如果 w v ( u ) w_v(u) wv(u)指代的就是直径,或者说我们再添一项 a v a_v av,那么我们几乎就做完了。
于是自然而然想到换一个定义: d ( u , v ) = dist ( u , v ) + a u + a v d(u,v)=\text{dist}(u,v)+a_u+a_v d(u,v)=dist(u,v)+au+av。
发现这样转化过后,设直径的两个端点为 u , v u,v u,v,那么 e ( x ) + w x = max ( d ( u , x ) , d ( v , x ) ) e(x)+w_x=\max(d(u,x),d(v,x)) e(x)+wx=max(d(u,x),d(v,x))。最后要求 min ( e x ) \min(e_x) min(ex),感觉又不行了!
还可以继续转化!考虑此时第 i i i个点对应的树上的节点一定是叶子,那么设这个叶子的父亲为 y y y, e ( x ) e(x) e(x)实际上就等于 max ( d ( u , y ) , d ( v , y ) ) \max(d(u,y),d(v,y)) max(d(u,y),d(v,y))。又因为求的是 min ( e x ) \min(e_x) min(ex),所以答案其实就是整棵树中偏心距的最小值!
那么直接用线段树维护直径的两个端点,然后在直径上二分就做完了!
复杂度 O ( n log n ) O(n\log n) O(nlogn)。文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-599224.html
remark \text{remark} remark 感觉最近的题目需要转化的地方越来越多了!文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-599224.html
#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define ll long long
#define pb push_back
#define db double
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=4e5+5;
int n,Q,a[N];
vector<int>G[N];
int b[N],cnt,ps[N],dep[N];
int fa[N][20];
void dfs(int u,int topf){
dep[u]=dep[topf]+1;
fa[u][0]=topf;for(int i=1;i<20;i++)fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
b[++cnt]=u,ps[u]=cnt;
for(auto v:G[u]){
if(v!=topf)dfs(v,u),b[++cnt]=u;
}
}
int f[N][20],Log[N];
int Max(int x,int y){
return dep[x]<dep[y]?x:y;
}
int Lca(int x,int y){
x=ps[x],y=ps[y];
if(x>y)swap(x,y);
int k=Log[y-x+1];
return Max(f[x][k],f[y-(1<<k)+1][k]);
}
int dist(pair<int,int>x){
if(x.fi==x.se)return 0;
return dep[x.fi]+dep[x.se]-2*dep[Lca(x.fi,x.se)]+a[x.fi]+a[x.se];
}
int dist2(pair<int,int>x){
return dep[x.fi]+dep[x.se]-2*dep[Lca(x.fi,x.se)]+a[x.fi];
}
pair<int,int>Max(pair<int,int>x,pair<int,int>y){
if(x==make_pair(0,0)||y==make_pair(0,0))return make_pair(x.fi+y.fi,x.se+y.se);
return dist(x)>dist(y)?x:y;
}
pair<int,int>t[N<<2];
pair<int,int>merge(pair<int,int>x,pair<int,int>y){
int a[4]={x.fi,x.se,y.fi,y.se};
pair<int,int>tmp;
for(int i=0;i<4;i++){
for(int j=i+1;j<4;j++){
tmp=Max(tmp,make_pair(a[i],a[j]));
}
}
return tmp;
}
void pushup(int p){
t[p]=merge(t[p<<1],t[p<<1|1]);
}
void build(int p,int l,int r){
if(l==r){
t[p]=make_pair(l,l);
return;
}
int mid=l+r>>1;
build(p<<1,l,mid),build(p<<1|1,mid+1,r);
pushup(p);
}
void modify(int p,int l,int r,int x){
if(l==r)return;
int mid=l+r>>1;
x<=mid?modify(p<<1,l,mid,x):modify(p<<1|1,mid+1,r,x);
pushup(p);
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
for(int i=1;i<n;i++){
int x,y;cin>>x>>y;
G[x].pb(y),G[y].pb(x);
}
dfs(1,0);for(int i=2;i<=cnt;i++)Log[i]=Log[i/2]+1;
for(int i=1;i<=cnt;i++)f[i][0]=b[i];
for(int j=1;j<20;j++){
for(int i=1;i<=cnt-(1<<j)+1;i++){
f[i][j]=Max(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1]);
}
}
build(1,1,n);
cin>>Q;
for(int i=1;i<=Q;i++){
int x,v;cin>>x>>v;
a[x]=v,modify(1,1,n,x);
int U=t[1].fi,V=t[1].se,diam=dist(make_pair(U,V));
int lca=Lca(U,V),res=inf;
if(dist2(make_pair(U,lca))<=diam/2){
x=V;
for(int j=19;j>=0;j--){
if(dep[fa[x][j]]>=dep[lca]&&dist2(make_pair(V,fa[x][j]))<=diam/2){
x=fa[x][j];
}
}
}
else{
x=U;
for(int j=19;j>=0;j--){
if(dep[fa[x][j]]>=dep[lca]&&dist2(make_pair(U,fa[x][j]))<=diam/2){
x=fa[x][j];
}
}
}
res=min(res,max(dist2({U,x}),dist2({V,x})));
if(dep[fa[x][0]]>=dep[lca])res=min(res,max(dist2({U,fa[x][0]}),dist2({V,fa[x][0]})));
cout<<res<<"\n";
}
}
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