详解二分算法（一学就懂，一写就会）-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了详解二分算法（一学就懂，一写就会）。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

一、引入（定义）

小明："小张，我问你一个问题：在1,3,5,6,7,9这些数中5在那个位置？"

小张："这还不简单，5在第三个位置！我是按顺序来找的：1,3,5。"

小明："那我告诉你1~100这些数，让你找其中100这个数，你也从1~100来一个一个数吗？"

小张："那我会从100~1来数。"

小明："那如果你是一个机器人，我再问你这个问题，问：55在哪个位置？可是你只能从1~100或100~1来数数，可是这样数太慢啦！"

小张："那可以怎们来数呢？"

小明："这就要用到二分法的方法来解决啦！"

二分法，是指将一个有序的数列中查找某个东西的位置或最大值、最小值、极值等一种比较快速的方法。做法是先找出数列中的中间值（mid，注：mid是指middle），判断是否符合条件，如果符合，就按照题目意思将范围增大或减小（l,r是起点和终点，范围增大是l=mid+1;（或不加1，根据题目意思来），范围减小是r=mid-1;（或不减1，根据题目意思来））。然后就会得到一段新的数列（因为l,r的值变了），重复以上步骤，直到l>r为止（举个例子：1~100这些数，找1这个数，第一次1~100，中间值是50，1比50小。第二次1~50，中间值是25，1比25小。第三次1~25，中间值是13，1比13小。第四次1~13，中间值是7，1比7小。第五次1~7，中间值是4，1比4小。第六次1~4，中间值是2，1比2小。第七次1~2，中间值是1，1与1相同。一共七次就行了，非常快）。

二、整数二分（用求一个数列的某一个值的编号为例）

具体看代码（数列的值从小到大）。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,a[50010],l,r,mid,ans,x;  //n是数列长度，a数组是数列，l是起点，r是终点，mid是数列中点，ans是最终答案，x是询问的值 
signed main()
{
    cin>>n>>x;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    l=1,r=n;
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)/2;    //取数列中点
        if(a[mid]<x)l=mid+1;   //如果比x小的话，就证明1~mid都比x小，去mid+1~r找(数组有序，从小到大) 
        else if(a[mid]>x)r=mid-1;    //如果比x大的话，就证明mid~r都比x大，去l~mid-1找
        else    //证明找到了 
        {
            ans=mid;
            break;
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

是不是一脸懵逼？

没事，让我们来看看过程（求2在哪个位置）：

第一次

a[3]比2大，于是：

可是a[1]比2小：

这时a[mid]=2了，退出循环。

三、实数二分

实数二分就是将用小数来记录二分的范围,然后在一定的精度内（eps，如果题目上让保留k位小数，那么精度eps就设置成1e^(-k-2)）查找答案,其他的就和整数二分无异。

我们就以求一个数的算术平方根来举例吧！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double eps=0.0000001;
double x,l,r,ans;
int main()
{
    cin >> x;
    l = 0;
    r = x;
    //当左端点和右端点之间的差值大于eps时,进行二分操作
    while(l+eps<r)
    {
        double mid=(l+r)/2;
        if(mid*mid>=x)
        {
            ans=mid;
            r=mid;        //右端点更新为中点mid
        }
        else
        {
            l=mid;  //左端点更新为中点mid
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

四、二分查找

以上的整数二分和实数二分就是二分查找。

五、二分答案

二分答案是对答案进行二分, 所谓答案:在某个题里,我们可以确定答案一定在某个确定范围内,我们可以给出一个判定,来判断这个答案是否合理。

例题：P2678 [NOIP2015 提高组] 跳石头 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

我们可以用一个check函数来判断当最短跳跃距离的最大值x是否符合以条件（即最短跳跃距离的最大值是x时要移走的岩石数是否<=m）。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-599412.html

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int lenth,n,m,a[50010],l,r,mid,ans;
bool check(int x)
{
    int cnt=0,t=0;
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
    {
        if(a[i]-a[t]<x)
        {
            cnt++;
        }
        else t=i;
    }
    return cnt<=m;
}
signed main()
{
    cin>>lenth>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    a[n+1]=lenth;
    l=1;
    r=lenth;
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)/2;
        if(check(mid))
        {
            ans=mid;
            l=mid+1;
        }
        else r=mid-1;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

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