层次分析法
原文链接（我的主页）：https://rick2pc.github.io/2022/07/30/AHP/
层次分析法，即：“The analytic hierarchy process”， 简称AHP
1.建模比赛中最基础的模型之一；
2.主要解决评价类问题；
3.文章中所有图片来自于清风数学建模课程的课件。
我们用一个例子来介绍这个建模方法：
“填好志愿后，小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择 了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。“
”请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。”
对于解决这种评价类问题，我们需要考虑以下三个问题：
- 我们的评价目标是什么？
- 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？
- 评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏）
对于我们的例子，我们的回答：
- 为小明同学选择最佳的旅游景点。
- 三种，分别是去苏杭、去北戴河和去桂林。
- 题目没给相关数据支撑，需要我们查阅相关的资料。
一般而言，前两个问题的答案是显而易见的，第三个问题的答案 需要我们根据题目中的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料进行结合，从中筛选出最合适的指标。
在这里，我们假设5个指标：景点；花费；居住；饮食；交通。
然后我们构建一张权重表：
要注意， A H P AHP AHP的最终目的其实就是把这张表通过数学的方式（而不是凭直觉）进行填充，而不是小明自己随便填写，“在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难 是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接 考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此 失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至 有可能提出一组隐含矛盾的数据。”（司守奎《数学建模算法与应用》）
我们首先来思考一下5个指标之间的权重：
一次性考虑五个之间的关系比较繁杂，我们可以两两进行比较，最终通过两两比较的结果来推算权重。
我们使用1~9表示两两指标之间的重要程度（这里的重要程度也可以理解为满意度），具体数字的含义，见下表：
其中，重点要注意一下最后一行那个倒数的含义。
好，我们将根据这个标度，来进行权重的计算：
1. 构建判断矩阵
-
首先，对于指标权重，我们会构建一个判断矩阵，再计算权重。如上图，记为 A A A，对应的元素为 a i j a_{ij} aij。该矩阵有如下特点：
- a i j a_{ij} aij 表示的意思是：与指标 j j j相比， i i i的重要程度。
- 当 i = j i=j i=j时，两个指标相同，因此同等重要，这就解释了主对角线元素为1。
- a i j > 0 a_{ij}>0 aij>0且满足 a i j ∗ a j i = 1 a_{ij}*a_{ji}=1 aij∗aji=1（我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵）。
但是，在实际建模的过程中，没有“小明”帮助我们填表，层次分析的这张表是交给“专家”填写的，但在比赛过程中往往很难找找到专家标准，一般只能自己填了，但是在论文中就别说出来了。
-
其次，对于三个地点在五个把不同标度分别的得分也是重复上面的操作，例如：
计算在景色方面苏杭，北戴河，桂林所占的得分，我们也是先构建一个判断矩阵，然后再计算权重：
但是，要注意一个问题：
苏杭=A 北戴河=B 桂林=C
苏杭的景色比北戴河好：A>B
苏杭和桂林景色一样好： A = C
北戴河比桂林景色好一点：B > C
这个时候，就会出现问题：如果A = C而A > B，那么C>B与第三条冲突，判断矩阵出现问题
判断矩阵出现了矛盾之处，我们称之为不一致现象。
何为一致矩阵？简单理解一下就是各行（列）之间成倍数关系，例：
若矩阵中每个元素 a i j > 0 a_{ij}> 0 aij>0且满足 a i j ∗ a j i = 1 a_{ij}*a_{ji}=1 aij∗aji=1，则我们称该矩阵为正互反矩阵。在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。
在正互反矩阵满足 a i j ∗ a j k = a i k a_{ij}*a_{jk}=a_{ik} aij∗ajk=aik,则我们称其为一致矩阵。
注意：在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验。
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2. 根据判断矩阵计算权重
方法一：算数平均法求权重
- 第一步： 将判断矩阵按照列进行归一化（每一个元素除以其所在列的和）；
- 第二步： 将归一化的各列相加（按行求和）；
- 第三步： 将相加得到的向量中每个元素除以 n n n即可得到权重向量。
例：
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方法二：几何平均法求权重
- 第一步： 将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量；
- 第二步： 将新的向量的每个分量开n次方；
- 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量。
方法三：特征值法求权重
假如我们的判断矩阵一致性可以接受，那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。
- 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量；
- 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重。
三种方法说实话感觉没什么区别，写论文的时候选一种就好了，但是最好点明三种方法都算过了，然后在附录里面展现出最后的结果。
3. 计算得分
根据上节的三种方法，我们可以选择一种方法分别计算每个区块的得分，然后填入表中
（每一种颜色就代表了一个判断矩阵）
然后根据指标权重和每个地区在5个指标上的权重进行打分，例：
这样，我们就可以得到三个地区，在五个指标上的得分，进而来选择小明想要去的地方。
4. 总结
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[外链图片转存中…(img-vg6YdndN-1659151534547)]文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-597755.html
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