题目
我昨晚偶然编出了一道水题,名为转账问题:已知银行卡里有不超过n
元,你想把卡里所有钱提到某信支付,但你无法看到卡里的钱,你只能执行若干次转账i
元的操作,每次看到转账成功与失败的提示。问至少需要操作多少次。n
和i
是自然数。形式化描述:你的策略y
是一段代码,初始输入为n
,代码对于实际的i = 1~n
元各有一个需要的猜测次数x[i]
,则y = max(x[i] for i in range(1, n + 1))
,所求为min(y for y in y_set)
。
本文CSDN:https://blog.csdn.net/hans774882968/article/details/131749241
本文juejin:https://juejin.cn/post/7255967761805197349
本文52pojie:https://www.52pojie.cn/thread-1809085-1-1.html
作者:hans774882968以及hans774882968以及hans774882968
思路
尝试转i
元,1 <= i <= n
。如果成功,则知道卡里不超过n - i
元;如果失败,则知道卡里不超过i - 1
元。因此定义dp[i]
为已知银行卡里有不超过i
元时的最少操作次数。边界条件:dp[0~2] = 0~2
。状态转移方程:dp[i] = min(max(dp[i - j], dp[j - 1]) + 1) for j in range(1, i + 1)
。
接下来考虑优化这个dp转移。有一个很明显的单调性:v1 < v2
时dp[v1] <= dp[v2]
。i - j
单减,j - 1
单增,因此取i - j == j - 1
的j
即为最优点。
- 若
i
为奇数,则dp下标取到(i - 1) // 2
。 - 若
i
为偶数,则dp下标取到(i - 1) // 2 + 1
。
取到下标可统一为i // 2
。因此转移方程可以简化为:dp[i] = dp[i // 2] + 1
。对于n
,答案居然就是n
二进制数位的个数!
于是有推论:最优策略为:总是尝试转i - i // 2 = (i + 1) // 2
元。
与力扣鸡蛋掉落问题的关系
鸡蛋掉落问题传送门文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-597649.html
经群友提醒,这个问题从状态转移方程的角度来看,和鸡蛋掉落问题的k = +∞
的情况类似。两个问题从题面来看不像,但它们有一个相同点:1次操作无论获得什么反馈,都能缩小问题规模。因此我们写了下面的代码,验证k = n, n+1, n+2
的情况下所得的dp数组不仅相等,还等于转账问题的dp数组。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-597649.html
代码
import numpy as np
def main():
N = 2001
dp1 = [[0] * N for _ in range(N + 2)]
def egg_drop(k, n):
for j in range(1, n + 1):
dp1[1][j] = j
for i in range(2, k + 1):
best = 1
for j in range(1, n + 1):
while best <= j and dp1[i][j - best] > dp1[i - 1][best - 1]:
best += 1
dp1[i][j] = 1 + min(dp1[i][j - best + 1], dp1[i - 1][best - 1])
dp2 = np.array([0] * N)
def bin_count(n):
for i in range(1, n + 1):
dp2[i] = dp2[i // 2] + 1
dp3 = np.array([N] * N)
def n2_dp(n):
dp3[0] = 0
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, i + 1):
dp3[i] = min(dp3[i], max(dp3[i - j], dp3[j - 1]) + 1)
egg_drop(N + 1, N - 1)
bin_count(N - 1)
n2_dp(N - 1)
ans1 = np.array([dp1[i][i] for i in range(N)])
ans2 = np.array([dp1[i + 1][i] for i in range(N)])
ans3 = np.array([dp1[i + 2][i] for i in range(N)])
assert (ans1 == dp2).all() and (ans2 == dp2).all() and (ans3 == dp2).all() and (dp2 == dp3).all()
print('dp2 ', dp2[:101])
print('dp3 ', dp3[:101])
print('ans3', ans3[:101])
if __name__ == '__main__':
main()
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