高斯函数
高斯函数广泛应用于统计学领域,用于表述正态分布,在信号处理领域,用于定义高斯滤波器,在图像处理领域,二维高斯核函数常用于高斯模糊Gaussian Blur,在数学领域,主要是用于解决热力方程和扩散方程,以及定义Weiertrass Transform。
1.一维高斯函数
高斯函数,Gaussian Function, 也简称为Gaussian,一维形式如下:
f
(
x
)
=
a
e
−
(
x
−
b
)
2
2
c
2
f(x)=ae^{- \frac{(x-b)^2}{2c^2}}
f(x)=ae−2c2(x−b)2
函数图像如下:
其中
- a a a表示曲线高度;
- b ( μ ) b(\mu) b(μ)表示曲线在 x x x轴的中心;
- c ( σ ) c(\sigma) c(σ)表示半峰宽度有关;
2. 二维高斯函数
二维高斯函数在计算机视觉领域用处广泛,利用0均值的二维高斯函数,可以生成高斯卷积核,用于图像处理中的高斯滤波,实现高斯模糊,可以去除噪声。
公式如下:
G
(
x
,
y
)
=
1
2
π
σ
2
e
−
(
x
2
+
y
2
)
2
σ
2
G(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-\frac{(x^2+y^2)}{2\sigma^2}}
G(x,y)=2πσ21e−2σ2(x2+y2)
三维立体图:
等高线图:
画图代码如下:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
# 定义二维高斯函数
def Gaussian(x, y, x0, y0, sigma):
return np.exp(-((x - x0)**2 + (y - y0)**2) / (2.0 * sigma**2))
# 设置参数
sigma = 2
x, y = np.meshgrid(np.linspace(-5, 5), np.linspace(-5, 5))
# 计算高斯函数
z = Gaussian(x, y, 0, 0, sigma)
# 绘制3D图形
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
#plt.get("可选参数如下"),可故意写错,报错可以提醒正确的配色
# 'Accent', 'Accent_r', 'Blues', 'Blues_r', 'BrBG', 'BrBG_r', 'BuGn', 'BuGn_r', 'BuPu', 'BuPu_r', 'CMRmap', 'CMRmap_r', 'Dark2', 'Dark2_r', 'GnBu', 'GnBu_r', 'Greens', 'Greens_r', 'Greys', 'Greys_r', 'OrRd', 'OrRd_r', 'Oranges', 'Oranges_r', 'PRGn', 'PRGn_r', 'Paired', 'Paired_r', 'Pastel1', 'Pastel1_r', 'Pastel2', 'Pastel2_r', 'PiYG', 'PiYG_r', 'PuBu', 'PuBuGn', 'PuBuGn_r', 'PuBu_r', 'PuOr', 'PuOr_r', 'PuRd', 'PuRd_r', 'Purples', 'Purples_r', 'RdBu', 'RdBu_r', 'RdGy', 'RdGy_r', 'RdPu', 'RdPu_r', 'RdYlBu', 'RdYlBu_r', 'RdYlGn', 'RdYlGn_r', 'Reds', 'Reds_r', 'Set1', 'Set1_r', 'Set2', 'Set2_r', 'Set3', 'Set3_r', 'Spectral', 'Spectral_r', 'Wistia', 'Wistia_r', 'YlGn', 'YlGnBu', 'YlGnBu_r', 'YlGn_r', 'YlOrBr', 'YlOrBr_r', 'YlOrRd', 'YlOrRd_r', 'afmhot', 'afmhot_r', 'autumn', 'autumn_r', 'binary', 'binary_r', 'bone', 'bone_r', 'brg', 'brg_r', 'bwr', 'bwr_r', 'cividis', 'cividis_r', 'cool', 'cool_r', 'coolwarm', 'coolwarm_r', 'copper', 'copper_r', 'cubehelix', 'cubehelix_r', 'flag', 'flag_r', 'gist_earth', 'gist_earth_r', 'gist_gray', 'gist_gray_r', 'gist_heat', 'gist_heat_r', 'gist_ncar', 'gist_ncar_r', 'gist_rainbow', 'gist_rainbow_r', 'gist_stern', 'gist_stern_r', 'gist_yarg', 'gist_yarg_r', 'gnuplot', 'gnuplot2', 'gnuplot2_r', 'gnuplot_r', 'gray', 'gray_r', 'hot', 'hot_r', 'hsv', 'hsv_r', 'inferno', 'inferno_r', 'jet', 'jet_r', 'magma', 'magma_r', 'nipy_spectral', 'nipy_spectral_r', 'ocean', 'ocean_r', 'pink', 'pink_r', 'plasma', 'plasma_r', 'prism', 'prism_r', 'rainbow', 'rainbow_r', 'seismic', 'seismic_r', 'spring', 'spring_r', 'summer', 'summer_r', 'tab10', 'tab10_r', 'tab20', 'tab20_r', 'tab20b', 'tab20b_r', 'tab20c', 'tab20c_r', 'terrain', 'terrain_r', 'turbo', 'turbo_r', 'twilight', 'twilight_r', 'twilight_shifted', 'twilight_shifted_r', 'viridis', 'viridis_r', 'winter', 'winter_r'
ax.plot_surface(x, y, z, rstride=2, cstride=2, cmap=plt.get_cmap('BuGn'))
plt.savefig('gaussianFunction.jpg')
