线性代数(基础篇)：第一章:行列式 、第二章:矩阵

线性代数

0：串联各章的等价条件

1. A可逆
⇦⇨①|A|≠0
⇦⇨②r(A)=n，A满秩
⇦⇨③A的列向量 α₁,α₂,…α_n线性无关
⇦⇨④Ax=0仅有零解 (系数矩阵的秩 = 列数，列满秩)
⇦⇨⑤A的特征值均不为0 【17年5.】

2. A不可逆
⇦⇨①|A|=0
⇦⇨②r(A)<n，A不满秩
⇦⇨③A的列向量 α₁,α₂,…α_n线性相关
⇦⇨④Ax=0有非零解 (系数矩阵的秩 < 列数，列不满秩)
⇦⇨⑤A有0特征值

例题1：24李林六(六)5.

分析：
①取A前三列，为3阶范德蒙德行列式，值为$(a_2-a_1)(a_3-a_1)(a_3-a_2)\ne 0$ (a_i互不相等)。故$A_{3\times 4}$有3阶子式不为0，$r(A)=3$

②$A_{3\times 4}$，$A_{4\times 3}^T$，则 $r(A)=r(A^T)=r(A{A}^T)=r(A^{T}A)=3<4$

③$AX=0:\{\begin{array}{rl}仅有零解& \iff A列满秩\\ 有非零解& \iff A列不满秩\end{array}$

D.$A^T{A}_{4\times 4}$ 列不满秩，$A^{T}AX=0$有非零解。D✔

答案：D

第1章 行列式

1.行列式的定义

(1)行列式的本质定义

二阶行列式是以两个向量为邻边的平行四边形的面积，三阶行列式是以三个向量为邻边的平行六面体的体积，n阶行列式是以n个向量为邻边的n位图形的体积。

所以，读者应有这样的观点：把行列式看作是由若干个向量拼成的。
行列式的值非0时，具体是多少，只是量的问题。行列式的值是否为0，是一个质的问题。
例：①D₃≠0，则体积不为0，3个向量线性无关。若D₃=0，则3个向量线性相关。
②D_n≠0，n个向量线性无关。D_n=0，n个向量线性相关。

(2)行列式的逆序数法定义

1.排列和逆序

2.n阶行列式定义 (逆序数法)
【注意，行下标要顺排。求列标的逆序数，确定正负号】

举例1：

举例2：行列式的逆序数定义是“对角线法则”的由来。对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。

例题1：

(3)行列式的按行按列展开定理 (第三种定义)

1.余子式 $M_{ij}$

去掉$a_{ij}$所在的第i行、第j列元素，余下元素组成的n-1阶子行列式，称为$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$

2.代数余子式$A_{ij}$

(1)代数余子式的定义：$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

(2)代数余子式的应用：
①代数余子式在同一行(列)：求行列式或改写行列式
Ⅰ.求行列式：行列展开
Ⅱ.改写行列式：系数代替

②伴随矩阵：$A^{\ast }=(A_{ij}{)}^T$

③$A_{11}\ne 0$：
① $r(A)\ge n-1$。   [又|A|=0，∴r(A)=n-1，r(A*)=1，A*x=0有n-1个基础解系。]
②${\alpha }_2,{\alpha }_3,...,{\alpha }_n$线性无关。    [$A_{11}=M_{11}$，即去掉第一行第一列剩下的n-1阶子式，行列式不为0，则线性无关。低维无关，则高维无关。]

3.行列式的按行(按列)展开定理

行列式的按行(按列)展开定理：
(1) 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
$$\begin{gathered} D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+...+a_{in}{A}_{in}(i=1,2,..,n) \\ D=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+...+a_{nj}{A}_{nj}(j=1,2,..,n) \end{gathered}$$

(2)但行列式的某行(列)元素分别乘另一行(列)元素的代数余子式后再求和，结果为零，即
$$\begin{gathered} a_{i1}{A}_{k1}+a_{i2}{A}_{k2}+...+a_{in}{A}_{kn}=0,i\ne k \\ {a}_{1j}{A}_{1k}+a_{2j}{A}_{2k}+...+a_{nj}{A}_{nk}=0,j\ne k \end{gathered}$$

