(动态规划) 132. 分割回文串 II ——【Leetcode每日一题】

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❓ 132. 分割回文串 II

难度：困难

给你一个字符串 s，请你将 s 分割成一些子串，使每个子串都是回文。

返回符合要求的 最少分割次数 。

示例 1：

输入：s = “aab”
输出：1
解释：只需一次分割就可将 s 分割成 [“aa”,“b”] 这样两个回文子串。

示例 2：

输入：s = “a”
输出：0

示例 3：

输入：s = “ab”
输出：1

提示：

$1 <= s . l e n g t h <= 2000$
s 仅由小写英文字母组成

💡思路：动态规划

定义一个二维数组 isPalindromic[i][j]，记录 [i, j] 是不是回文子串
- 该二维数组从右下角开始遍历，如果 s[i] == s[j] 则判断 j - i <= 1 或者判断内部 isPalindromic[i + 1][j - 1] 是否是回文字符串
定义一维 dp 数组， dp[i] 表示使范围是 [0, i] 的子串分割成回文串，最少分割次数是 dp[i]:
- 如果要对长度为 [0, i] 的子串进行分割，分割点为 j :
  - 如果分割后，区间 [j + 1, i] 是回文子串，那么 dp[i] 就等于 dp[j] + 1;
  - 我们要找做小分割数量所以递推公式为： $d p [i] = min (d p [i], d p [j] + 1)$
最后 dp[n - 1] 即为所求最少分割次数。

🍁代码：(C++、Java)

C++

class Solution {
public:
    int minCut(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<bool>> isPalindromic(n, vector<bool>(n, false));//二维数组，isPalindromic[i][j]表示[i, j]是不是回文子串
        for(int i = n - 1; i >= 0; i--){
            for(int j = i; j < n; j++){
                if(s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || isPalindromic[i + 1][j - 1])){
                    isPalindromic[i][j] = true;
                }
            }
        }

        //初始化dp数组，dp[i]表示范围是[0, i]的回文子串，最少分割次数是dp[i]
        vector<int> dp(n);
        for(int i = 0; i < n; i++) dp[i] = i;
        for(int i = 1; i < n; i++){
            if(isPalindromic[0][i])
            {
                dp[i] = 0;
                continue;
            }
            for(int j = 0; j < i; j++){
                if(isPalindromic[j + 1][i]){
                    dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }
};

Java

class Solution {
    public int minCut(String s) {
        int n = s.length();
        boolean[][] isPalindromic = new boolean[n][n];//二维数组，isPalindromic[i][j]表示[i, j]是不是回文子串
        for(int i = n - 1; i >= 0; i--){
            for(int j = i; j < n; j++){
                if(s.charAt(i) == s.charAt(j) && (j - i <= 1 || isPalindromic[i + 1][j - 1])){
                    isPalindromic[i][j] = true;
                }
            }
        }

        //初始化dp数组，dp[i]表示范围是[0, i]的回文子串，最少分割次数是dp[i]
        int[] dp = new int[n];
        for(int i = 0; i < n; i++) dp[i] = i;
        for(int i = 1; i < n; i++){
            if(isPalindromic[0][i])
            {
                dp[i] = 0;
                continue;
            }
            for(int j = 0; j < i; j++){
                if(isPalindromic[j + 1][i]){
                    dp[i] = Math.min(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }
}

🚀 运行结果：

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🕔 复杂度分析：

时间复杂度： $O(n^2)$ ，其中 n 为字符串 s 的长度。预处理计算 isPalindromic 和动态规划计算 dp 的时间复杂度均为 $O(n^2)$ 。
空间复杂度： $O(n^2)$ ，数组isPalindromic 需要使用 $O(n^2)$ 的空间，数组 dp 需要使用 $O (n)$ 的空间。