蒙特卡罗模拟计算定积分(R)

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参考资料：概率论与数理统计教程第二版（茆诗松）4.3

定积分线性变换（换元法）

对于一般区间[a,b]上的定积分：

可以作线性变换y=(x-a)/(b-a)，转化为[0,1]区间上的积分：

若，

令 $蒙特卡罗方法定积分例题,概率论$

则，此时：

$蒙特卡罗方法定积分例题,概率论$

其中，，

蒙特卡罗模拟

随机投点法（伯努利大数定律）

设二维随机变量(X,Y)服从上的均匀分布且独立。

记事件，其概率为：

用蒙特卡罗方法随机投点，将(X,Y)看成正方形内以均匀分布随机投的点，计算随机点落在区域A中的频率（即发生的次数占比），当n很大时，该频率作为的近似概率值（伯努利大数定律）。

例如，计算

a=2
b=3
g=function(x){
  t=x**2
  return(t)
}
c=g(a)
d=g(b)
f=function(y){
  t=1/(d-c)*(g(a+(b-a)*y)-c)
  return(t)
}
n=100000
m=function(n){
  m1=runif(n)
  m2=runif(n)
  s=0
  for(i in 1:n){
    if(m2[i]<=f(m1[i])){
      s=s+1
    }
  }
  p=s/n
  s0=(b-a)*(d-c)
  J=s0*p+c*(b-a)
  return(J)
}
m(n)

结果为：6.34315 6.3347 6.33895 6.3346等

平均值法（辛钦大数定理）

设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，则f(x)的数学期望为：

由辛钦大数定理，可以用f(x)观察值的平均值去估计数学期望。使用蒙特卡罗模拟，先生成n个(0,1)上的均匀分布随机数（n足够大），再由这些随机数确定f(x)观察值的平均值：

例如，计算

a=2
b=3
g=function(x){
  t=x**2
  return(t)
}
c=g(a)
d=g(b)
f=function(y){
  t=1/(d-c)*(g(a+(b-a)*y)-c)
  return(t)
}
n=100000
m=function(n){
  m1=runif(n)
  p=f(m1[1])
  for(i in 2:n){
    p=(p+f(m1[i]))/2
  }
  s0=(b-a)*(d-c)
  J=s0*p+c*(b-a)
  return(J)
}
m(n)

结果为：6.350545 5.169826 7.269659 6.478476等

注：平均值容易受极端值影响，误差可能较大。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-565216.html

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