不同行的元素与余子式相乘为0：$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}=0(i\ne j)$

2.行列式的性质

1.行列互换，其值不变：$|A|=|A^T|$   【行列地位等价】
2.行列式中 某行(列)元素全为0，则行列式值为0
3.若行列式某一行有公因子k，则可以提到行列式的外面   【倍乘】
4.行列式中某行元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和。反之，可相加。   (单行可拆性、单列可加性)

5.行列式中 两行(列)互换，行列式值反号
6.行列式中 两行元素相等或对应成比例，则行列式值为0
7.某行乘k倍加到另一行，行列式值不变   【倍加】

3.求行列式的公式

1.$|AB|=|A|\cdot |B|$   (A B为同阶方阵)
推论：$|A^n|=|A{|}^n$

2.若A为n阶方阵，则$|kA|=k^n|A|$

3.$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$

4.不满秩、不可逆、向量组线性相关，则行列式 = 0       满秩、可逆、行列式非零、线性无关的关系

5.一般地，$|A+B|\ne |A|+|B|$
$(A+B{)}^{-1}\ne A^{-1}+B^{-1}$

4.基本行列式

(1)主对角线行列式

右上三角行列式、左下三角行列式、对角行列式：主对角线元素的乘积

(2)副对角线行列式

逆序数 $\tau (n,n-1,n-2,...1)=(n-1)+(n-2)+...+1=\frac{n(n-1)}{2}$

(3)拉普拉斯行列式 (分块矩阵的行列式)

①拉普拉斯行列式(主对角线)

∣ A O O B ∣ = ∣ A C O B ∣ = ∣ A O C B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ \left|\begin{array}{cc} A & O \\ O & B \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} A & C \\ O & B \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} A & O \\ C & B \end{array}\right|=|A||B| ​AO​OB​ ​= ​AO​CB​ ​= ​AC​OB​ ​=∣A∣∣B∣

②拉普拉斯行列式(副对角线)

∣ O A B O ∣ = ∣ C A B O ∣ = ∣ O A B C ∣ = ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ∣ B ∣ \left|\begin{array}{cc} O & A \\ B & O \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} C & A \\ B & O \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} O & A \\ B & C \end{array}\right|=(-1)^{mn}|A||B| ​OB​AO​ ​= ​CB​AO​ ​= ​OB​AC​ ​=(−1)mn∣A∣∣B∣ 【A为m阶矩阵，B为n阶矩阵】

(4)范德蒙德行列式

1.求值：只需看第二行，所有大的下标减去小的下标，然后连乘。
2.若$x_1,x_2,...,x_n$互不相等，则范德蒙德行列式≠0

(5)爪型行列式

斜爪 消 平(竖)爪，化为三角行列式

(6)三对角行列式(异爪形行列式)：递推公式

喻老方法：
草纸上写5阶，找到$D_5$的规律，类比得出$D_n$的规律，推到$D_1$。然后求出$D_n$

例题：880 行列式基础解答3

张宇方法：
(1)阶数不高：直接展开 ①凑0最多 ②按展开后基本型最多(三角行列式最多)的方式展开
(2)阶数较高，n阶：递推法

(1)递推法：建立 $D_n$ 与 $D_{n-1}$ 的关系式，从而实现递推。
①元素分布规律相同
②$D_{n-1}$只比 $D_n$ 少一阶

(2)展开方法
①三对角行列式方法：所有的行加到最后一行 (所有列加到第一列)，然后展开。观察负号。
②两斜一横(竖)：对爪尾的两个尖尖进行展开，找递推规律

(7)行和相等 (列和相等)

1.行和相等的矩阵的性质：(以三阶矩阵A为例，每行元素之和均为k)
行和k 是A的一个特征值， ( 1 1 1 ) \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) ​111​ ​是对应 行和k 的一个特征向量

