复系数和实系数多项式因式分解
- 在一般数域上的结论在特殊数域:复数域和实数域上可以进一步具体化
- 对于复数域,有重要定理:代数基本代数基本定理
代数基本定理
- 复系数多项式
f
(
x
)
f(x)
f(x),(
∂
(
f
(
x
)
)
⩾
1
\partial(f(x))\geqslant{1}
∂(f(x))⩾1)在复数域中有一根
- 定理的证明较为复杂,此处略去
- 结合根于一次因式的关系,定理的等价描述:
- 复系数多项式 f ( x ) f(x) f(x),( ∂ ( f ( x ) ) ⩾ 1 \partial(f(x))\geqslant{1} ∂(f(x))⩾1)在复数域上一定有一个一次因式
- 因此,在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的
- 即不可约多项式只有一次多项式
因式分解定理在复数域上的描述
- 复系数多项式因式分解定理:每个次数大于1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解为一次因式的乘积
- 因此,复系数多形式具有标准分解式:
f
(
x
)
=
a
n
∏
i
=
1
s
(
x
−
α
i
)
l
i
f(x)=a_n\prod_{i=1}^{s}{(x-\alpha_i)^{l_i}}
f(x)=an∏i=1s(x−αi)li
- α i , i = 1 , 2 , ⋯ , s \alpha_{i},i=1,2,\cdots,s αi,i=1,2,⋯,s是互不相同的复数, l i , i = 1 , 2 , ⋯ , s l_i,i=1,2,\cdots,s li,i=1,2,⋯,s是正整数
- 标准分解式说明,每个 n n n次复系数多项式恰有 n n n个复根(重根按重数计算,即 ∑ i = 1 s l i = n \sum_{i=1}^{s}{l_i}=n ∑i=1sli=n)
实系数多项式的分解
-
实系域是复数域的子数域
-
实系数多项式的性质可以更具体
-
如果 α \alpha α是实系数多项式 f ( x ) f(x) f(x)的复根,则 α \alpha α的共轭数 α ‾ \overline{\alpha} α也是 f ( x ) f(x) f(x)的根
- 定理的符号描述: f ( α ) = 0 ⇒ f ( α ‾ ) = 0 f(\alpha)=0\Rightarrow{f(\overline{\alpha})}=0 f(α)=0⇒f(α)=0
-
证明:
- 设 f ( x ) = ∑ i = 1 s a i x i f(x)=\sum_{i=1}^{s}a_{i}x^{i} f(x)=∑i=1saixi,其中, a i , i = 1 , 2 , ⋯ , n a_{i},i=1,2,\cdots,n ai,i=1,2,⋯,n是实数
- 由假设:
f
(
α
)
=
∑
i
=
1
s
a
i
α
i
=
0
f(\alpha)=\sum_{i=1}^{s}a_{i}\alpha^{i}=0
f(α)=∑i=1saiαi=0
- 等号两边取共轭:
- LHS= ∑ i = 1 s a i α i ‾ \overline{\sum_{i=1}^{s}a_i\alpha^{i}} ∑i=1saiαi= ∑ i s a i α i ‾ \sum_{i}^{s}\overline{a_i\alpha^{i}} ∑isaiαi= ∑ i s a i α i ‾ \sum_{i}^{s}a_i\overline{\alpha^{i}} ∑isaiαi= ∑ i s a i α ‾ i \sum_{i}^{s}a_i\overline{\alpha}^{i} ∑isaiαi
- RHS=0
- 即 ∑ i s a i α ‾ i = 0 \sum_{i}^{s}a_i\overline{\alpha}^{i}=0 ∑isaiαi=0
- 而 f ( α ‾ ) f(\overline{\alpha}) f(α) = = = ∑ i = 1 s a i α ‾ i \sum_{i=1}^{s}a_{i}\overline{\alpha}^{i} ∑i=1saiαi
- 所以 f ( α ‾ ) = 0 f(\overline{\alpha})=0 f(α)=0,这说明 α ‾ \overline{\alpha} α也是 f ( x ) f(x) f(x)的根
- 等号两边取共轭:
实系数多项式因式分解定理
-
每个次数大等于1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解为:一次因式和二次不可约因式的乘积
- 其中一次因式本身就是不可约的,从而定理后半句可以描述为:不可约的一次因式和二次因式的乘积
-
证明:
-
考虑使用数学归纳法证明
-
定理对于一次多形式显然成立
-
归纳假设:定理对于次数小于n的多项式成立
-
设 f ( x ) f(x) f(x)是 n n n次实系数多项式
-
由代数基本定理, f ( x ) f(x) f(x)有复根 α \alpha α
- 若 α ∈ R \alpha\in\mathbb{R} α∈R,则 f ( x ) = ( x − α ) f 1 ( x ) f(x)=(x-\alpha)f_1(x) f(x)=(x−α)f1(x),其中 ∂ ( f 1 ( x ) ) = n − 1 \partial(f_1(x))=n-1 ∂(f1(x))=n−1
- 若
α
∉
R
\alpha\notin{\mathbb{R}}
α∈/R,则
f
(
α
)
‾
=
0
f(\overline{\alpha)}=0
f(α)=0且
α
‾
≠
α
\overline{\alpha}\neq{\alpha}
α=α,从而
f
(
x
)
=
(
x
−
α
)
(
x
−
α
‾
)
f
2
(
x
)
f(x)=(x-\alpha)(x-\overline{\alpha})f_2(x)
f(x)=(x−α)(x−α)f2(x),
∂
(
f
2
(
x
)
)
=
n
−
2
\partial(f_2(x))=n-2
∂(f2(x))=n−2
- 显然
G
(
x
)
=
(
x
−
α
)
(
x
−
α
‾
)
G(x)=(x-\alpha)(x-\overline{\alpha})
G(x)=(x−α)(x−α)=
x
2
−
(
α
+
α
‾
)
x
+
α
α
‾
