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Jacobi正交多项式

1年前作者：中原H分类：Toy博客阅读(11)违法举报

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了Jacobi正交多项式。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

注：本文的内容主要根据文末中的参考文档[1,2,3]中的内容进行整理完成。

一些基本概念

设 I = [ − 1 , 1 ] I=[-1,1] I=[−1,1]是实轴上的标准区间，定义在 I I I上的正函数：
ω α , β ( x ) = ( 1 − x ) α ( 1 + x ) β , α > − 1 , β > − 1 \omega_{\alpha,\beta}(x)=(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}, \alpha>-1,\beta>-1 ωα,β​(x)=(1−x)α(1+x)β,α>−1,β>−1
是权函数。
赋权的Sobolev空间记为 H ω α , β r ( I ) H_{\omega_{\alpha,\beta}}^{r}(I) Hωα,β​r​(I)。

  • 当 r = 0 r=0 r=0时， H ω α , β 0 ( I ) = L ω α , β 2 ( I ) H_{\omega_{\alpha,\beta}}^{0}(I)=L_{\omega_{\alpha,\beta}}^{2}(I) Hωα,β​0​(I)=Lωα,β​2​(I) 是平方可积的函数空间，其上的内积和范数定义为：
    ⟨ u , v ⟩ ω α , β = ∫ I u ( x ) v ( x ) ω α , β ( x ) d ( x ) , ∥ u ∥ ω α , β = ⟨ u , u ⟩ ω α , β . \langle u,v\rangle_{\omega_{\alpha,\beta}}=\int_{I}u(x)v(x)\omega_{\alpha,\beta}(x)\mathrm{d}(x),\\ \|u\|_{\omega_{\alpha,\beta}}=\sqrt{\langle u,u \rangle_{\omega_{\alpha,\beta}}}. ⟨u,v⟩ωα,β​​=∫I​u(x)v(x)ωα,β​(x)d(x),∥u∥ωα,β​​=⟨u,u⟩ωα,β​​ ​.
  • 当 r > 0 r>0 r>0且为整数时，
    H ω α , β r ( I ) = { u ∈ L ω α , β 2 ( I ) : d k u d x k ∈ L ω α , β 2 ( I ) , 0 ≤ k ≤ r } , H_{\omega_{\alpha,\beta}}^{r}(I)=\left\{u\in L_{\omega_{\alpha,\beta}}^{2}(I): \frac{\mathrm{d}^{k}u}{\mathrm{d}x^{k}}\in L_{\omega_{\alpha,\beta}}^{2}(I), 0\leq k\leq r\right\}, Hωα,β​r​(I)={u∈Lωα,β​2​(I):dxkdku​∈Lωα,β​2​(I),0≤k≤r},
    它的内积，范数，半范数分别为：
    ⟨ u , v ⟩ r , ω α , β = ∑ k = 0 r ( d k u d x k , d k v d x k ) ω α , β , ∥ u ∥ r , ω α , β = ⟨ u , u ⟩ r , ω α , β , ∣ u ∣ r , ω α , β = ( d k u d x k , d k v d x k ) ω α , β . \langle u,v \rangle_{r,\omega_{\alpha,\beta}}=\sum_{k=0}^{r}\left(\frac{\mathrm{d}^{k}u}{\mathrm{d}x^{k}}, \frac{\mathrm{d}^{k}v}{\mathrm{d}x^{k}}\right)_{\omega_{\alpha,\beta}}, \\ \|u\|_{r,\omega_{\alpha,\beta}}=\sqrt{\langle u,u\rangle_{r,\omega_{\alpha,\beta}}},\\ |u|_{r,\omega_{\alpha,\beta}}=\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}^{k}u}{\mathrm{d}x^{k}}, \frac{\mathrm{d}^{k}v}{\mathrm{d}x^{k}}\right)_{\omega_{\alpha,\beta}}}. ⟨u,v⟩r,ωα,β​​=k=0∑r​(dxkdku​,dxkdkv​)ωα,β​​,∥u∥r,ωα,β​​=⟨u,u⟩r,ωα,β​​ ​,∣u∣r,ωα,β​​=(dxkdku​,dxkdkv​)ωα,β​​ ​.
  • 当 r > 0 r>0 r>0且为实数时，我们可以通过内插空间[4]来定义 H ω α , β r ( I ) H_{\omega_{\alpha,\beta}}^{r}(I) Hωα,β​r​(I).