2.计算行列式：全部加到第一列，提取公因式，第一列全为1。
再将第一列下方全消为0，按照第一列展开。

5.求行列式例题

(1)具体行列式

例题1:计算行列式

分析：凑分块矩阵、零矩阵。将13列互换，再将24行互换
答案：$(a_1{a}_4-b_1{b}_4)(a_2{a}_3-b_2{b}_3)$

例题2：低阶

分析：异爪型行列式，按照最后一行展开。发现余子式均为主对角线行列式

答案：${\lambda }^4+{\lambda }^3+2{\lambda }^2+3\lambda +4$

例题3：

答案：

例题4：15年13.   求n阶异爪型行列式

分析：异爪型行列式，按照爪尾的两个尖尖展开，找递推规律

答案：$2^{n+1}-2$

例题5：
(1)主对角线

分析：行和相等，为 a+(n-1)b

答案：

(2)副对角线

(2)抽象行列式

例题1:24李林四(三)15.   行列式的性质、可逆矩阵

分析：

答案：10

例题2：24李林四(一)15.   可逆矩阵的定义

分析：

答案：1

例题3：23李林四(三)15.   可逆矩阵的定义

分析：
凑可逆阵：由 $A^2=2AB+E$，移项得 $A^2-2AB=E$，即$A(A-2B)=E$。
∴$A$与$A-2B$互为可逆阵，∴$A(A-2B)=(A-2B)A=E$，即$A^2-2AB=A^2-2BA$。即$AB=BA$。
∴$|AB-BA+2A|=|2A|=2^3|A|=8\times 1=8$

答案：8

例题4：24李林六(五)15、23李林四(一)15.

分析：
答案：2048

例题5：24李林六(四)15.

分析：

答案：8

例题6：21年15.

分析：

答案：$\frac{3}{2}$

例题7：将向量的线性组合 表示为 矩阵相乘的形式

分析：

答案：10

例题8：

分析：从右向左，化简目标，凑成已知

答案：a+b

第2章 矩阵

1.矩阵的定义

1.矩阵：
矩阵本身是一个数表，不进行运算。矩阵由若干个向量组成。
①m×n矩阵 ②n阶方阵 (n阶矩阵，即为n×n矩阵)

2.同型矩阵：
行数相同，列数也相同

方阵

1.方阵定义：
方阵为行列数相等的矩阵，如A_nn、A_mm

2.只有方阵才有的性质：
(1)行列式
只有方阵才有行列式。
别再问汤家凤老师3行4列的行列式怎么算了。“你有没有发现把我吓死了”(doge)

(2)逆矩阵
1.可逆矩阵一定是方阵。
2.如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。

(3)特征值、特征向量
只有方阵才有特征值与特征向量

(4)二次型
只有方阵才有二次型

2.矩阵运算

五大矩阵运算：①求行列式 ②求转置 ③求逆 ④求伴随 ⑤求幂

(1)相等

(2)加法

(3)数乘矩阵

(4)矩阵乘法

$c_{ij}$为$a_i$和$b_j$两向量的内积：

注：矩阵乘法，只满足结合律，不满足交换律、消去律
(Ⅰ)矩阵乘法一般情况下不满足交换律，不能随意交换位置，即$AB\ne BA$

故：①$(AB{)}^2\ne A^2{B}^2$，正确的写法应该是 $(AB{)}^2=ABAB\ne AABB$
②$(A+B{)}^2\ne A^2+2AB+B^2$，正确的写法应该是$(A+B{)}^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2$

(Ⅱ)矩阵乘法一般情况下也不满足消去律：
①AB=O推不出A=O或B=O
②AB=AC，A(B-C)=O，即使A≠O，也推不出B=C
【19年5.】
反例：$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

(5)转置、转置矩阵
①若A为方阵，$|A|=|A^T|$
②$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

转置T：transpose、transposition

(6)向量的内积与正交

内积：$(\alpha ,\beta )={\alpha }^T\beta$
正交：${\alpha }^T\beta =0$

例题：

答案：

(7)施密特正交化

${\beta }_1={\alpha }_1$

${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1$

${\beta }_3={\alpha }_3-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2$
…
${\beta }_n={\alpha }_n-\frac{({\alpha }_n,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_n,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2-...-\frac{({\alpha }_n,{\beta }_{n-1})}{({\beta }_{n-1},{\beta }_{n-1})}{\beta }_{n-1}$

