几何方法是用锐角三角函数推广到所有角，向量方法是运用点积与叉积，另外附上两角和差公式的另外形式
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1. sin、cos的两角和差公式推导
1.1 几何方法
已知两角 α 、 β \alpha、\beta α、β的任意三角函数，求 s i n α + β 与 c o s α + β sin_{\alpha+\beta}与cos_{\alpha+\beta} sinα+β与cosα+β
这里我们且令OB=1
首先过点B向OC与OA作BD垂直于OA、BE垂直于OC
这时候，我们发现 γ = δ = 90 ° \gamma=\delta=90\degree γ=δ=90°，因此B、E、D、O四点共圆， ϵ = α \epsilon=\alpha ϵ=α
接下来就好办了过点E再向BD、OA作两条垂直
推导过程：
B E = O B ∗ s i n β = s i n β O E = O B ∗ c o s β = c o s β ϵ = α D G = E F = B E ∗ s i n ϵ = s i n α s i n β B F = B E ∗ c o s ϵ = c o s α s i n β D F = G E = O E ∗ s i n α = s i n α c o s β O G = O E ∗ c o s α = c o s α c o s β O B = 1 s i n α + β = B D = D F + B F = s i n α c o s β + c o s α s i n β c o s α + β = O D = O G − D G = c o s α c o s β − s i n α s i n β 再推广一下： s i n α ± β = s i n α c o s β ± c o s α s i n β c o s α ± β = c o s α c o s β ∓ s i n α s i n β BE=OB*sin_{\beta}=sin_{\beta}\\ OE=OB*cos_{\beta}=cos_{\beta}\\ \epsilon=\alpha\\ DG=EF=BE*sin_{\epsilon}=sin_{\alpha}sin{\beta}\\ BF=BE*cos_{\epsilon}=cos_{\alpha}sin_{\beta}\\ DF=GE=OE*sin_{\alpha}=sin_{\alpha}cos_{\beta}\\ OG=OE*cos_{\alpha}=cos_{\alpha}cos_{\beta}\\ OB=1\\ sin_{\alpha+\beta}=BD=DF+BF=sin_{\alpha}cos_{\beta}+cos_{\alpha}sin_{\beta}\\ cos_{\alpha+\beta}=OD=OG-DG=cos_{\alpha}cos_{\beta}-sin_{\alpha}sin{\beta}\\ 再推广一下：\\ sin_{\alpha\pm\beta}=sin_{\alpha}cos_{\beta}\pm cos_{\alpha}sin_{\beta}\\ cos_{\alpha \pm \beta}=cos_{\alpha}cos_{\beta} \mp sin_{\alpha}sin{\beta} BE=OB∗sinβ=sinβOE=OB∗cosβ=cosβϵ=αDG=EF=BE∗sinϵ=sinαsinβBF=BE∗cosϵ=cosαsinβDF=GE=OE∗sinα=sinαcosβOG=文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-588256.html
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