Jacobi 正交多项式的定义

本节给出Jacobi正交多项式的三种不同的定义[1]。

  • 定义1： Jacobi正交多项式 { J n α , β ( x ) } n = 0 ∞ \left\{J_{n}^{\alpha,\beta}(x)\right\}_{n=0}^{\infty} {Jnα,β​(x)}n=0∞​可以通过正交化代数多项式基底 { 1 , x , x 2 , ⋯   , x n , ⋯   } \left\{1,x,x^{2},\cdots,x^{n},\cdots\right\} {1,x,x2,⋯,xn,⋯}得到，这里的正交化是在内积空间 L ω α , β 2 ( I ) L_{\omega_{\alpha,\beta}}^{2}(I) Lωα,β​2​(I)中进行的。我们称 J n α , β ( x ) J_{n}^{\alpha,\beta}(x) Jnα,β​(x)为 n n n次Jacobi多项式。

    • 当 α = β = − 1 / 2 \alpha=\beta=-1/2 α=β=−1/2时， J n − 1 2 , − 1 2 J_{n}^{-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} Jn−21​,−21​​(x)是第一类Chebyshev多项式；
    • 当 α = β = 1 / 2 \alpha=\beta=1/2 α=β=1/2时， J n 1 2 , 1 2 ( x ) J_{n}^{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}(x) Jn21​,21​​(x)是第二类Chebyshev多项式；
    • 当 α = β = 0 \alpha=\beta=0 α=β=0时， J n 0 , 0 ( x ) J_{n}^{0,0}(x) Jn0,0​(x)是Legendre多项式；
    • 当 α = β \alpha=\beta α=β时， J n α , α ( x ) J_{n}^{\alpha,\alpha}(x) Jnα,α​(x)也叫做Gegenbauer多项式或Ultraspherical多项式（特种球多项式或者超球多项式）。

  • 定义2：Jacobi正交多项式 J n α , β ( x ) J_{n}^{\alpha,\beta}(x) Jnα,β​(x)是下面奇异Sturm-Liouville问题的特征函数
    d d x ( ω α , β ( x ) d d x u ( x ) ) + λ n α , β ω α , β ( x ) u ( x ) = 0 , \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\omega_{\alpha, \beta}(x) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} u(x)\right)+\lambda_{n}^{\alpha, \beta} \omega_{\alpha, \beta}(x) u(x)=0, dxd​(ωα,β​(x)dxd​u(x))+λnα,β​ωα,β​(x)u(x)=0,
    其中特征值为：
    λ n α , β = n ( n + α + β + 1 ) , n ≥ 0 , α , β > − 1. \lambda_{n}^{\alpha,\beta}=n(n+\alpha+\beta+1), n\geq 0, \alpha,\beta>-1. λnα,β​=n(n+α+β+1),n≥0,α,β>−1.

  • 定义3：Jacobi正交多项式 J n α , β ( x ) J_{n}^{\alpha,\beta}(x) Jnα,β​(x)可由下面的关系式生成：
    ω α , β ( x ) J n α , β ( x ) = ( − 1 ) n 2 n n ! d n d x n ω n + α , n + β ( x ) , \omega_{\alpha, \beta}(x) J_{n}^{\alpha, \beta}(x)=\frac{(-1)^{n}}{2^{n} n !} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d} x^{n}} \omega_{n+\alpha, n+\beta}(x), ωα,β​(x)Jnα,β​(x)=2nn!(−1)n​dxndn​ωn+α,n+β​(x),
    其中 n ≥ 0 , α , β > − 1 n\geq 0, \alpha,\beta>-1 n≥0,α,β>−1,
    或者下面更一般的关系式生成：对 n ≥ m ≥ 0 , α , β > − 1 n\geq m\geq0, \alpha, \beta>-1 n≥m≥0,α,β>−1,
    ω α , β ( x ) J n α , β ( x ) = ( − 1 ) m ( n − m ) ! 2 n n ! d m d x m ω m + α , m + β ( x ) J n − m m + α , m + β ( x ) , \omega_{\alpha,\beta}(x)J_{n}^{\alpha,\beta}(x)=\frac{(-1)^{m}(n-m)!}{2^{n}n!}\frac{\mathrm{d}^{m}}{\mathrm{d}x^{m}}\omega_{m+\alpha,m+\beta}(x)J_{n-m}^{m+\alpha,m+\beta}(x), ωα,β​(x)Jnα,β​(x)=2nn!(−1)m(n−m)!​dxmdm​ωm+α,m+β​(x)Jn−mm+α,m+β​(x),
    第一个零次Jacobi多项式定义为 J 0 α , β ( x ) = 1 J_{0}^{\alpha,\beta}(x)=1 J0α,β​(x)=1.

注：可以证明，关于Jacobi正交多项式的上面三个定义是相互等价的[5].