例题1：

答案：

例题2：21年6.   施密特正交化

分析：
$k=1，{\beta }_2=(0,2,0{)}^T$

答案：A

(8)矩阵的幂

5种方法求矩阵的幂Aⁿ：
①找规律：
试算A²、A³，归纳Aⁿ

②秩为1的方阵：
若$r(A)=1$，则 $A^n=[tr(A){]}^{n-1}\cdot A$
$A=\alpha \cdot {\beta }^T$，${\beta }^T$为第一行，列向量$\alpha$为各行的系数
【若$r(A)=1$，则n个特征值中，一个特征值为tr(A)，剩余n-1个特征值均为0】

③幂零矩阵 (主对角线元素为0)：
$A=B+kE$：二次展开式，$A^n=(B+kE{)}^n$
【A = B+C，Aⁿ = (B+C)ⁿ。要求BC=CB，可用二项展开式 。一般令C=kE】

④A可相似可角化：
若$P^{-1}AP=\Lambda$，则$A=P\Lambda P^{-1}$，$A^n=P{\Lambda }^n{P}^{-1}$

步骤：
1>用$|\lambda E-A|=0$ 求出A的特征值和特征向量
2>用特征值组成$\Lambda$，用特征向量组成$P$
3>验证A可相似对角化，则：$P^{-1}AP=\Lambda$，则$A=P\Lambda P^{-1}$，则$A^n=P{\Lambda }^n{P}^{-1}$

⑤分块矩阵，分块分别求n次幂：
$A=\left[\begin{array}{cc}B& O\\ O& C\end{array}\right]$，则$A^n=\left[\begin{array}{cc}{B}^n& O\\ O& C^n\end{array}\right]$

例题1：2016年21.   A可相似对角化

例题2：试算，归纳

答案：

例题3：$A^n=(B+C{)}^n$

答案：

例题4：张宇30讲线代分册   分块矩阵

答案：

例题5：23李林四(一)23.

答案：

3.几种重要矩阵（几种特殊矩阵）

1.零矩阵：O

2.单位矩阵：E
性质：E为n阶矩阵，无论n为几，都有 $|E|=1$

3.数量矩阵：kE

4.对角阵

Λ = d i a g ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ) = ( λ 1 λ 2 . . . λ n ) Λ={\rm diag}(λ₁,λ₂,...,λ_n)=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & ...\\ & & & λ_n \end{array}\right) Λ=diag(λ1​,λ2​,...,λn​)= ​λ1​​λ2​​...​λn​​ ​

(1)对角阵的幂：主对角线上元素各取幂

Λ n = ( λ 1 n λ 2 n . . . λ n n ) Λ^n=\left(\begin{array}{cc} {λ₁}^n & & \\ & {λ₂}^n & \\ & & ...\\ & & & {λ_n}^n \end{array}\right) Λn= ​λ1​n​λ2​n​...​λn​n​ ​

(2)对角阵的逆

对角阵的逆矩阵：主对角线上元素都取倒数。【即对角阵的幂取 n = -1】
Λ − 1 = ( λ 1 λ 2 λ 3 ) − 1 = ( 1 λ 1 1 λ 2 1 λ 3 ) Λ^{-1}=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & & λ_3 \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} \dfrac{1}{λ₁} & & \\ & \dfrac{1}{λ₂} & \\ & & & \dfrac{1}{λ_3} \end{array}\right) Λ−1= ​λ1​​λ2​​​λ3​​ ​−1= ​λ1​1​​λ2​1​​​λ3​1​​ ​

5.上/下三角矩阵
上(下)三角矩阵和对角阵的特征值，均为主对角线元素

6.对称矩阵
$A^T=A\iff a_{ij}=a_{ji}$

若 $a_{ij}=A_{ij}$，则 $A^T=A^{\ast }$

7.反对称矩阵
$A^T=-A\iff \{\begin{array}{rl}{a}_{ij}& =-a_{ji}，i\ne j\\ a_{ii}& =0\end{array}$

