球
欧几里得空间
中心
c
∈
R
n
\mathbf{c}\in\mathbb{R}^n
c∈Rn,半径
r
r
r的开球(open ball)表示为
B
(
c
,
r
)
B\left(\mathbf{c},r\right)
B(c,r),定义为
B
(
c
,
r
)
=
{
x
∈
R
n
:
∥
x
−
c
∥
<
r
}
B\left(\mathbf{c}, r\right) = \left\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:\|\mathbf{x}-\mathbf{c}\|<r\right\}
B(c,r)={x∈Rn:∥x−c∥<r}
中心
c
∈
R
n
\mathbf{c}\in\mathbb{R}^n
c∈Rn,半径
r
r
r的闭球(closed ball)表示为
B
[
c
,
r
]
B\left[\mathbf{c},r\right]
B[c,r],定义为
B
[
c
,
r
]
=
{
x
∈
R
n
:
∥
x
−
c
∥
≤
r
}
B\left[\mathbf{c}, r\right] = \left\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:\|\mathbf{x}-\mathbf{c}\|\le r\right\}
B[c,r]={x∈Rn:∥x−c∥≤r}
一般度量空间里的球
令 ( M , d ) \left(M,d\right) (M,d)为一度量空间,即具有度量(距离函数) d d d的集合 M M M
中心为 r r r的开球,通常标记为 B r ( p ) B_r\left(p\right) Br(p)或 B ( p ; r ) B\left(p;r\right) B(p;r),定义为
B
r
(
p
)
=
{
x
∈
M
∣
d
(
x
,
p
)
<
r
}
B_r\left(p\right) = \left\{x\in M| d\left(x,p\right)<r\right\}
Br(p)={x∈M∣d(x,p)<r}
其闭球,可标记为
B
r
[
p
]
B_r\left[p\right]
Br[p]或
B
[
p
;
r
]
B\left[p;r\right]
B[p;r],定义为
B
r
[
p
]
=
{
x
∈
M
∣
d
(
x
,
p
)
≤
r
}
B_r\left[p\right] = \left\{x\in M| d\left(x,p\right)\le r\right\}
Br[p]={x∈M∣d(x,p)≤r}
内部
内点
给定 U ⊆ R n U\subseteq \mathbb{R}^n U⊆Rn,如果存在 r > 0 r>0 r>0使得 B ( c , r ) ⊆ U B\left(\mathbf{c},r\right)\subseteq U B(c,r)⊆U,则点 c ∈ U \mathbf{c}\in U c∈U为 U U U的内点(interior point)
这个定义可以推广到度量空间 X X X的任意子集 S S S。具体地说,对具有度量 d d d的度量空间 X X X, x x x是 S S S的内点,若对任意不属于 S S S或在 S S S边界上的 y y y,都有 d ( x , y ) > 0 d(x, y) >0 d(x,y)>0。
这个定义也可以推广到拓扑空间,只需要用邻域替代“开球”。 设 S S S 是拓扑空间 X X X的子集,则 x x x是 S S S的内点,若存在 x x x邻域被包含于 S S S。注意,这个定义并不要求邻域是开的。
内部
给定集合
U
U
U,所有内点构成的集合称为集合的内部,表示为
i
n
t
(
U
)
int(U)
int(U),定义为:
i
n
t
(
U
)
=
{
x
∈
U
:
B
(
x
,
r
)
⊆
U
for some
r
>
0
}
int\left(U\right)=\left\{\mathbf{x}\in U:B\left(\mathbf{x},r\right)\subseteq U \text{for some }r >0\right\}
int(U)={x∈U:B(x,r)⊆Ufor some r>0}
边界
边界点
边界点(boundary point):给定集合
U
⊆
R
n
U\subseteq \mathbb{R}^n
U⊆Rn,
U
U
U的边界点
x
∈
R
n
\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n
x∈Rn满足下面条件:
x
\mathbf{x}
x的任何领域至少包含一个点属于
U
U
U,且至少包含一个点属于
U
c
U^c
Uc(
U
U
U的补集)
边界
给定集合 U U U,所有 U U U的边界点构成的集合称为边界,记为 b d ( U ) bd\left(U\right) bd(U)或 ∂ U \partial U ∂U
等价定义:
1.闭包减去内部:
∂
S
:
=
S
ˉ
\
int
X
S
\partial S:=\bar{S} \backslash \operatorname{int}_X S
∂S:=Sˉ\intXS
2.闭包和其补集的闭包的交集:
∂
S
:
=
S
ˉ
∩
(
X
\
S
)
‾
\partial S:=\bar{S} \cap \overline{(X \backslash S)}
∂S:=Sˉ∩(X\S)
3.边界点集合
∂
S
:
=
{
p
∈
X
:
for every neighborhood
O
of
p
,
O
∩
S
≠
∅
and
O
∩
(
X
\
S
)
≠
∅
}
.