证明[-1,1]上的正交多项式是Jacobi正交多项式

（注：本小节主要说明[-1,1]上的正交多项式是Jacobi正交多项式，具体可以查看文献[3]中详细介绍。）
假设 { φ i ( t ) } \{\varphi_{i}(t)\} {φi​(t)}是 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]上的一组关于权函数 ω ( t ) \omega(t) ω(t)正交多项式。那么， φ n ( t ) \varphi_{n}(t) φn​(t)一定与不超过 n − 1 n-1 n−1次的多项式正交。这是由于 φ n ( t ) \varphi_{n}(t) φn​(t)垂直于 φ 0 ( t ) , ⋯   , φ n − 1 ( t ) \varphi_{0}(t),\cdots,\varphi_{n-1}(t) φ0​(t),⋯,φn−1​(t)所张成的空间，而任意不超过 n − 1 n-1 n−1次多项式都是这个空间的元素（可由 φ 0 ( t ) , ⋯   , φ n − 1 ( t ) \varphi_{0}(t),\cdots,\varphi_{n-1}(t) φ0​(t),⋯,φn−1​(t)线性表出）。因此
∫ − 1 1 ω ( t ) φ n ( t ) q n − 1 ( t ) d t = 0 , (1) \int_{-1}^{1} \omega(t) \varphi_{n}(t) q_{n-1}(t) d t=0,\tag{1} ∫−11​ω(t)φn​(t)qn−1​(t)dt=0,(1)
令 r n ( t ) r_{n}(t) rn​(t)是 ω ( t ) φ n ( t ) \omega(t)\varphi_{n}(t) ω(t)φn​(t)的第 n n n重积分，也即
r n ( n ) ( t ) = ω ( t ) φ n ( t ) . r_{n}^{(n)}(t)=\omega(t)\varphi_{n}(t). rn(n)​(t)=ω(t)φn​(t).
利用分部积分法，对(1)进行求解
[ r n ( n − 1 ) ( t ) q n − 1 ( t ) − r n ( n − 2 ) ( t ) q n − 1 ′ ( t ) + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 r n ( t ) q n − 1 n − 1 ( t ) ] − 1 1 + ( − 1 ) n ∫ − 1 1 r n ( t ) q n − 1 ( n ) ( t ) d t = 0 , \left[r_{n}^{(n-1)}(t) q_{n-1}(t)-r_{n}^{(n-2)}(t) q_{n-1}^{\prime}(t)+\cdots+(-1)^{n-1} r_{n}(t) q_{n-1}^{n-1}(t)\right]_{-1}^{1}+(-1)^{n}\int_{-1}^{1}r_{n}(t)q_{n-1}^{(n)}(t)\mathrm{d}t=0, [rn(n−1)​(t)qn−1​(t)−rn(n−2)​(t)qn−1′​(t)+⋯+(−1)n−1rn​(t)qn−1n−1​(t)]−11​+(−1)n∫−11​rn​(t)qn−1(n)​(t)dt=0,
由于 q n − 1 ( n ) ( t ) = 0 q_{n-1}^{(n)}(t)=0 qn−1(n)​(t)=0，于是有
[ r n ( n − 1 ) ( t ) q n − 1 ( t ) − r n ( n − 2 ) ( t ) q n − 1 ′ ( t ) + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 r n ( t ) q n − 1 n − 1 ( t ) ] − 1 1 = 0 \left[r_{n}^{(n-1)}(t) q_{n-1}(t)-r_{n}^{(n-2)}(t) q_{n-1}^{\prime}(t)+\cdots+(-1)^{n-1} r_{n}(t) q_{n-1}^{n-1}(t)\right]_{-1}^{1}=0 [rn(n−1)​(t)qn−1​(t)−rn(n−2)​(t)qn−1′​(t)+⋯+(−1)n−1rn​(t)qn−1n−1​(t)]−11​=0
由于 q n − 1 ( t ) q_{n-1}(t) qn−1​(t)是任意的多项式，因此
r n ( n − 1 ) ( ± 1 ) = r n ( n − 2 ) ( ± 1 ) = ⋯ = r n ′ ( ± 1 ) = r n ( ± 1 ) = 0 ， (2) r_{n}^{(n-1)}(\pm 1)=r_{n}^{(n-2)}(\pm 1)=\cdots=r_{n}^{\prime}(\pm 1)=r_{n}(\pm 1)=0，\tag{2} rn(n−1)​(±1)=rn(n−2)​(±1)=⋯=rn′​(±1)=rn​(±1)=0，(2)
这是由于如果多项式恒为0，那么多项式的系数一定为0。观察(2)式，对 r n ( t ) r_{n}(t) rn​(t)求导一直到第 n − 1 n-1 n−1次导数在 t t t取 1 1 1和 − 1 -1 −1时仍然都等于0，所以从第0次到第 n − 1 n-1 n−1次导函数中都含有 ( 1 − t 2 ) (1-t^{2}) (1−t2)这个因子，更进一步地， r n ( t ) r_{n}(t) rn​(t)含有一个 2 n 2n 2n次多项式的因子，使得它在 t t t取 1 1 1和 − 1 -1 −1时都等于零。设想：