plt.show()
# 绘制等高线图形
plt.contourf(x, y, z, 10, cmap=plt.get_cmap('PuOr'))
plt.savefig('gaussianContourf.jpg')
plt.show()
高斯滤波
1.高斯核生成
若要生成
(
2
k
+
1
)
∗
(
2
k
+
1
)
(2k+1)*(2k+1)
(2k+1)∗(2k+1)大小的高斯核,生成公式如下:
G
[
i
,
j
]
=
1
2
π
σ
2
e
−
(
(
x
−
k
−
1
)
2
+
(
y
−
k
−
1
)
2
)
2
σ
2
G[i,j]=\frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-\frac{((x-k-1)^2+(y-k-1)^2)}{2\sigma^2}}
G[i,j]=2πσ21e−2σ2((x−k−1)2+(y−k−1)2)
其中
σ
x
=
σ
y
=
σ
\sigma_x=\sigma_y=\sigma
σx=σy=σ
G
h
[
i
,
j
]
=
G
[
i
,
j
]
s
u
m
G
(
归一化
)
G_h[i,j]=\frac{G[i,j]}{sumG} (归一化)
Gh[i,j]=sumGG[i,j](归一化)
其中
s
u
m
G
sumG
sumG为
G
[
i
,
j
]
G[i,j]
G[i,j]的和
2.滤波过程
图片来自于这里
下面是 5x5 ,σ=25高斯滤波器的实现代码:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import math
import cv2
import imgShow as iS
import random
# 去除噪音 - 使用 5x5 的高斯滤波器
def gaussianSmooth(img_gray):
# 1.生成高斯滤波器/高斯核
"""
要生成一个 (2k+1)x(2k+1)的高斯滤波器,滤波器的各个元素计算公式如下:2*k+1=5,k=2,
H[i, j] = (1/(2\*pi\*sigma\*\*2))\*exp(-1/2\*sigma\*\*2((i-k-1)\*\*2 + (j-k-1)\*\*2))
"""
sigma = 25
gau_sum = 0
gaussian = np.zeros([5, 5])
for i in range(5):
for j in range(5):
gaussian[i, j] = math.exp((-1 / (2 * sigma * sigma)) * (np.square(i - 2) + np.square(j - 2)))
gau_sum = gau_sum + gaussian[i, j]
# 2.高斯滤波器归一化处理
gaussian = gaussian / gau_sum
print(gaussian)
# 3.高斯滤波
W, H = img_gray.shape
new_gray = np.zeros([W , H])
for i in range(W):
for j in range(H):
if(i<W-5 and j<H-5):
new_gray[i,j] = np.sum(img_gray[i:i + 5, j:j + 5] * gaussian)
else:
new_gray[i,j] =img_gray[i,j]
return new_gray
def gauss_noise(img, mean=0, sigma=25):
image = np.array(img / 255, dtype=float) # 将原始图像的像素值进行归一化
# 创建一个均值为mean,方差为sigma,呈高斯分布的图像矩阵
noise = np.random.normal(mean, sigma / 255.0, image.shape)
out = image + noise # 将噪声和原始图像进行相加得到加噪后的图像
res_img = np.clip(out, 0.0, 1.0)
res_img = np.uint8(res_img * 255.0)
return res_img
img = cv2.imread('PeppersRGB.tif')
grayImg = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
noiseImg=gauss_noise(grayImg)
smoothImg = gaussianSmooth(grayImg)
iS.showImagegray(smoothImg, noiseImg, 25, 15, 'smoothImg', 'origin', './GaussianSmooth.jpg')
GaussianBlur_opencv=cv2.GaussianBlur(noiseImg,(5,5),25)
iS.showImagegray(GaussianBlur_opencv,noiseImg , 25, 15, 'GaussianBlur_opencv', 'origin', './GaussianSmooth_Opencv.jpg')
高斯核(归一化)显示结果
显示子图代码如下:
import matplotlib.pyplot as plt
#图像实际大小为 W*100 * H*100 像素 ,
def showImagegray(newImg,oldImg,W,H,newImgtitle,oldImgtitle,saveImgpath):
plt.figure(figsize=(W,H))
plt.subplot(121)
plt.title(oldImgtitle,fontsize=30)
plt.axis('off')
plt.imshow(oldImg, cmap='gray')
plt.subplot(122)
plt.title(newImgtitle,fontsize=30)
plt.axis('off')
plt.imshow(newImg, cmap='gray')
# plt.tight_layout() # 调整整体空白
plt.savefig(saveImgpath)
plt.show()
代码效果如下:
文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-572483.html
点击这里整体代码可见github上代码
Opencv实现高斯滤波文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-572483.html
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