目录
一、说明
二、仿射映射
2.1 直线上的仿射映射定义
2.2 平面间的仿射映射定义
三、仿射不变性性质
四、平面到自身的透视仿射
五、透视仿射和透视映射的关系
5.1 射影透视变换和仿射的关系
5.2 仿射函数和线性函数的区别
一、说明
简单来说，“仿射变换”就是：“线性变换”+“平移”，但这是在笛卡尔坐标下的表现，然而在射影几何中，其中有更合乎逻辑的解释。本文讲仿射映射的定义，以及仿射不变性的特点。
二、仿射映射
2.1 直线上的仿射映射定义
多重仿射映射
2.2 平面间的仿射映射定义
三、仿射不变性性质
- 定理 1 二直线间的平行性是仿射不变性.
- 定理 2 共线三点的简比是仿射不变量.
定义 设 A, B, C 为共线三点,这三点的简比( A B C)定义为 下述有向线段的比:
( A B C) = A C：B C.映射后不变
（ C 在线段 A B 上时,简比( A B C) < 0,在 A B 的延长线上时,( A B C) > 0. ）
- 定理 3 两条平行线段之比是仿射不变量.
- 定理 4 一直线上任两线段之比是仿射不变量
-
定理 5 在仿射变换下,任何一对对应三角形面积之比等于常数.换句话说,任意两个三角形面积之比是仿射不变量.
-
系1 在仿射变换下,任何一对对应多边形面积之比等于常 数.换句话说,任意两个多边形面积之比是仿射不变量。
-
系 2 在仿射变换下,任意两条封闭凸曲线所围成的面积之比是仿射不变量.
四、平面到自身的透视仿射
这个很重要，图像处理的仿射变换就是指这种。
五、透视仿射和透视映射的关系
5.1 射影透视变换和仿射的关系
仿射变换是任何保持共线性（即，最初位于一条线上的所有点在变换后仍位于一条线上）和距离比（例如，线段的中点在变换后仍为中点）的任何变换。从这个意义上说，仿射表示一类特殊的射影变换，它不会将任何物体从仿射空间 R^3 移动到无穷远平面或相反。仿射变换也称为亲和性。
几何收缩、膨胀、膨胀、反射、旋转、剪切、相似变换、螺旋相似和平移都是仿射变换，它们的组合也是如此。通常，仿射变换是旋转、平移、膨胀和剪切的组合。
虽然仿射变换保留直线的比例，但不一定保留角度或长度。任何三角形都可以通过仿射变换变成任何其他三角形，因此所有三角形都是仿射的，从这个意义上说，仿射是全等和相似的推广。
结合旋转和扩展的一个特殊例子是旋转放大变换
5.2 仿射函数和线性函数的区别
仿射函数即由由1阶多项式构成的函数，一般形式为 f (x) = A x + b，这里，A 是一个 m×k 矩阵，x 是一个 k 向量,b是一个m向量，实际上反映了一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。
设f是一个矢性（值）函数，若它可以表示为f(x1,x2,…,xn)=A1x1+A2x2+…+Anxn+b，其中Ai可以是标量，也可以是矩阵，则称f是仿射函数。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-581893.html
其中的特例是，标性（值）函数f(x)=ax+b，其中a、x、b都是标量。此时严格讲，只有b=0时，仿射函数才可以叫“线性函数”（“正比例”关系）。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-581893.html
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