简单的拓扑学习

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欧几里得空间

中心 c ∈ R n \mathbf{c}\in\mathbb{R}^n cRn,半径 r r r的开球(open ball)表示为 B ( c , r ) B\left(\mathbf{c},r\right) B(c,r),定义为
B ( c , r ) = { x ∈ R n : ∥ x − c ∥ < r } B\left(\mathbf{c}, r\right) = \left\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:\|\mathbf{x}-\mathbf{c}\|<r\right\} B(c,r)={xRn:xc<r}
中心 c ∈ R n \mathbf{c}\in\mathbb{R}^n cRn,半径 r r r的闭球(closed ball)表示为 B [ c , r ] B\left[\mathbf{c},r\right] B[c,r],定义为
B [ c , r ] = { x ∈ R n : ∥ x − c ∥ ≤ r } B\left[\mathbf{c}, r\right] = \left\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:\|\mathbf{x}-\mathbf{c}\|\le r\right\} B[c,r]={xRn:xcr}

一般度量空间里的球

( M , d ) \left(M,d\right) (M,d)为一度量空间,即具有度量(距离函数) d d d的集合 M M M

中心为 r r r的开球,通常标记为 B r ( p ) B_r\left(p\right) Br(p) B ( p ; r ) B\left(p;r\right) B(p;r),定义为

B r ( p ) = { x ∈ M ∣ d ( x , p ) < r } B_r\left(p\right) = \left\{x\in M| d\left(x,p\right)<r\right\} Br(p)={xMd(x,p)<r}
其闭球,可标记为 B r [ p ] B_r\left[p\right] Br[p] B [ p ; r ] B\left[p;r\right] B[p;r],定义为
B r [ p ] = { x ∈ M ∣ d ( x , p ) ≤ r } B_r\left[p\right] = \left\{x\in M| d\left(x,p\right)\le r\right\} Br[p]={xMd(x,p)r}

内部

内点

给定 U ⊆ R n U\subseteq \mathbb{R}^n URn,如果存在 r > 0 r>0 r>0使得 B ( c , r ) ⊆ U B\left(\mathbf{c},r\right)\subseteq U B(c,r)U,则点 c ∈ U \mathbf{c}\in U cU U U U的内点(interior point)

这个定义可以推广到度量空间 X X X的任意子集 S S S。具体地说,对具有度量 d d d的度量空间 X X X x x x S S S的内点,若对任意不属于 S S S或在 S S S边界上的 y y y,都有 d ( x , y ) > 0 d(x, y) >0 d(x,y)>0

这个定义也可以推广到拓扑空间,只需要用邻域替代“开球”。 设 S S S 是拓扑空间 X X X的子集,则 x x x S S S的内点,若存在 x x x邻域被包含于 S S S。注意,这个定义并不要求邻域是开的。

内部

给定集合 U U U,所有内点构成的集合称为集合的内部,表示为 i n t ( U ) int(U) int(U),定义为:
i n t ( U ) = { x ∈ U : B ( x , r ) ⊆ U for some  r > 0 } int\left(U\right)=\left\{\mathbf{x}\in U:B\left(\mathbf{x},r\right)\subseteq U \text{for some }r >0\right\} int(U)={xU:B(x,r)Ufor some r>0}

边界

边界点

边界点(boundary point):给定集合 U ⊆ R n U\subseteq \mathbb{R}^n URn U U U的边界点 x ∈ R n \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n xRn满足下面条件:
x \mathbf{x} x的任何领域至少包含一个点属于 U U U,且至少包含一个点属于 U c U^c Uc U U U的补集)

边界

给定集合 U U U,所有 U U U的边界点构成的集合称为边界,记为 b d ( U ) bd\left(U\right) bd(U) ∂ U \partial U U

等价定义:
1.闭包减去内部: ∂ S : = S ˉ \ int ⁡ X S \partial S:=\bar{S} \backslash \operatorname{int}_X S S:=Sˉ\intXS
2.闭包和其补集的闭包的交集: ∂ S : = S ˉ ∩ ( X \ S ) ‾ \partial S:=\bar{S} \cap \overline{(X \backslash S)} S:=Sˉ(X\S)
3.边界点集合
∂ S : = { p ∈ X :  for every neighborhood  O  of  p , O ∩ S ≠ ∅  and  O ∩ ( X \ S ) ≠ ∅ } .  \partial S:=\{p \in X: \text { for every neighborhood } O \text { of } p, O \cap S \neq \varnothing \text { and } O \cap(X \backslash S) \neq \varnothing\} \text {. } S:={pX: for every neighborhood O of p,OS= and O(X\S)=}

极限点

极限点(limit point, accumulation point, cluster point): x x x的任意邻域至少包含 S S S中除了 x x x以外的点

如果 X X X是一个 T 1 T_1 T1空间(例如度量空间)则 x ∈ X x\in X xX是一个 S S S的极限点当且仅当 x x x的邻域包含 S S S的无限个点

如果 X X X是一个Fréchet–Urysohn空间(例如所有度量空间),则 x ∈ X x\in X xX S S S的极限点当且仅当一个 S \ { x } S\backslash \left\{x\right\} S\{x}序列的极限为 x x x

S S S的极限点的集合称为 S S S的导集(derived set)

开集

开集是一个只包含内部点的集合,即
∀ x ∈ U , ∃ r > 0 , B ( x , r ) ⊆ U \forall \mathbf{x}\in U,\exists r >0, B\left(\mathbf{x},r\right)\subseteq U xU,r>0,B(x,r)U

开集例子: R n , R + + n \mathbb{R}^n, \mathbb{R}_{++}^n Rn,R++n

开集的并集是开集
有限个开集的交集是开集

闭集

集合 U ⊆ R n \mathbf{U}\subseteq \mathbb{R}^n URn是闭集,若它包含所有极限点;
即, U U U是闭集,若所有序列 { x i } i ⊆ U \left\{\mathbf{x}_i\right\}_i \subseteq U {xi}iU满足当 i → ∞ i\to \infty i时, x i → x ∗ \mathbf{x}_i\to \mathbf{x}^* xix,有 x ∗ ∈ U \mathbf{x}^*\in U xU

闭集等价定义:若一个集合的补集是开集,则这个集合是闭集

证明:
假设 U U U是闭集,取 x ∈ U c x\in U^c xUc,有 x ∉ U x\notin U x/U,因此 x x x不是 U U U的极限点
进而存在 x x x的邻域 N N N,使得 U ∩ N = ∅ U\cap N=\empty UN=
于是 N ⊆ U c N\subseteq U^c NUc,即 x x x U c U^c Uc的内点
于是 U c U^c Uc是开的

假设 U c U^c Uc是开集
x x x U U U的极限点,现在要证明 x ∈ U x\in U xU
因为是极限点,所以 x x x的邻域包含 x x x以外 U U U中的点,即 x x x的邻域不完全包含于 U c U^c Uc
因此 x ∉ U c x\notin U^c x/Uc,进而 x ∈ U x\in U xU,所以 U U U为闭集文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-565806.html

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