1 .矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。
如下图中，UWQ三个矩阵，(UW)Q 和U(WQ)的2种结合，证明矩阵乘法满足结合律。
AB 和BA的表达式，如下图中，相同的条件是对应的8项都相同（两个对称矩阵必然满足条件），但是实际上，矩阵展开后的x和y位置是是转置的，只有对角线上的项的乘积是相等的，因此两者的值必然不同：
- 对称矩阵A（也可以不是对称矩阵）求对角阵或特征值。正数的特征值的个数就是正惯性指数，负数的特征值个数就是负惯性指数。实对称矩阵的特征值必然是实数，特征向量必然线性无关且正交，即AQ=QLamda，其中Lamda是以A的特征值为迹的对角矩阵，即 A = Q B Q − 1 ( Q − 1 A= QBQ^{-1}(Q ^{-1} A=QBQ−1(Q−1为Q的逆矩阵），此定理称为“谱定理”。
对称矩阵一定可以写成： B = A t A B= A^t A B=AtA，即对称矩阵来源于矩阵和它的转置矩阵的乘积。
- 正定矩阵中“正定”的含义：
对于任意向量x , ( x t ) A x (x ^ t)Ax (xt)Ax >0。
该性质的证明思路：
(1) 正定矩阵的二次型的可以化为标准型，所以二次型的值必然大于0。
(2) ( x t ) ( B t ) ( Λ ) ( B ) ( x ) > 0 (x ^t)(B ^ t)(\Lambda)(B)(x) > 0 (xt)(Bt)(Λ)(B)(x)>0，其中 Λ \Lambda Λ是以A的特征值为迹的对角矩阵，有转置矩阵的性质得知其值必然大于0。
(3) 其他方法也可得证。
- 合同：就是两个矩阵有相同的正负惯性指数。在实数域上，只要两个矩阵的正负惯性指数相同，即可以认为两个矩阵存在合同。这是非常重要的判别的一句话！
5. 转置运算
(
A
B
)
t
=
B
t
A
t
(AB)^t = B ^t A ^t
(AB)t=BtAt
6. 证明对称矩阵的秩为1
- 证明AB 的特征值跟BA 的特征值相同
- 赫尔维茨定理的证明
对称矩阵 A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正，即：
该结论的证明，跟同济版《线性代数》“矩阵的迹等于特征值之和，矩阵的行列式等于特征值之积”相同。由第一阶主子式a11>0 , 第二阶主子式所组成的矩阵是对称矩阵得出a11a22>0，可得a22>0。以此类推可得到其他的特征值大于0。
对称矩阵A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即：文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-575328.html
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- 所有的行列式都可以化为上三角或者下三角形式。这就是著名的"高斯削元法"。
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