数学模型：Python实现差分方程-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了数学模型：Python实现差分方程。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

上篇文章：微分方程
文章摘要：差分方程的Python实现。
参考书籍：数学建模算法与应用(第3版)司守奎孙玺菁。
PS1：只涉及了具体实现并不涉及底层理论。没有给出底层理论参考书籍的原因是不想做这个方向吧。所以对我只要掌握基本模型有个概念那就好了。
PS2：这里跳过数理统计直接来到差分方程那是因为：数理统计是机器学习的重要基础，数理统计想要好好学习一下以后重新开个专栏。之后的支持向量机放在机器学习部分，也就是再开个机器学习专栏。再之后的章节遇到大型数学建模竞赛再来补充。结束差分方程暂时结束这个专栏学习。
文章声明：如有发现错误，还望批评指正。

同样由于这个博主不感兴趣，我们只选几个典型案例来做。

贷款问题

参考书籍例8.1
某消费者需贷款30万元，期限30年，年利率5.1%，采用固定额度还款，每月应还多少贷款。
模型建立：
记 $y_n$ 为第n个月的欠款总额； $r=\frac{0.051}{12}\times100\%=0.425\%$ 为月利率， $N$ 为360月， $Q$ 为贷款总额。
$\left\{\begin{matrix}y_n=(1+r)y_{n-1}-x,n=1,2,\dots,N\\y_0=Q\end{matrix}\right.$
模型求解：
$y_n=(1+r)^ny_0-x\frac{(1+r)^n-1}{r}$
因为 $y_{360}=0$ ，所以有：
$x=\frac{(1+r)^{360}Qr}{(1+r)^{360}-1}$

Q=300000;r=0.051/12;N=360
print((pow(1+r,N)*Q*r)/(pow(1+r,N)-1))
#1628.849320201216

像这种有解析解，就挺好的。

养老保险

参考书籍例8.5
某保险公司的一份材料指出，在每月交200元到59岁末60岁开始领取养老金约定下，男子25岁开始投保届时月养老金2282元。假定人的寿命75岁，试求保险公司为了兑现责任，每月至少应该有多少投资收益率。
模型建立：
记 $F_k$ 表示投保人在投保后第k个月所交保险费及收益累计总额， $p$ 为缴费期间费用， $q$ 为养老期间支出。
$F_{k+1}=F_{k}(1+r)+p,k=0,1,\dots,N-1\\F_{k+1}=F_k(1+r)-q,k=N,N+1,\dots,M-1$
模型解得：
$F_k=[(1+r)^k-1]\frac{p}{r},k=0,1,\dots,N,\\F_k=\frac{q}{r}[1-(1+r)^{k-m}],k=N+1,N+2,\dots,M,$
带入则有：
$F_N=[(1+r)^N-1]\frac{p}{r}\\F_{N+1}=\frac{q}{r}[1-(1+r)^{N+1-M}],$
由于 $F_{N+1}=F_N(1+r)-q$ 因此得：
$\frac{q}{r}[1+(1+r)^{N+1-M}]=[(1+r)^M-1]\frac{p}{r}(1+r)-q$
化简：
$(1+r)^M-(1+\frac{q}{p})(1+r)^{M-N}+\frac{q}{p}=0$
像这种没解析解得，就不好了。很多方法可以求解，例如二分。但是这里我们还是调用API吧。

M=600;N=420;P=200;Q=2282
from scipy.optimize import fsolve
def func(r):
    return pow((1+r),M)-(1+Q/P)*pow(1+r,M-N)+Q/P
print(fsolve(func,0))

1：.得r为0。2：违反常识。开始质疑。3(1: 质疑api正确性，手动带入的确为0。3(2: 质疑存在多个零点，但是API只给出一个，带入标答0.0049求得0.27586315562580666，标答错误。3(3: 质疑公式的正确性，手推一遍的确如此。4: 得出结论——原书错误并且保险一本万利。
好了玩笑到此为止，虽然没有找到问题，但是得出几个既定事实。1) $r\neq0$ ，因为 $r$ 作了分母。2)书上公式是正确的，但是答案错误。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-577615.html