石子合并（动态规划区间DP）+详细注释-Toy模板网

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原题链接 活动 - AcWing

题目

设有 N 堆石子排成一排，其编号为 1,2,3,…,N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 N 堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4 堆石子分别为 1 3 5 2，我们可以先合并 1、2堆，代价为 4，得到 4 5 2，又合并 1、2堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2、3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式

第一行一个数 N 表示石子的堆数 N。

第二行 N 个数，表示每堆石子的质量(均不超过 1000)。

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

数据范围

1≤N≤300

输入样例：

4
1 3 5 2

输出样例：

解题思路：

按区间从短到长依次枚举，求区间中石子合并的最小代价并记录在f数组中

例如

区间长度len=2时得到

f[1][2] = 4，f[2][3] = 8，f[3][4] = 7

在区间长度len=3时根据f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);就可以得到

f[1][3]=f[1][2]+f[3][3]+(s[3]-s[0])=13

ps：区间长度递增的原因是区间长度长的利用到了区间长度小的数值

程序代码

#include<bits/stdc++.h>
const int N=1010;
int f[N][N];//表示区间 
int s[N];   //求前缀和 
int a;
using namespace std;
int main()
{
	cin>>a;
	for(int i=1;i<=a;i++)cin>>s[i]; 
	
	for(int i=1;i<=a;i++)s[i]+=s[i-1];//求前缀和，使得下标之差就是区间的元素之和 
	
	for(int len=2;len<=a;len++)//len代表区间的长度，区间的长度递增 
	{
		for(int i=1;i+len-1<=a;i++)//例如，i=1，len=2时 i+len-1=2，1到2即表示区间长度为2
		{
			int l=i,r=i+len-1;
			f[l][r]=0x3f3f3f3f;
			
			for(int k=l;k<r;k++)//k用来切割区间 
			{
				f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);
				//区间从左到右依次分割求理想的最小值 
			}
			//s[r]-s[l-1]为最后一下合并区间内的石子需要的体力为区间内所有石子的和 
		}
	}
	cout<<f[1][a];//输出1到a区间的最小和，就是答案 
}

文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-574900.html

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