8.正交矩阵

定义：$Q^{T}Q=Q{Q}^T=E$
  $\iff Q^T=Q^{-1}$
  $\iff$ $Q$是由标准正交基组成(两两垂直正交，且都是单位向量)

9.分块矩阵

性质：副对角线要对调位置

(1)分块矩阵的逆矩阵：
①对角阵
主对角线：${\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right)$

副对角线：
(1)求逆：${\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right)$

(2)行列式： ∣ O A B O ∣ = \left|\begin{array}{cc} O & A \\ B & O \end{array}\right|= ​OB​AO​ ​=

②三角阵

左乘同行，右乘同列，取相反数

主对角线：
${\left(\begin{array}{cc}A& O\\ C& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ -B^{-1}C{A}^{-1}& B^{-1}\end{array}\right)$

${\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\\ O& B^{-1}\end{array}\right)$

副对角线：
${\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& C\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-B^{-1}C{A}^{-1}& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right)$

${\left(\begin{array}{cc}C& A\\ B& O\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\end{array}\right)$

(2)分块矩阵的转置矩阵
主对角线：${\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{cc}{A}^T& O\\ O& B^T\end{array}\right)$

副对角线：${\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{cc}O& B^T\\ A^T& O\end{array}\right)$

10.幂零矩阵：$A^k=O$
①幂零矩阵的主对角线元素为0，每升一次幂，元素就向右上方移动一斜行，秩减一。

11.幂幺矩阵：$A^k=E$

12.幂等矩阵：$A^2=A$
幂等矩阵一定可相似对角化   【880 相似矩阵 基础解答10(Ⅱ)】

13.行阶梯形矩阵
①若有零行，全在下方：所有非零行在所有零行的上面
②从行上看，出现连续0的个数自上而下严格单增：所有非零行的首个非零元所在列标严格单增

14.行最简形矩阵
①首先是行阶梯形矩阵
②每个非零行的首个非零元(主元)为1
③每个非零行的首个非零元所在列的其他元素均为0

15.标准形矩阵
左上角为单位矩阵，其他元素均为0

16.秩一矩阵

即秩为一的矩阵，$r(A)=1$，性质：
1.

例题1：07年15.   幂零矩阵

分析：A的秩为3，A²的秩为2，A³的秩为1，Aⁿ=A⁴的秩为0

答案：1

例题2：08年5.   (1)幂零阵 (2)可逆矩阵定义、立方和公式、立方差公式

分析：
法一：幂零矩阵，取特殊值

法二：可逆矩阵定义、立方和公式、立方差公式

由$A^3=O$得$E\pm A^3=E$

即$E=E+A^3=(E+A)(E^2-AE+A^2)=(E+A)(E-A+A^2)$，则$E+A$可逆且$(E+A{)}^{-1}=E-A+A^2$

即$E=E-A^3=(E-A)(E^2+AE+A^2)=(E-A)(E+A+A^2)$，则$E-A$可逆且$(E-A{)}^{-1}=E+A+A^2$

答案：C

4.可逆矩阵

(1)可逆矩阵的定义

1.对于n阶方阵A，若存在一个n阶方阵B，使得$AB=E或BA=E$，则A、B互逆：
①$A=B^{-1}，B=A^{-1}$
②$AB=E=BA$

2.特殊情况：若$A(kB)=E$，则$kB$为A的逆矩阵

例题1：22年15.

分析：可逆矩阵的定义

答案：-E

例题2：01年4.

解：由 $A^2+A-4E=O$，移项得 $A^2+A-2E=2E$
得 $(A+2E)(A-E)=2E$ $\therefore (A-E{)}^{-1}=\frac{1}{2}(A+2E)$   注意，系数要放在括号外，不要把矩阵写成分式

答案：$\frac{1}{2}(A+2E)$

例题3：08年5.   幂零阵、可逆矩阵定义、立方和公式、立方差公式

①$E^3=E^3+A^3=(E+A)(E^2-AE+A^2)=(E+A)(E-A+A^2)$，则$E+A$可逆且$(E+A{)}^{-1}=E-A+A^2$
②$E^3=E^3-A^3=(E-A)(E^2+AE+A^2)=(E-A)(E+A+A^2)$，则$E-A$可逆且$(E-A{)}^{-1}=E+A+A^2$

