【数值分析不挂科】第三章 | 数值积分

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【第三章:数值积分】

1. 数值积分概述

  • 为什么要学习数值积分?

    数值积分,把积分求值问题归结于被积函数值的计算,从而避开了 牛顿-莱布尼兹 公式需要寻找原函数的困难。

  • 需要特别注意:① 区别于第二章中 n代表点的个数。**本章中的 n 指的是【区间数】**而不是点的个数!【区间数 = 点的个数 - 1】 ②所有点的索引值从0开始

    搞清楚上面这两点才能套公式做题。

  • 求积的系数 A 有对称性


2. 代数精度

  • 代数精度的定义与求解

    代数精度:若某个求积公式对于次数不超过 m 的多项式均能准确成立,但对于 m+1 次多项式不准确成立,则称该求积公式具有 m 次代数精度

    代数精度的求解:对于 m 次精度多项式 f(x),有 f(x) = x^0 、 f(x) = x^1 、 f(x) = x^2 、 f(x) = x^3 、……、f(x)^m 成立,而f(x)^(m+1)不成立

  • 常见的代数精度:

    梯形公式 精度:1

    中矩公式 精度:1

    左矩公式 & 右矩公式 精度:0


3.1 机械求积公式

  • 机械求积的一般公式

    f(x) 在 [a,b]上的积分,可以写作 Ai*f(xi) 的求和

  • 机械求积的步骤:待定系数,求解一个 n元一次方程

  • 求积公式的收敛性
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  • 求积公式的稳定性
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3.2 插值求积公式

插值求积的基本性质

  • 性质:插值型求积公式具有至少n次代数精度

  • 定理:下面的求积公式具有至少n次代数精度的充要条件是该公式是插值型的
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  • 机械求积公式具有尽可能高的代数精度时,它总是插值型的

  • 插值型求积公式是机械求积公式中最好的求积公式


插值求积的基本步骤

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3.3 Newton-Cotes 求积公式

Newton-Cotes 求积步骤

  • 需要特别注意:① n 指的是【区间数】而不是点的个数!【区间数 = 点的个数 - 1】 ②所有点的索引值从0开始
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Newton-Cotes 性质

  • Newton-Cotes公式仅适用于等分区间

  • Cotes系数与被积函数f(x)及积分区间[a, b]无关

  • Cotes系数的性质: ΣCi = 1

  • Ci = Cn-i

  • 一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式

  • 定理:n阶Newton-Cotes 公式至少有n次代数精度

  • 定理:当n为偶数时,Newton-Cotes 公式至少有n+1次代数精度


3.4 复化求积公式

  • n为区间数 = 点的个数 -1 ,x的下标从0开始
  • 对于 x(i + 1/2) 可以当作 x(i + 1) 进行计算
  • 需要特别注意:① n 指的是【区间数】而不是点的个数!【区间数 = 点的个数 - 1】 ②所有点的索引值从0开始

在这里插入图片描述
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3.5 龙贝格求积公式

龙贝格求积的步骤(主要是记公式)
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当满足下列式子的时候,则Tk(k) 即为数值积分结果
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4.1 数值积分总结

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4.2 本章重点习题

(例题1)确定使代数精度尽可能高的系数Ai

x的下标从 0 开始
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(例题2)插值求积公式及精度计算

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(例题3)机械求积公式及精度计算

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(例题4)复化梯形法、Simpson法、Cotes法求积

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