x^2-(\alpha+\overline{\alpha})x+\alpha\overline{\alpha}
x2−(α+α)x+αα是一个实系数不可约多项式
- 因为 G ( x ) = 0 G(x)=0 G(x)=0在复数域至多有2个根(代数基本定理),而本情况中两个根都是虚数,从而不能在 α ′ ∈ R \alpha'\in{\mathbb{R}} α′∈R使得, G ( α ′ ) = 0 G(\alpha')=0 G(α′)=0,因此不存在 G ( x ) = ( x − α ′ ) q ( x ) G(x)=(x-\alpha')q(x) G(x)=(x−α′)q(x)(否则 G ( α ′ ) = 0 G(\alpha')=0 G(α′)=0,这和 G ( α ′ ) = 0 G(\alpha')=0 G(α′)=0无解发生矛盾),从而 G ( x ) G(x) G(x)在实数系内不可约
- 设 α = a + b i \alpha=a+bi α=a+bi,则: α + α ‾ = 2 a \alpha+\overline\alpha=2a α+α=2a, α α ‾ = a 2 + b 2 \alpha\overline{\alpha}=a^2+b^2 αα=a2+b2
- G ( x ) = x 2 − 2 a x + a 2 + b 2 G(x)=x^2-2ax+a^2+b^2 G(x)=x2−2ax+a2+b2
- 从而 f 2 ( x ) f_2(x) f2(x)是 n − 2 n-2 n−2次实系数多项式
- 显然
G
(
x
)
=
(
x
−
α
)
(
x
−
α
‾
)
G(x)=(x-\alpha)(x-\overline{\alpha})
G(x)=(x−α)(x−α)=
x
2
−
(
α
+
α
‾
)
x
+
α
α
‾
x^2-(\alpha+\overline{\alpha})x+\alpha\overline{\alpha}
x2−(α+α)x+αα是一个实系数不可约多项式
- 由归纳假设以及 ∂ ( f 1 ( x ) ) = n − 1 < n \partial(f_1(x))=n-1<n ∂(f1(x))=n−1<n, ∂ ( f 2 ( x ) ) = n − 2 < n \partial(f_2(x))=n-2<n ∂(f2(x))=n−2<n,则 f 1 ( x ) , f 2 ( x ) f_1(x),f_2(x) f1(x),f2(x)可以被分解为一次与二次不可约多项式的乘积
- 再由 f ( x ) f(x) f(x)与 f 1 ( x ) , f 2 ( x ) f_1(x),f_2(x) f1(x),f2(x)的关系可知, f ( x ) f(x) f(x)也可以被分解为一次与二次不可约多项式的乘积
- 所以任何实系数多项式 f ( x ) f(x) f(x)都可以被分解为一次与二次不可约多项式的乘积
-
-
因此实系数n次多项式 f ( x ) = ∑ i = 0 n a i x i ( 1 ) f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^i\;(1) f(x)=∑i=0naixi(1)具有标准分解式:
-
f ( x ) = a ∏ i = 1 s ( x − c i ) l i ∏ i = 1 r ( x 2 + p i x − q i ) k i f(x)=a\prod_{i=1}^{s}(x-c_i)^{l_i} \prod_{i=1}^{r}(x^2+p_ix-q_i)^{k_i} f(x)=ai=1∏s(x−ci)lii=1∏r(x2+pix−qi)ki
-
令 D s = { 1 , 2 , ⋯ , s } D_s=\{1,2,\cdots,s\} Ds={1,2,⋯,s}, D r = { 1 , 2 , ⋯ , r } D_r=\{1,2,\cdots,r\} Dr={1,2,⋯,r}
-
c i ( ∀ i ∈ D s ) c_i(\forall{i}\in{D_s}) ci(∀i∈Ds), p i , q i ( ∀ i ∈ D r ) p_i,q_i(\forall{i}\in{D_r}) pi,qi(∀i∈Dr)是实数
-
l i ( ∀ i ∈ D s ) l_i(\forall{i\in{D_s}}) li(∀i∈Ds), k i ( ∀ i ∈ D r ) k_i(\forall{i}\in{D_r}) ki(∀i∈Dr)是正整数
-
a ∈ R a\in{\mathbb{R}} a∈R是常数, a = a n a=a_n a=an表示 f ( x ) f(x) f(x)的最高次项 a n x n a_nx^{n} anxn的系数文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-558927.html
- 由代数基本定理, f ( x ) = a ∏ i = 1 n ( x − α i ) ( 2 ) f(x)=a\prod_{i=1}^{n}(x-\alpha_i)\;(2) f(x)=a∏i=1n(x−αi)(2), α i , i = 1 , 2 , ⋯ , n \alpha_i,i=1,2,\cdots,n αi,i=1,2,⋯,n是 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0的复根
- 容易确定 n n n次项的系数是 a a a,比较 ( 1 ) , ( 2 ) (1),(2) (1),(2),中最高次项的系数可知 a = a n a=a_n a=an
-
G i ( x ) = x 2 + p i x + q i , ∀ i ∈ D r G_i(x)=x^2+p_ix+q_i,\forall{i}\in{D_r} Gi(x)=x2+pix+qi,∀i∈Dr是实数系内不可约的( G i ( x ) = 0 G_i(x)=0 Gi(x)=0无实数解),从而判别式 Δ i = p i 2 − 4 q i < 0 , ∀ i ∈ D r \Delta_i=p_i^2-4q_i<0,\forall{i}\in{D_r} Δi=pi2−4qi<0,∀i∈Dr文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-558927.html
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