数学建模 based on 清风-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了数学建模 based on 清风。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

层次分析法

原文链接（我的主页）：https://rick2pc.github.io/2022/07/30/AHP/
层次分析法，即：“The analytic hierarchy process”，简称AHP

1.建模比赛中最基础的模型之一；

2.主要解决评价类问题；

3.文章中所有图片来自于清风数学建模课程的课件。

我们用一个例子来介绍这个建模方法：

“填好志愿后，小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。“

”请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。”

对于解决这种评价类问题，我们需要考虑以下三个问题：

我们的评价目标是什么？
我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？
评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏）

对于我们的例子，我们的回答：

为小明同学选择最佳的旅游景点。
三种，分别是去苏杭、去北戴河和去桂林。
题目没给相关数据支撑，需要我们查阅相关的资料。

一般而言，前两个问题的答案是显而易见的，第三个问题的答案需要我们根据题目中的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料进行结合，从中筛选出最合适的指标。

在这里，我们假设5个指标：景点；花费；居住；饮食；交通。

然后我们构建一张权重表：

一致矩阵,数学建模,算法

要注意， $A H P$ 的最终目的其实就是把这张表通过数学的方式（而不是凭直觉）进行填充，而不是小明自己随便填写，“在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。”（司守奎《数学建模算法与应用》）

我们首先来思考一下5个指标之间的权重：

一次性考虑五个之间的关系比较繁杂，我们可以两两进行比较，最终通过两两比较的结果来推算权重。

我们使用1~9表示两两指标之间的重要程度（这里的重要程度也可以理解为满意度），具体数字的含义，见下表：

一致矩阵,数学建模,算法

其中，重点要注意一下最后一行那个倒数的含义。

好，我们将根据这个标度，来进行权重的计算：

1. 构建判断矩阵

一致矩阵,数学建模,算法

首先，对于指标权重，我们会构建一个判断矩阵，再计算权重。如上图，记为 $A$ ，对应的元素为 $a_{ij}$ 。该矩阵有如下特点：
- $a_{ij}$ 表示的意思是：与指标 $j$ 相比， $i$ 的重要程度。
- 当 $i = j$ 时，两个指标相同，因此同等重要，这就解释了主对角线元素为1。
- $a_{ij}>0$ 且满足 $a_{ij}*a_{ji}=1$ （我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵）。
但是，在实际建模的过程中，没有“小明”帮助我们填表，层次分析的这张表是交给“专家”填写的，但在比赛过程中往往很难找找到专家标准，一般只能自己填了，但是在论文中就别说出来了。
其次，对于三个地点在五个把不同标度分别的得分也是重复上面的操作，例如：

计算在景色方面苏杭，北戴河，桂林所占的得分，我们也是先构建一个判断矩阵，然后再计算权重：