一.什么是幂函数
幂函数 y=xa (a为常数, x为自变量)
例题1: 判断下列是否为幂函数
(1) y=x4
(2) y=2x2
(3) y=2x
(4) y=x3+2
(5) y=-x2
只有第一个是对的, 严格意义上来讲,自变量前面不能有前缀和后缀
\quad
\quad
二.幂函数的函数图像及性质
性质:
(1): 图像都过(1,1)点
(2): y=xa
(a>1或 a<0) 当a为奇数时,y为奇函数, 当a为偶数时, y为偶函数
(0<a<1) 非奇非偶
(3): y=0 为即奇又偶函数
(4): y=x-1 中x不能为0, 因为分母不能为0
(5): y=xa 在第一象限内, 当a>0时是增函数, 当a<0时是减函数
(6): 在第一象限内, y=x-1的图像与x,y轴无限接近
\quad
\quad
三.常见题型
例题2: 设a
∈
\in
∈ {-1, 1,
1
2
\frac{1}{2}
21, 3},则使函数y=xa的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是____
答案: 1, 3
解析:
y=x-1 中x不能为0
y=
x
\sqrt{x}
x 取不到负
例题3: 比较下列各组数的大小
例题4:
方法一: 在x=1的右边画一条竖线,在上面的大
方法二: a>1, 0<b<1, c<0
\quad
\quad
四.常见的函数模型
(1) 一次函数模型: f(x)=kx+b (k,b为常数, k≠0)
(2) 反比例函数模型: f(x)= k x \frac{k}{x} xk + b (k,b为常数, k≠0)
(3) 二次函数模型: f(x)=ax2 ± \pm ±bx +c (a,b,c为常数, a≠0)
(4)幂函数模型: f(x)=axn+b (a,b,n为常数, a≠0, n≠1)
\quad
\quad
五.n次方根
(1):如果xn=a, 那么x叫做a的n次方根, (其中n>1, n为正整数)
n次方根的个数
1.当n是奇数时
2.当n是偶数时, 分为x>0和x<0两种情况
(2):式子 a n \sqrt[n]{a} na 叫做根式, 这里n叫做根指数, a叫做被开方数
性质(n>1且为自然数):
(
a
n
\sqrt[n]{a}
na)n = a
a n n \sqrt[n]{a^n} nan : 当n为奇数时为a, 当n为偶数时为|a|
例题5:
a
2
\sqrt{a^2}
a2 = |a|
( a \sqrt{a} a)2 = a
例题6: m是实数, 则下列式子中可能没有意义的是( C )
A.
m
2
4
\sqrt[4]{m^2}
4m2
B. m 5 \sqrt[5]{m} 5m
C. m 6 \sqrt[6]{m} 6m
D. − m 5 \sqrt[5]{-m} 5−m
解析: 根指数为奇时, 被开方数才能为负
(3) :
a
\sqrt{a}
a 为算术平方根
±
\pm
±
a
\sqrt{a}
a 为平方根
例题7: 化简
(1)
(
x
−
π
)
n
n
\sqrt[n]{(x-π)^n}
n(x−π)n 其中(x<π, n
∈
\in
∈ N*)
当n为奇数时, x-π
当n为偶数时, π-x
(2) 4 a 2 − 4 a + 1 6 \sqrt[6]{4a^2-4a+1} 64a2−4a+1 其中(a ≤ \leq ≤ 1 2 \frac{1}{2} 21)
( 2 a − 1 ) 2 6 \sqrt[6]{(2a-1)^2} 6(2a−1)2
∣ 2 a − 1 ∣ 3 \sqrt[3]{|2a-1|} 3∣2a−1∣
1 − 2 a 3 \sqrt[3]{1-2a} 31−2a
\quad
六.分数指数幂
a n m a^{n \over m} amn = a n m \sqrt[m]{a^n} man \quad (m,n ∈ \in ∈ Z*)
例如: a 1 2 a^{1 \over 2} a21 = a \sqrt{a} a \quad a 2 3 a^{2 \over 3} a32 = a 2 3 \sqrt[3]{a^2} 3a2
例题8: 把根式a
a
\sqrt{a}
a 化成分数指数幂是
=> a *
a
1
2
a^{1 \over 2}
a21
=>
a
3
2
a^{3 \over 2}
a23
例题9:
a
a
\sqrt{a\sqrt{a}}
aa =>
a
∗
a
1
2
\sqrt{a*a^{1 \over 2}}
a∗a21 =>
a
3
2
\sqrt{a^{3 \over 2}}
a23 =>
a
3
2
a^{3 \over 2}
a23*
a
1
2
a^{1 \over 2}
a21 =>
a
3
4
a^{3 \over 4}
a43
\quad
七.无理数指数幂
一般地, 无理数指数幂xa (a>0, a是无理数) 是一个确定的实数, 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-595540.html
例题10:
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