前言
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积学以储宝,酌理以富才— 出自《文心雕龙·神思》
解释:积累学识来储存珍宝,要斟酌辨析各种事理来丰富增长自己的才学。
这篇博客将会详细介绍浮点数的存储,我们在很多教材上是学不到的,所以我们会对浮点数的存储产生好奇,今天我们就一起来学习。
常见的浮点数🍀
例如:1.2233344
又如:1E3
1E3我们应该好好介绍一下:
实际上就是我们初中物理中学习的科学计数法,
就等于1 x 10^3 = 1000。
还有一点规定,就是E前面的数字可以是小数,而E后面的数字只能是整数
这与我们写物理题目是一个道理,毕竟我们从来没有都不会让小数成为
10的指数。
我所使用的编译器是VS2022
,我们如果想知道我们编译器所规定的数据类型的最大值最小值
可以查找两个头文件。
-
limits.h
是用来查看除浮点型以外的数据类型的。
由于我们的重点是浮点数,就不一一展示了
-
float.h
就是用来查看编译器所设定的浮点数的最大值最小值的,但是在VS2022上很难查找到这个文件,所以我借助了everything
这个很好用的查找文件的工具。
我们已经学会了如何查看头文件,接下来我们再来看一个例子。
引例🐽
int main()
{
int n = 9;
float *pFloat = (float *)&n;
printf("n的值为:%d\n",n);
printf("*pFloat的值为:%f\n",*pFloat);
*pFloat = 9.0;
printf("num的值为:%d\n",n);
printf("*pFloat的值为:%f\n",*pFloat);
return 0;
}
我们看看这行代码,再分析一下。
下面是我的分析图,你也可以看看。
-
我们先看上面部分
我们printf("n的值为:%d\n", n);
这行代码是比较简单的,输出9,
那么printf("*pFloat的值为:%f\n", *pFloat);
这一行就有点不确定了,我们知道如果以%d
打印,那么我们要打印的数据在%d看来就是一个有有符号整型或者以%u
打印,那么要打印的数据在%u看来就是一个无符号的整型。
这里应该也是一样的,那么以%f
来打印,是打印9.000000吗?我们暂时放一放看下半部分。 -
下半部分
我们知道*pfloat = 9.0
会改变这两个变量里的数据,那么float *类型的是比较容易改变的,会被直接改变变成9.000000,但是int 类型的变量n呢?如果你不了解浮点数在内存中的存储,你确实很难知道为什么。
我们先将答案给出来,大家带着答案一起去寻找为什么
引例答案✳️
这真的很奇怪是不是,第二行和第三行好像是完全没有道理。但是如果你仔细一想就应该能推提出一个假设:浮点数的存储方式一定与整型不同。
别急我们马上就来介绍。
浮点数的存储规则💥
我们想搞懂这个问题需要我们了解浮点数在内存中的存储方法
放心不是很复杂,只要我们用点心。
在C语言中,浮点数的存储方式遵循IEEE 754标准。具体来说,C语言中的浮点数类型(如float、double)使用二进制表示,并按照IEEE 754标准进行存储。
IEEE 754规定:
任何一个二进制浮点数N
都可以表达成下面的方式:
(-1) ^ S * M * 2 ^ E
- 在这个式子中(-1) ^ S表示符号位,
当S为0时,N为正数,当S为1时,N为负数。
- M表示的是有效位数,大于1,小于2。
- 2 ^ E表示指数位。
这样你肯定也还是不明白,没关系我们举例就行。
首先我们也还是需要复习一下我们的数学知识:
我们更仔细的来看就是这样的:
那么如果十进制是这样那么二进制呢?
当然是差不多的,我们再来举个例子
如果不是很懂可以看这副图
如果你上面的图都能看懂那么下面的也就很简单了
如果我们明白了这个道理,那么我们就直接试一试吧!尝试将9.0
的S,M,E写出
我们知道了方法就比较简单了,虽然刚开始可能不太熟练,见得多了也就会了。
-
首先我们看到是正数所以
S=0
-
将
9.0
转换为2进制1001.0
是9
的二进制。
3.将1001.0
用类似科学计数法的形式转换得到1.001 * 2 ^ 3
,我们得到M=1.001 ,E = 3。
这三步做好了就基本不会出错了。
但是我们还要讲一个比较重要的概率,就是:
既然小数位也是用2 ^ -1, 2 ^-2,·······2 ^ n 来逐渐趋近数据的小数点后的值
那么3.14这个值呢?
