作者：hsez_yyh
链接： FHQ-Treap——从入门到入坟_hsez_yyh的博客-CSDN博客
来源：湖北省黄石二中信息竞赛组
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平衡树有很多种，其中fhq-treap 可以说是最强的一种平衡树之一，它可以维护值域，也可以维护下标，还能维护区间修改，更难能可贵的是，它可以完成splay都完成不了的可持久化操作。其唯一弱于splay的就是在LCT上，splay维护LCT的复杂度是O(nlog(n)),而fhq-treap的复杂度为O(nlog^2(n))，稍微大了一点，但是比splay好写多了。
其实FHQ-treap的实现非常简单，本人认为，数据结构其实都不难实现，只是难于在概念上抽象的理解，所以，对于学习数据结构的最好方法就是手动模拟，在开始我们愉快的FHQ-treap之旅之前，在此先瞻仰一下FHQ-treap的最先引入者范浩强大佬。
现在我们正式开始(其实迫于教练压力才写的这篇文章)
首先fhq-treap是一个二叉搜索树(BST)，它的每个节点有两个主要信息：key和val，key是我们fhq-treap要维护的键值，而val是随机生成的(rand()),key信息主要用于我们对于题目信息的处理，而val则是用于维持fhq-treap在结构上满足期望高度为logn的，val保证了fhq-treap拥有稳定的logn的高度，不会像splay一样退化。fhq-treap 除了要满足关于key的BST性质之外，还需满足关于val的小根堆性质。就是说，对于任意fhq-treap中的节点 i ，其左子树上的所有节点的key小于等于 i 节点的key值，i 节点所有右子树上所有节点的key 大于等于 i 节点的key值；对于任意节点 i ，其左、右儿子的val值大于等于 i 的val值(满足小根堆的性质)。要牢牢记住这两点的区别，否则会像我一样搞混，然后写代码的时候狂 WA，（手动悲剧）。下面给出一颗fhq-treap：
上图就是一颗fhq-treap，其中每个节点中的数字为val，每个节点下方的数字为当前节点的key 可以发现一颗fhq-treap中序遍历后得到的序列是单调递增(如果维护方式不同其也可以是单调递减的)的。 非常好的性质——神犇ljz说。 这里，我们要引入fhq-treap的两个基本操作：split和merge， 其中split是分离操作，merge是合并操作，下面我们来一一阐明：
1. split 通常情况下，split用于分离一颗fhq-treap，对于一个元素 x ，我们会将这棵fhq-treap分裂为左右两棵树，左树上每个节点的key值都小于等于(<=)x , 而右树上的所有节点的key值都大于 x ；下面给出代码：
void split(int pos,int xx,int &l,int &r)// pos是当前fhq-treap的根
{ // &l 和 &r分别是fhq-treap分裂后得到的两个fhq-treap的根，这里用指针(引用)的方式，便于传递值
if(!pos)//如果该节点为空树，则分裂成的左右两个树也应为空
{
l=r=0;
return ;
}
if(tr[pos].key<=xx)// 如果当前节点的key值小于等于xx，则证明该节点的左子树上所有的key值也小于等于xx
{
l=pos;//让该节点成为左树的节点
split(tr[l].r,xx,tr[l].r,r);//继续递归分离当前节点的右子树
}
else//同上
{
r=pos;
split(tr[r].l,xx,l,tr[r].l);//继续递归分离当前节点的左子树
}
push_up(pos);
//一定要记得push_up，因为pos点的左右子树大小发生了改变，否则会导致信息不对
}
//以上便是递归分离左右子树的方法以上代码如果学过线段树的话会好理解的多，本蒟蒻也建议先去熟练掌握线段树再来学习fhq-treap，这样会轻松很多。下面我们来模拟这个过程——本蒟蒻就是开始没有自己去模拟，导致一直不是很理解fhq-treap的实现方式。
对于上图，假如我们要将其分离为小于等于18和大于18两个部分：
在此之后，我们会继续递归，分裂K节点的左子树，大家可以自己手动模拟下(主要是画图太麻烦了，QAQ)，由于I节点的权值20>18，所以我们将 I 节点归入右fhq-treap，接下来我们会碰到空节点，递归将会跳出，这时，我们就能得到左右两棵fhq-treap了：
以上就是fhq-treap的基本操作之一split操作的全部过程了 。
2. merge 操作 这是一个合并操作，但它也不能随便合并，如果要合并两棵fhq-treap，那么它们可以进行合并当且仅当左fhq-treap上所有节点的key值都小于等于右fhq-treap中的最小key值(也就是左树小于等于右树)或两棵树中有空树。 这个性质很重要，为根据val合并两棵树做好的前提，保证了BST结构不会因合并而被破坏。 合并时，我们会根据左右两棵树的根节点的val值大小进行合并，大家先看一下代码：
int merge(int l,int r)//传入左右子树的根节点
{
if(!l||!r) //如果有空树
return l|r;//直接返回非空树(本蒟蒻这样的写法等同于l+r,是用来装杯的)
if(tr[l].val<=tr[r].val)
{
//如果左树上当前节点的val值小于右树上当前节点的val值
//将l变为合并后的新fhq-treap的根节点
tr[l].r=merge(tr[l].r,r);//继续递归确定l的右子树该接谁
push_up(l);//一定记得上传
return l;//返回新得到的根节点