答案：C

例题4：

分析：
$AB=A+B$
$AB-A-B=O$
$A(B-E)-B=O$
$A(B-E)-(B-E)=E$
$(A-E)(B-E)=E$
∴$A-E$ 与 $B-E$互为逆矩阵

答案：A

(2)可逆矩阵性质

若A为n阶可逆矩阵，则：
①A的逆矩阵必唯一
②$|A|\ne 0$
③$A^{-1}$也可逆，且$(A^{-1}{)}^{-1}=A$
$A^T$也可逆，且$(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$
④乘可逆矩阵，不改变原矩阵的秩
⑤$(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}(k\ne 0)$
⑥$|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$
⑦若B也为n阶可逆矩阵，则$AB$也可逆，且$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
但$A+B$不一定可逆，且$(A+B{)}^{-1}\ne A^{-1}+B^{-1}$

例题1：17年13.   乘可逆矩阵，不改变原矩阵的秩

分析：
A = ( 1 0 1 1 1 2 0 1 1 ) → ( 1 0 1 0 1 1 0 0 0 ) A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1\\ \end{array}\right)→\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right) A= ​110​011​121​ ​→ ​100​010​110​ ​   $\therefore r(A)=2$

矩阵$(A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3)=A({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$
∵${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关   ∴$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$为可逆矩阵
∴$r(A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3)=r(A)=2$

答案：2

例题2：17年5.

(3)求逆矩阵

1.逆矩阵定义：$▯\cdot ▯=E$

$AB=E$，则 $A^{-1}=B$

2.用伴随矩阵求逆矩阵：$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

求数值矩阵的逆矩阵，步骤：
①求|A|≠0
②求A*
③写出$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

注意，求$A^{\ast }$ 的时候：①$A^{\ast }$和$A_{ij}$的位置是竖着求的 ②注意负号 $A_{ij}=-(1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

3.初等变换法求逆矩阵：$(A|E)\to (E|A^{-1})$

例题：2阶矩阵的逆矩阵 = 二阶矩阵的伴随矩阵 / 行列式
求二阶伴随矩阵A*：主对调，副变号

5.伴随矩阵 A*

(1)伴随矩阵的定义

若 A = ( a i j ) n × n = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) A=(a_{ij})_{n×n}=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right) A=(aij​)n×n​= ​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​ ​，则 A ∗ = ( A i j ) T = ( A 11 A 21 A 31 A 12 A 22 A 32 A 13 A 23 A 33 ) A^*=(A_{ij})^T=\left(\begin{array}{ccc} A_{11} & A_{21} & A_{31}\\ A_{12} & A_{22} & A_{32}\\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{array}\right) A∗=(Aij​)T= ​A11​A12​A13​​A21​A22​A23​​A31​A32​A33​​ ​

(2)伴随矩阵性质 (伴随矩阵公式)

1. $A\cdot A^{\ast }=A^{\ast }\cdot A=|A|E⇨\{\begin{array}{r}{A}^{\ast }=|A|A^{-1}\\ A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}\end{array}$

若矩阵A可逆（$A^{-1}$存在），则其伴随矩阵和逆矩阵只差一个系数

推广为：🐕·🐕*=|🐕|E

推导： A ⋅ A ∗ = ( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ) ( A 11 A 21 . . . A n 1 A 12 A 22 . . . A n 2 . . . . . . . . . A 1 n A 2 n . . . A n n ) = ( ∣ A ∣ ∣ A ∣ . . . ∣ A ∣ ) = ∣ A ∣ E A·A^* =\left(\begin{array}{cccc} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21}&a_{22} &... &a_{2n}\\ ...&... &&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} A_{11}&A_{21} &... &A_{n1} \\ A_{12}&A_{22} &... &A_{n2}\\ ...&... &&...\\ A_{1n}&A_{2n}&...&A_{nn} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} |A| & & & \\ &|A| & &\\ & &...&\\ &&&|A| \end{array}\right)=|A|E A⋅A∗= ​a11​a21​...an1​​a12​a22​...an2​​.........​a1n​a2n​...ann​​ ​ ​A11​A12​...A1n​​A21​A22​...A2n​​.........​An1​An2​...Ann​​ ​= ​∣A∣​∣A∣​...​∣A∣​ ​=∣A∣E