\partial S:=\{p \in X: \text { for every neighborhood } O \text { of } p, O \cap S \neq \varnothing \text { and } O \cap(X \backslash S) \neq \varnothing\} \text {. }
∂S:={p∈X: for every neighborhood O of p,O∩S=∅ and O∩(X\S)=∅}.
极限点
极限点(limit point, accumulation point, cluster point): x x x的任意邻域至少包含 S S S中除了 x x x以外的点
如果 X X X是一个 T 1 T_1 T1空间(例如度量空间)则 x ∈ X x\in X x∈X是一个 S S S的极限点当且仅当 x x x的邻域包含 S S S的无限个点
如果 X X X是一个Fréchet–Urysohn空间(例如所有度量空间),则 x ∈ X x\in X x∈X是 S S S的极限点当且仅当一个 S \ { x } S\backslash \left\{x\right\} S\{x}序列的极限为 x x x
S S S的极限点的集合称为 S S S的导集(derived set)
开集
开集是一个只包含内部点的集合,即
∀
x
∈
U
,
∃
r
>
0
,
B
(
x
,
r
)
⊆
U
\forall \mathbf{x}\in U,\exists r >0, B\left(\mathbf{x},r\right)\subseteq U
∀x∈U,∃r>0,B(x,r)⊆U
开集例子: R n , R + + n \mathbb{R}^n, \mathbb{R}_{++}^n Rn,R++n
开集的并集是开集
有限个开集的交集是开集
闭集
集合
U
⊆
R
n
\mathbf{U}\subseteq \mathbb{R}^n
U⊆Rn是闭集,若它包含所有极限点;
即,
U
U
U是闭集,若所有序列
{
x
i
}
i
⊆
U
\left\{\mathbf{x}_i\right\}_i \subseteq U
{xi}i⊆U满足当
i
→
∞
i\to \infty
i→∞时,
x
i
→
x
∗
\mathbf{x}_i\to \mathbf{x}^*
xi→x∗,有
x
∗
∈
U
\mathbf{x}^*\in U
x∗∈U
闭集等价定义:若一个集合的补集是开集,则这个集合是闭集
证明:
假设
U
U
U是闭集,取
x
∈
U
c
x\in U^c
x∈Uc,有
x
∉
U
x\notin U
x∈/U,因此
x
x
x不是
U
U
U的极限点
进而存在
x
x
x的邻域
N
N
N,使得
U
∩
N
=
∅
U\cap N=\empty
U∩N=∅
于是
N
⊆
U
c
N\subseteq U^c
N⊆Uc,即
x
x
x是
U
c
U^c
Uc的内点
于是
U
c
U^c
Uc是开的文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-565806.html
假设
U
c
U^c
Uc是开集
设
x
x
x是
U
U
U的极限点,现在要证明
x
∈
U
x\in U
x∈U
因为是极限点,所以
x
x
x的邻域包含
x
x
x以外
U
U
U中的点,即
x
x
x的邻域不完全包含于
U
c
U^c
Uc
因此
x
∉
U
c
x\notin U^c
x∈/Uc,进而
x
∈
U
x\in U
x∈U,所以
U
U
U为闭集文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-565806.html
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