}
else// 同上
{
tr[r].l=merge(l,tr[r].l);
push_up(r);
return r;
}
}还是一样，画图好理解：
以上是两棵要合并的fhq-treap
以上就是fhq-treap合并的全部过程了。
到现在，fhq-treap的最基本也是精华所在你已经完全掌握了，下面我们来看一道题目：
【模板】普通平衡树 - 洛谷 这道题就是平衡树的板子题，用fhq-treap可以轻松切掉，代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,idx;
int dl,dr,temp,rt;
struct node
{
int l,r;
int key,val;
int si;//以当前节点为根的树的节点数
}tr[N*2];
int get_rand(int xx)
{
tr[++idx].key=xx;
tr[idx].val=rand();
tr[idx].si=1;
return idx;
} //建立一个新节点
void push_up(int pos)
{
tr[pos].si=tr[tr[pos].l].si+tr[tr[pos].r].si+1;
// 注意这里，这里跟线段树的push_up不一样，要记得加上自己的大小
}
void split(int pos,int xx,int &l,int &r)//分离操作
{
if(!pos)
{
l=r=0;
return ;
}
if(tr[pos].key<=xx)
{
l=pos;
split(tr[l].r,xx,tr[l].r,r);
}
else
{
r=pos;
split(tr[r].l,xx,l,tr[r].l);
}
push_up(pos);
}
int merge(int l,int r) // 合并操作
{
if(!l||!r)
return l|r;
if(tr[l].val<=tr[r].val)
{
tr[l].r=merge(tr[l].r,r);
push_up(l);
return l;
}
else
{
tr[r].l=merge(l,tr[r].l);
push_up(r);
return r;
}
}
void insert(int xx)
{
// 对于合并操作，先将原树分裂成<=xx-1和 >xx-1(>=xx)两个部分
// 将xx与<=xx-1的部分合并，再和>xx-1的部分合并
split(rt,xx-1,dl,dr);
rt=merge(merge(dl,get_rand(xx)),dr);
}
void delet(int xx)
{
split(rt,xx-1,dl,dr);
split(dr,xx,temp,dr);
//连续两次分裂，temp得到了一棵所有key值==xx的fhq-treap
temp=merge(tr[temp].l,tr[temp].r);
//由于只能删一个xx，而原树中可能有很多xx，那么我们直接合并temp的左右子树即可
rt=merge(dl,merge(temp,dr));
// 将原树恢复(已删去xx)
}
int get_rk(int xx)
{
//非常简单，直接分离出<=xx-1的一棵树，也就是<xx的一棵树
//然后xx的排名就是<xx的树的大小+1即可
split(rt,xx-1,dl,dr);
int rnk=tr[dl].si+1;
rt=merge(dl,dr);
return rnk;
}
int get_num(int pos,int xx)
{
//这里采用递归搜索，思想见二分搜索树
int u=tr[tr[pos].l].si+1;
if(u==xx)
return tr[pos].key;
if(u>xx) return get_num(tr[pos].l,xx);
else return get_num(tr[pos].r,xx-u);
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
int op,xx;
while(n--)
{
scanf("%d %d",&op,&xx);
if(op==1) insert(xx);
else if(op==2) delet(xx);
else if(op==3) printf("%d\n",get_rk(xx));
else if(op==4) printf("%d\n",get_num(rt,xx));
else if(op==5)
{
split(rt,xx-1,dl,dr);
printf("%d\n",get_num(dl,tr[dl].si));
// 前驱就是<=xx-1的这棵树中排名最后的那个数
rt=merge(dl,dr);
}
else
{
split(rt,xx,dl,dr);
printf("%d\n",get_num(dr,1));
//后继就是>xx的这棵树中排名第一的树
rt=merge(dl,dr);
}
}
return 0;
}
好了，目前为止，平衡树维护值域的方法你就已经掌握了，下面我们再来看一个fhq-treap维护序列的题目：
【模板】文艺平衡树 - 洛谷 这道题就是典型的fhq-treap维护序列，操作也非常简单，仅仅是加上了一个翻转的懒标记而已——可见学线段树的必要。
值得一说的是，fhq-treap在维护序列时，void split(int pos,int k,int &l,int &r)的意思不再是分离<=k和>k的两棵树，而是变为了 将序列pos 的前k个元素分离出来形成一棵新fhq-treap l，另外的一部分形成另一颗 fhq-treap r .