2.$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$
$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}\cdot A$

3.$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{rl}n,& r(A)=n\\ 1,& r(A)=n-1\\ 0,& r(A)<n-1\end{array}$

4.$(k{A}^{\ast }{)}^n=k^{n-1}{A}^{\ast }$

(3)求伴随矩阵

1.2阶伴随矩阵：
主对调，副变号
$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$，则 $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

2.3阶伴随矩阵

3.n阶伴随矩阵

例题1：05年12.

分析：

答案：C

例题2：09年6.

答案：

例题3：11年6.   r(A*)的性质

分析：

答案：D

例题4：13年13.

分析：

答案：-1

6.初等变换 与 初等矩阵

(1)三种初等变换

以下三种变换，称为矩阵的初等变换：
1.倍乘：用非零常数k乘矩阵的某一行(列)
2.互换：互换矩阵中某两行(列)的位置
3.倍加：将矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)

①对行进行初等变换，称为初等行变换；对列进行初等变换，称为初等列变换
②初等行变换，不会改变列向量的关系

(2)初等变换性质

初等变换不改变矩阵的秩，可能改变特征值、迹、行列式的值。
相似变换和正交变换，不改变矩阵的特征值。

(3)初等矩阵

初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

1.倍乘初等矩阵 $E_i(k)$：第$i$行(或第2列)乘$k$倍
2.互换初等矩阵 $E_{ij}$：第$i,j$行(或第$i,j$列)互换
3.倍加初等矩阵 $E_{ij}(k)$：第$j$行的$k$倍加到第$i$行 (或第$i$列的k倍加到第$j$列)

(4)初等矩阵的性质

(5)左行右列定理：左乘行变换，右乘列变换

可逆矩阵P、Q，$PAQ=B$，则P为一系列行变换，Q为一系列列变换。

例题1：880 二次型 基础选择4   互换初等矩阵：求逆和转置均不变

分析：
互换初等矩阵 $E_{ij}$：
①${E_{ij}}^T=E_{ij}$，不变
②${E_{ij}}^{-1}=E_{ij}$，不变

答案：A

例题2：23李林四(四)5.   左行右列定理


分析：

答案：D

例题2：880 向量 综合解答1(Ⅱ)   左行右列定理

例题3：14年13.

7.矩阵的秩

(1)矩阵的秩的定义

r(A)=k：
①最高阶非零子式的阶数为k
②至少存在一个k阶子式不为0，所有高于k阶的子式全为0
③矩阵秩的本质：组成该矩阵的线性无关的向量的个数，有且仅有k个

推论：若A有k阶子式$\ne 0$，则$r(A)\ge k$

k阶子式：A中任取k行k列，交叉点的元素按照原来的位置排列的k阶行列式，称为k阶子式。

(2)秩的性质

1.$r(A)$$=r(A^T)=r(A{A}^T)=$$r(A^{T}A)$   【2012年21(2)】

2.$r(A,B)=r(A,B{)}^T=r(\genfrac{}{}{0ex}{}{A^T}{B^T})$   【2018年6】

3.右乘列变换：$r(A)=r(A,AB)$   【2018年6】
左乘行变换：$r(A)=r\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{A}{BA}\right)$

4.若B可逆 /满秩为n，则$r(A)=r(AB)=r(BA)$

5. r ( A B ) ≤ min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)≤\min\{ r(A),r(B)\} r(AB)≤min{r(A),r(B)}

6. max ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } ≤ r ( A , B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) \max\{r(A),r(B)\}≤r(A,B)≤r(A)+r(B) max{r(A),r(B)}≤r(A,B)≤r(A)+r(B)   【2018年6】

联立3、4：$r(AB)\le r(A)\le r(A,B)$

7.$r(A+B)\le r(A)+r(B)$   【2013年21(2)】

8.若 $A_{m\times n}{B}_{n\times l}=O$，则 $r(A)+r(B)\le n$