r n ( t ) = c n ( 1 − t 2 ) n + α , ( α > − 1 ) r_{n}(t)=c_{n}(1-t^{2})^{n+\alpha}, (\alpha>-1) rn​(t)=cn​(1−t2)n+α,(α>−1)
可以验证 r n ( t ) r_{n}(t) rn​(t)满足(12)式。
由于 r n ( t ) r_{n}(t) rn​(t)的定义知道： r n ( n ) ( t ) = ω ( t ) φ n ( t ) r_{n}^{(n)}(t)=\omega(t)\varphi_{n}(t) rn(n)​(t)=ω(t)φn​(t), 也即
φ n ( t ) = ω ( t ) − 1 r n ( n ) ( t ) = φ n ( t ) . \varphi_{n}(t)=\omega(t)^{-1}r_{n}^{(n)}(t)=\varphi_{n}(t). φn​(t)=ω(t)−1rn(n)​(t)=φn​(t).
又由于 φ n ( t ) \varphi_{n}(t) φn​(t)是 n n n次多项式，因此为了满足 ω ( t ) − 1 r n ( n ) ( t ) \omega(t)^{-1}r_{n}^{(n)}(t) ω(t)−1rn(n)​(t)也是 n n n次多项式，只需要选择
ω ( t ) = ( 1 − t 2 ) α . \omega(t)=(1-t^{2})^{\alpha}. ω(t)=(1−t2)α.
于是，正交多项式 φ n ( t ) \varphi_{n}(t) φn​(t)的表达式为
φ n ( t ) = c n 1 ( 1 − t 2 ) α d n d t n ( 1 − t 2 ) n + α . (3) \varphi_{n}(t)=c_{n}\frac{1}{(1-t^{2})^{\alpha}}\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}t^{n}}(1-t^{2})^{n+\alpha}. \tag{3} φn​(t)=cn​(1−t2)α1​dtndn​(1−t2)n+α.(3)
实际上，我们也可以取如下形式的 r n ( t ) r_{n}(t) rn​(t):
r n ( t ) = c n ( 1 − t ) n + α ( 1 + t ) n + β , ( α > − 1 , β > − 1 ) . r_{n}(t)=c_{n}(1-t)^{n+\alpha}(1+t)^{n+\beta}, (\alpha>-1,\beta>-1). rn​(t)=cn​(1−t)n+α(1+t)n+β,(α>−1,β>−1).
对应的
ω ( t ) = ( 1 − t ) α ( 1 + t ) β , \omega(t)=(1-t)^{\alpha}(1+t)^{\beta}, ω(t)=(1−t)α(1+t)β,
此时，正交多项式 φ n ( t ) \varphi_{n}(t) φn​(t)的表达式为：
φ n ( t ) = c n 1 ( 1 − t ) α ( 1 + t ) β d n d t n [ ( 1 − t ) n + α ( 1 + t ) n + β ] . (4) \varphi_{n}(t)=c_{n}\frac{1}{(1-t)^{\alpha}(1+t)^{\beta}}\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}t^{n}}[(1-t)^{n+\alpha}(1+t)^{n+\beta}]. \tag{4} φn​(t)=cn​(1−t)α(1+t)β1​dtndn​[(1−t)n+α(1+t)n+β].(4)

参考文献：
[1] 赵廷刚，张建宏. Jacobi正交多项式的一些性质. 甘肃高师学报，14(5), 2009.
[2] Jacobi正交多项式种类. https://max.book118.com/html/2020/0815/5334111143002331.shtm
[3] 一般正交多项式性质. https://zhuanlan.zhihu.com/p/270620896.
[4] R. Askey. Orthogonal polynomials and special functions. Regional conderence seris in applied mathematics, SIAM, Phiadelphia, 1975.
[5] Guo Benyu and Wang Lilian. Jacobi interpolation approximations and their applications to singular differential equations. Advances in Computational Mathematics, 14: 227-276, 2000.文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-540780.html

到了这里，关于Jacobi正交多项式的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！

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