5.4 通用卡尔曼滤波
上一节中描述的状态空间模型作为观测方程的更一般的公式
和状态方程
这里是一个p×1 向量是一个k×1 向量, 是一个p×k 矩阵, 是k×k 矩阵。我们可以想到的和
给定初始状态 和 ，预测方程为（类似于上面）
并且更新方程是，给定一个新的观察结果y1
这里
5.5 缺失数据
从概念上讲，丢失数据在卡尔曼滤波器的框架中很容易处理。该过程有两个步骤：（1）预测步骤，（2）更新步骤，当我们观察新数据时发生。如果缺少一个数据点，我们就无法执行步骤 2，因此我们只需跳过它。我们保留步骤 1 中所做的预测并继续到下一个时间点。
因此，如果 丢失，我们可以修改更新过程以简单地
5.6 示例：过滤手机的旋转角度
这是基于加速度计和陀螺仪测量积分的 X 轴方向估计旋转角度图。
Gyro
回想一下，手机根本没有移动，因此陀螺仪不应该真正记录任何运动。然而，乐器中的自然噪声会随着时间的推移而产生一些变化。特别是，似乎存在轻微的负偏差，因此陀螺仪似乎认为它正在沿负方向轻微旋转。当这种负面偏见随着时间的推移而积分时，其影响会随着时间的推移而累积，如上图所示。
5.7 示例：跟踪汽车的位置
我们在这里使用的模型将是前面提到的航天器模型的扩展。目标是跟踪沿着笔直道路行驶的汽车的线性（一维）位置。时间 t 时汽车沿这条道路的位置为，建模为
其中 是速度， 是加速度， 是测量时间点之间的时间差， 是噪声项。在这种情况下，我们可以将状态向量写为
这里令：
在 里α 是表征加速度项状态转换的（已知）系数，则状态方程为
此时：
对于数据，我们有两个观察结果。一个是表示一维位置的 GPS 坐标（在本例中为经度），另一个是汽车方向的加速度。加速度可以是向前方向（正）或向后方向（负）。数据表示为
这里：
没有直接测量速度的方法。这是汽车随时间变化的 y 轴加速度（以 为单位）。本例中的 y 轴是行进方向。
这是汽车随时间变化的经度位置，转换为沿道路的距离（以米为单位）。数据的采样率为 20 Hz（每秒 20 次测量），因此绘图的 x 轴以 1/20 秒为单位。
实际观测到的 GPS 测量是在 20 Hz 下进行的，但我们可能会遇到无法如此频繁地测量数据的情况。例如，加速度是始终可用的惯性测量，但 GPS 测量依赖于可能始终可用或可能不始终可用的卫星。为了模拟可能的数据缺失，我们可以通过对数据进行下采样来对GPS数据进行下采样。在这里，我们只保留每 1,000 个 GPS 值中的一个。卡尔曼滤波算法的结果如下所示。
上述曲线设 且 , α 被设为 0.64 .
下面是我们减少采样并保留每 200 个 GPS 值之一的图。
我们可以看到，当 GPS 值可用时，估计状态会尝试跟上它们，但通常需要时间进行自我修正。在上图中，我们有 τ=2，但我们可以通过减小 τ 来改变校正行为。在下图中，我们有 τ=0.5，我们可以看到轨道更加平滑。
虽然估计状态比较平滑，但也存在较大偏差。因此，在选择调整参数 τ 和 σ 时，需要平衡精度需求和平滑度需求（偏差与方差）。
5.8 示例：估计（模型）火箭的远地点
看看这个由乔·巴纳德 (Joe Barnard) 建造和发射的筒仓发射模型火箭。
这是第一次发射的慢动作版本。
火箭，无论是模型还是真实的，都需要能够随着时间的推移感知它们的位置、速度和方向。大多数情况下，他们需要知道自己是否指向正确或计划的方向，以及是否以正确的速度沿着正确的轨迹行驶。 （如果不是，则可以进行修正，但我们不会在这里讨论这个问题，因为这需要进入控制理论。）
惯性测量单元 (IMU) 中使用的典型仪器是陀螺仪和加速度计。这些仪器可以为机载计算机提供惯性测量，即纯粹在机上进行的测量，无需与外部输入或参考进行任何交互。现代系统通常还具有其他仪器，例如气压高度计（用于高度）、磁力计（用于航向/方向）和 GPS（用于位置）。
这是来自 z 轴（上/下）方向加速度计的数据。
这是气压高度计的数据。
这是使用下采样高度计读数（删除所有其他值）的估计轨迹。
这是来自同一模型拟合的估计速度。速度过零的点可能就是远地点所在的位置。
5.9 指数平滑
注意：我不知道这部分应该放在哪里。 假设我们有一个持续的时间序列 y 1 , y 2 , …… 我们想要做出一个预测 鉴于过去 。指数平滑方法取一个值 并产生
该预测值对先前的值进行加权，随着时间的推移，权重呈几何下降。 虽然总和是无限的，但我们很容易看出
因此，从无限和中我们可以得出一个相当简单的递归。此外，这个递归可以重写为
这里，对时间的预测 t + 1 写为时间的预测值 t 加上观察到的偏差 y t 和预测的 ^ y t 。通过这种方式，指数平滑器合并新数据，同时赋予预测值一定的权重。很明显，如果 λ = 1 ，我们坚持我们的预测值，如果 λ = 0 我们采用新的观察值。对于介于 0 和 1 我们在两者之间取平均值。
一种选择方式 λ 是根据您希望值影响当前预测的程度来选择它。例如，对于“90 天”指数平滑，我们可以选择 λ 这样 λ j < ε 为了 j > 90 和 ε 很小。例如，对于 ε = 0.00001 ，我们想要 λ < 0.00001 1 / 90 ≈ 0.88 。
“技术分析”的常见股票图表是绘制股票观察到的价格以及具有不同权重的各种指数平滑。如果当前观察到的价格高于平滑平均值之一，则可能被视为“超买”，而如果观察到的价格低于平滑平均值之一，则可能被视为“超卖”。请预先警告，这不是财务建议！ 这是 SPY 交易所交易基金几秒钟交易的加权中间价格图。
这是具有两个指数平滑的同一图，其中一个具有 λ = 0.995 和一个与 λ = 0.999
5.10 互补滤波器
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-550014.html
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