概率论的学习和整理--番外12：2个概率选择比较的题目-Toy模板网

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1 要解决的题目

2 先说结论，后面解释原因

2.1 先考虑期望，期望要尽量大，但比然有限制

2.2 再考虑方差，在期望给定前提下，尽量减小方差，稳定体验

2.3 结论：先考虑期望，再考虑方差

3 算法

3.1 错误算法

3.2 正确算法1，直接解方程

3.3 正确算法2，用条件期望求解

3.4 算法3，用递归--等比数列求和来算

4 上述两个方案比较的意义-回到问题本身

1 要解决的题目

题目

3个A合成1个B

方案1：1/4 几率返还一个A，

方案2：1/10 几率多得1个B

哪一个更好呢？文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-578719.html

2 先说结论，后面解释原因

2.1 先考虑期望，期望要尽量大，但比然有限制

提供方利益和用户利益并不一致，需要双方达到一个平衡
用户肯定更喜欢期望大的，期望大意味着可以获得更多
但是提供方往往要严控期望值，也就是严控奖励发放数量

2.2 再考虑方差，在期望给定前提下，尽量减小方差，稳定体验

再双方利益达到一个平衡点后，也就是期望稳定后，是否可以提高玩家的体验呢？
答案是可以的
那就是：尽量缩小方差，稳定玩家的体验，避免体验次数不同的玩家体验差异太大！

2.3 结论：先考虑期望，再考虑方差

先在允许的范围内考虑期望尽量大
期望差不多的时候，应该要考虑方差小的，也就是概率差不多的感受更好
因为这2个方案期望差不多，但是方案1的概率大方差小，这2个方案里方案1更好

3 算法

先举1个错误例子

3.1 错误算法

下面这是错的！

这种简单思维，完全没有考虑到递归的影响，绿色还可以继续再来合成，需要折算

方案1

3A=1/4*(3+1)+3/4*3 '这里这个1是可以继续再合成的，进行递归合成，无限次

3A=4/4+9/4

3A=13/4

方案2

3A=9/10*3+1/10*6

3A=27/10+6/10

3A=33/10

比较

E(X1)-E(X2)=11/4-33/10=（110-132）/40= -22/40= -11/20

3.2 正确算法1，直接解方程

方案1

解方程，算二者关系

把A视为A, 把B视为B，每3个A可以合成一次B

3A=3/4*B+1/4*(B+A)

11/4*A=B

A=4/11*B

方案2

3A=9/10*B+1/10*2B

3A=11/10*B

A=11/30*B

比较

E(X1)-E(X2)=4/11-11/30= (120-121) /330 = -1/330

3.3 正确算法2，用条件期望求解

把A视为E(X), 把B视为1，每1个A只相当于1/3个B

使用条件期望，先要考虑清楚，要考察的随机变量
这里令 X=是生成B的数量
因为把合成公式用这个视角带入
方案1： 3E(X)=3/4*1+1/4*(1+E(X))
方案2： 3E(X)=9/10*1+1/10*2

因为把合成公式用这个视角带入，但可以只看1个材料合成的情况，1/3即可
其实，其实是用1个A，3个A，或者12个A都可以的，最后都可以约掉
方案1： E(X)=3/4*1/3+1/4*(1/3+E(X)/3)
方案2： E(X)=9/10*1/3+1/10*2/3

如果条件期望计算

方案1

E(X)=1/4*1/3（1+E(X)）+3/4*1/3

E(X)=1/12*（1+E(X)）+3/12

E(X)=4/11

方案2

E(X2)=9/10*1/3+1/10*2*(1/3)

E(X2)=3/10+2/30

E(X2)=11/30

比较

E(X1)-E(X2)=4/11-11/30= (120-121) /330 = -1/330

3.4 算法3，用递归--等比数列求和来算

用递归的方法算

考虑到递归的影响，绿色还可以继续再来合成，需要折算

考虑递归--用等比数列求和的方式算

方式1

需要根据现在的合成关系，去展开

然后去观察下，每次迭代之间的数值关系

确实是符合等比数量

找到公比，后来就好计算了

12A =lim 4B+4B/12+4B/12/12+....

12A =等比数列求和

12A =lim 4B*(1-(1/12)^n)/(1-1/12)

12A =4B*12/11

A =4/11*B

方式2

这个不用递归

因为没有涉及到合成后又生成A的问题

3A=9/10*B+1/10*2B

3A=11/10*B

A=11/30*B

比较

E(X1)-E(X2)=4/11-11/30= (120-121) /330 = -1/330