穿林打叶声,何妨吟啸且徐行。—— 苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》
本篇笔记整理:Code_流苏(CSDN)(一个喜欢古诗词和编程的Coder😊)

以下内容,仅供学习交流,且仅在CSDN平台发布,未经授权禁止二次转发。

一、问题呈现

1.题目描述

给你三个整数 a , b , p a,b,p a,b,p,求 a b   m o d   p a^b \bmod p abmodp

2.输入格式

输入只有一行三个整数,分别代表 a , b , p a,b,p a,b,p

3.输出格式

输出一行一个字符串 a^b mod p=s,其中 a , b , p a,b,p a,b,p 分别为题目给定的值, s s s 为运算结果。

4.样例

1️⃣样例输入 #1

2 10 9

2️⃣样例输出 #1

2^10 mod 9=7

提示

样例解释

2 10 = 1024 2^{10} = 1024 210=1024 1024   m o d   9 = 7 1024 \bmod 9 = 7 1024mod9=7

数据规模与约定

对于 100 % 100\% 100% 的数据,保证 0 ≤ a , b < 2 31 0\le a,b < 2^{31} 0a,b<231 a + b > 0 a+b>0 a+b>0 2 ≤ p < 2 31 2 \leq p \lt 2^{31} 2p<231

二、源码实现

#include <iostream>
using namespace std;

// 定义一个快速幂函数,返回 a^b mod p 的值
int fast_pow(int a, int b, int p) {
  // 初始化结果为 1
  int res = 1;
  // 循环 b 次,每次将 a 乘到 res 上,并对 p 取余
  while (b > 0) {
    // 如果 b 是奇数,那么 res 需要乘上 a
    if (b & 1) {
      res = (long long)res * a % p;
    }
    // 将 a 平方,并对 p 取余
    a = (long long)a * a % p;
    // 将 b 右移一位,相当于除以 2
    b >>= 1;
  }
  // 返回结果
  return res;
}

int main() {
  // 输入 a, b, p
  int a, b, p;
  cin >> a >> b >> p;
  // 调用快速幂函数,得到结果 s
  int s = fast_pow(a, b, p);
  // 输出结果
  cout << a << "^" << b << " mod " << p << "=" << s << endl;
  return 0;
}

★关于本题思路
本题在于对快速幂的使用,以及long long数据类型的考量。

①一般求幂常见用法

int pow(int a,int b) {
	int ans;
	for(int i = 1;i<=b;++i) {
    	ans*=a;
    }
    return ans;
}

原理十分简单,将a乘b次。 时间复杂度: O(n)

但快速幂比它更快,下面简单介绍一下快速幂的原理。

②快速幂

快速幂的原理:

快速幂算法的原理利用二进制的性质将一个整数 n 拆分为若干个二进制位,然后根据每一位是否为 1 来决定是否乘上相应的 a 的幂。

具体来说:

  • 首先将 n 写成二进制的形式,例如 n = 13,那么 n = (1101)_2进制,表示 n = 2^3 + 2^2 + 2^0
  • 然后观察 n 的每一位,如果某一位为 1,那么就表示需要乘上 a 的相应的幂次,例如 n 的第 0 位为 1,那么就需要乘上 a^0 = 1;n 的第 2 位为 1,那么就需要乘上 a^2;n 的第 3 位为 1,那么就需要乘上 a^3。
  • 最后将所有需要乘上的 a 的幂次相乘,就得到了 a^n 的值,例如 a^n = a^3 * a^2 * a^0

这样做的好处是,可以减少乘法的次数,从 O(n) 降低到 O(log n),因为只需要计算出 a, a^2, a^4, …, a(2k) 等幂次,其中 k 是 n 的二进制位数。而这些幂次可以通过不断地平方来得到,例如 a^2 = a * a, a^4 = (a^2) * (a^2), …, a(2k) = (a(2(k-1))) * (a(2(k-1)))。这样每次只需要判断 n 的当前末位是否为 1,然后决定是否乘上当前的 a 的幂次,然后将 a 平方,并将 n 右移一位,直到 n 为 0 时停止。

因此根据以上原理,我们可以有以下两种写法(包括但不仅限于此两种,但写法虽不同,思想是一致的:

1️⃣写法一

while(m>0){
        if(m%2==1)
            ans=ans * b % p;
        b=b * b%p;
        m=m>>1;
}

2️⃣写法二(本文采用了写法二,但是二者的算法实现的思想是一样的)

while (b > 0) {
    // 如果 b 是奇数,那么 res 需要乘上 a
    if (b & 1) {
      res = (long long)res * a % p;
    }
    // 将 a 平方,并对 p 取余
    a = (long long)a * a % p;
    // 将 b 右移一位,相当于除以 2
    b >>= 1;
  }
  // 返回结果
  return res;
}

通过对快速幂算法的使用,成功将O(n)复杂度的求幂方式,转化为了时间复杂度为O(log n)的快速幂方式,效率成功得到了提升。

三、测试结果

2 10 9
2^10 mod 9=7

--------------------------------
Process exited after 19.18 seconds with return value 0
请按任意键继续. . .

Code_流苏(CSDN)(一个喜欢古诗词和编程的Coder)
如果对大家有帮助的话,希望大家能多多点赞+关注!这样我动力会更足的! ღ( ´・ᴗ・` )文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-539653.html

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