01背包问题的多种求解

1.问题描述

问题描述： 有一个容量为V的背包，还有n个物体。现在忽略物体实际几何形状，我们认为只要背包的剩余容量大于等于物体体积，那就可以装进背包里。每个物体都有两个属性，即体积w和价值v。使物品装入背包的价值最大。

2.0-1背包问题的解决思路

    1.方法一：枚举法，首先想到最简单的枚举法，通过列举所有结果，从中筛选出满足题意的结果。

    2.方法二：回溯法，在枚举法的基础上进行约束剪枝和限界剪枝。
    3.方法三：动态规划，运用动态规划思想，动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，使用递推算法解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。

2.3.1、如果装不下当前物品，那么前n个物品的最佳组合和前n-1个物品的最佳组合是一样的。
2.3.2、如果装得下当前物品。
假设1 :装当前物品，在给当前物品预留了相应空间的情况下，前n-1个物品的最佳组合加上当前物品的价值就是总价值。
假设2:不装当前物品，那么前n个物品的最佳组合和前n-1个物品的最佳组合是一样
选取假设1和假设2中较大的价值，为当前最佳组合的价值。

3.问题求解中所遇到的问题及分析解决方案；

问题：枚举法和回溯法运算规模较大、时间较长，动态规划中存在重叠子问题，递归方程多次调用自身使时间复杂度较大，01背包问题无法用贪心算法来解决

解决方案：使用动态规划方法时利用备忘录方法解决重复计算的问题，用递推方程替代递归方程

4问题的解决方案

问题求解关键技术：约束剪枝、限界剪枝、备忘录方法

5.算法测试

在比较枚举法，回溯法，动态规划法完成问题的时间复杂度之后，发现动态规划法是该问题的最优解。通过对01背包问题解法的扩展，可解决完全背包、多重背包等一些问题。

枚举法：#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <time.h>

const int N=10;//全局变量，物品数量

const int bag=N;//全局变量，背包承重量

int max_value=0;//全局变量，记录能获得的最大价值

int backpack(int a[],int v[],int w[],int n,int t)

{

   int max_v=0,max_w=0;//背包累积的最大价值和最大重量

   if(t>n-1)//递归结束的条件

   {

       printf("找到一个方案");

       for(int i=0;i<n;i++){//遍历数组a根据其记录的0、1值进行背包价值和重量计算

          printf("%d",a[i]);

          max_v=max_v+v[i]*a[i];//found!!!!!如何计算max_v

          max_w=max_w+w[i]*a[i];//found!!!!!如何计算max_w

       }

       if(max_w>bag)//found!!!!!根据max_w判断该方案是否超重

          printf("\n该方案总价%d,总重%d，超重！不可行！！！\n",max_v,max_w);

       else{//如果不超重

          if(max_v>max_value)//found!!!!!比较该方案所获得的价值是不是比全局最优解更优

              max_value=max_v;//更新最优解

          printf("\n该方案总价%d,总重%d，可行\n",max_v,max_w);

       }

    }else{

        for(int i=1;i>=0;i--)//只取值1或0

        {

            a[t]=i;//记录当前物品选1或不选0

          backpack(a,v,w,n,t+1);//递归到下一层

        }

    }

   return max_value;//返回最大价值

}

int main()

{

   int a[N],v[N],w[N],i,start,end;

   printf("背包最大承重%d公斤\n",bag);

   for(i=0;i<N;i++)//随机生成价值和重量

   {

       v[i]=rand()%5+1;

       w[i]=rand()%5+1;

       printf("物品%d,价值%d,重量%d\n",i,v[i],w[i]);

   }

   start=clock();

   printf("能获得的最大价值为：%d\n",backpack(a,v,w,N,0));

   end=clock();

   printf("耗时:%dms\n",end-start);

   return 0;

}

1-3枚举法运行结果

回溯法：

int backpack(int t,int now_v,int now_w)

{//t表示递归层数，now_v表示当前层所累积的价值，now_w表示当前层所累积的重量

   int i;

   if(t>N-1)//当递归到达叶子节点时

   {

       printf("找到一个方案");

       for(i=0;i<N;i++)

       {

          printf("%d",a[i]);

       }

       if(now_w>bag)//判断方案是否超重

       {

          printf("\n该方案总价%d,总重%d，超重！不可行！！！\n",now_v,now_w);

       }

       else//如果不超重

       {

          if(now_v>max_value)//判断该方案所获得的价值是不是更优

          {

              max_value=now_v;//更新最优解

          }

          printf("\n该方案总价%d,总重%d，可行\n",now_v,now_w);

       }

       count++;

    }

    else

    {

        for(i=0;i<=1;i++)

        {

            a[t]=i;//记录当前物品选或不选

          now_v=now_v+v[t]*i;//根据0-1值累加价值

          now_w=now_w+w[t]*i;//根据0-1值累加重量

          if(now_w<=bag&&now_v+r[t+1]>max_value) // (限件减枝 约束减枝)

              backpack(t+1,now_v,now_w);//递归到下一层

        }

    }

   return max_value;//返回最大价值

}

1-2回溯法运行结果

动态规划：

int jy[100][100]={0};//记忆数组

int backpack(int i,int m)//i为第i个物品,m为有m元钱

{

   if(i == 0) return 0;//边界

   if(jy[i][m]>0)return jy[i][m];

    if(w[i]>m)

       return jy[i][m]=backpack(i-1,m);//当这个物品装不下时 就不需要比较了

    else

       jy[i][m]=max(backpack(i-1,m),backpack(i-1, m - w[i])+v[i]);

   return jy[i][m];

}

1-1动态规划运行结果图

分析算法及运行时间可知枚举法和回溯法的算法复杂度为O(2^n),而动态规划方法的算法复杂度为O（n）

6.总结

枚举法和回溯的思路较简单但是算法复杂度较高，动态规划的方法需要考虑的问题较多但是大大减低了算法复杂度

动态规划算法具有最优子结构性质，因此动态规划能得到最优解。01背包问题存在重叠子问题，利用备忘录方法避免重复计算相同子问题。

注：贪心算法中，每步贪心决策都无法改变，而忽略了背包的容量，考虑的背包问题的局部最优，而不是全局最优。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-590976.html

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