我们再用我们的方法试试是搞不出来的。
下面是我用叫AI算的11.00100110...(无限循环,以省略号表示)
像0.14
这样的数需要很多小数点后的1来表示,但是我们计算机只会保留部分,所以会导致精度丢失,但是没有办法,所以我们才会四舍五入。
知道了这些知识我们再来看看到底计算机能存储多少有效的数位呢?
IEEE 754规定:
对于32位的浮点数,最高的1位是符号位s,接着的8位是指数E,
剩下的23位为有效数字M。
IEEE 754规定:
对于64位的浮点数,最高的1位是符号位s,接着的11位是指数E,
剩下的52位为有效数字M。
由于52比特位实在是太长了,我就换了一下行,但是实际上是连起来的。
M与E的特别规定🐣
- M的相关规定
在上面我们说过M的范围为[1, 2)
。也就是说M最小也是1。
IEEE 754规定,当计算机内部保存M的时候,会默认这个数第一位总是1,
因此可以被舍去,只保存小数点后面部分。
这样做的好处是,当省略掉一个比特位,那么就多出一个比特位用来增加精度。
比如保存1.01的时 候,只保存01,等到读取的时候,再把第一位的1加上去。
这样做的目的,是节省1位有效数字。
以32位 浮点数为例,留给M只有23位, 将第一位的1舍去以后,等于可以保存24位有效数字。
- E的相关规定
指数E的情况是比较复杂的。
-
我们看到E有8位,并且
这8位是无符号的
,也就是说,E最大是1111 1111
就是255,最小为0; 0 < = E < = 255(32比特位浮点数)。 -
如果E为11位,它的取值范围为
0~2047
。
但是,我们知道,科学计数法中的E是可以出现负数的。
那该怎么办?
所以IEEE 754规定,存入内存时E的真实值必须再加上一个中间数
,对于8位的E,这个中间数是127;
对于11位的E,这个中间数是1023。
比如,2^10的E是10,所以保存成32位浮点数时,必须保存成10+127=137,即1000 1001。
我们来看两个例子:
然后我们调试起来验证验证~
代码也给出来
int main()
{
float f = 5.5;
//101.1
// S = 0,M = 1.011,E=2
//-1^(0) * 1.011 * 2^2
//当要存储时E+127
// S E M
//0 10000001 01100000000000000000000
//0100 0000 1011 0000 0000 0000 0000
//40 b0 00 00
//由于是小端存储
//00 00 0b 40
return 0;
}
我们再换当E不加127时是负数的例子
int main()
{
float f = 0.5;
//0.1
//S = 0, M = 1.0 E = -1
//-1*(0) * 1 * 2^-1
//E+127 = 126
//0 01111110 0000000000000000000000
//0011 1111 0000 0000 0000 0000
//3f 00 00 00
// 00 00 00 3f
return 0;
}
如果说把数据放进去需要根据是32位还是64位来决定放的是多大的E,
那么取出来的时候是不是也有很多情况呢?
确实是这样!
指数E从内存中取出还可以分成三种情况🌑
- E不全为0或不全为1
这时,浮点数就采用下面的规则表示,即指数E的计算值减去127(或1023),
得到真实值,再将有效数字M前加上第一位的1。
比如:
0.5(1/2)的二进制形式为0.1,由于规定正数部分必须为1,
即将小数点右移1位,则为1.0*2^(-1),其阶码为-1+127=126,
表示为01111110,而尾数1.0去掉整数部分为0,
补齐0到23位00000000000000000000000,则其二进制表示形式为:
0 01111110 00000000000000000000000
-
E全为0
这时,浮点数的指数E等于1-127(或者1-1023)即为真实值,
有效数字M不再加上第一位的1,而是还原为0.xxxxxx的小数。
这样做是为了表示±0,以及接近于 0的很小的数字。
为什么会被直接解析为0呢? 因为 2^-126次方已经非常小了,相当与趋近余0,地球离月球的距离约为2的28.8974次方,这样对比就知道2 ^-126 有多小了吧。
- E全为1
这时,如果有效数字M全为0,
表示±无穷大(正负取决于符号位s);
为什么呢?
我们知道E最大是1111 1111也就是255,
255 - 127 也还有128。
2^128次方是多大?
是不是就相当于-+无穷!
我们回到引例🥶
我们现在再来看第二行和第三行。
1.第二行解析:
2. 第三行解析
就是这么奇妙!
总结😈
我们同过这篇博客系统的学习了,二进制与十进制在科学计数法上的不同,也了解的浮点数在内存中存储方式,和注意的要点,并且我们最后也帮大家解答了最开始的题目
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