下面展示代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m;
struct node
{
int l,r;
int key,val;
int si;
bool tag;
}tr[N*2];
int dl,dr,temp,rt,idx;
int get_rand(int xx)
{
tr[++idx].key=xx;
tr[idx].val=rand();
tr[idx].si=1;
return idx;
}
void push_up(int pos)
{
tr[pos].si=tr[tr[pos].l].si+tr[tr[pos].r].si+1;
}
void push_down(int pos)
{
//下传懒标记，如果一直下传下去，将会实现左右区间翻转
if(tr[pos].tag)
{
tr[tr[pos].l].tag^=1;
tr[tr[pos].r].tag^=1;
swap(tr[pos].l,tr[pos].r);
tr[pos].tag=0;
}
}
void split(int pos,int k,int &l,int &r)
{
if(!pos)
{
l=r=0;
return ;
}
//只要对某个节点的子节点做操作，就一定要将该节点的标记下传
push_down(pos);
int u=tr[tr[pos].l].si+1;
if(u<=k)
{
l=pos;
split(tr[pos].r,k-u,tr[pos].r,r);
push_up(l);
}
else
{
r=pos;
split(tr[pos].l,k,l,tr[pos].l);
push_up(r);
}
}
int merge(int l,int r)
{
if(!l||!r) return l|r;
push_down(l);
push_down(r);
if(tr[l].val<=tr[r].val)
{
tr[l].r=merge(tr[l].r,r);
push_up(l);
return l;
}
else
{
tr[r].l=merge(l,tr[r].l);
push_up(r);
return r;
}
}
void reverse(int l,int r)
{
int p1=0,p2=0,p3=0,p4=0;
split(rt,l-1,p1,p2);
split(p2,(r-l+1),p3,p4);
// 将要翻转的一段分离出来，打上标记，再合并回去
tr[p3].tag^=1;
p2=merge(p3,p4);
rt=merge(p1,p2);
}
void print_res(int pos)
{
push_down(pos);
if(tr[pos].l) print_res(tr[pos].l);
printf("%d ",tr[pos].key);
if(tr[pos].r) print_res(tr[pos].r);
// 迭代输出，没什么好说的
}
int main()
{
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
split(rt,i-1,dl,dr);
rt=merge(merge(dl,get_rand(i)),dr);
}
int xx,yy;
while(m--)
{
scanf("%d %d",&xx,&yy);
reverse(xx,yy);
}
print_res(rt);
return 0;
}到此，平衡树最大的两个功能都能实现了 Orz ! ! !
但既然要入坟，那么在此推荐两道题目:
266. 超级备忘录 - AcWing题库
[NOI2005] 维护数列 - 洛谷 祝大家WA的开心，本蒟蒻虽然过了，但是懒得贴代码了——都是泪
你以为就这样结束了？？？ 不，还远远不止，既然要入坟，那么就要坚持到底：
fhq-treap之所以是现在OI界地位逐渐超过splay的结构，自然有splay做不到的地方。众所周知 ，splay依靠二次旋转来保持logn的复杂度的，然而，这样做会经常改变树的结构，自然，splay对于处理可持久化的信息是一点办法都没有——就是嘛，转来转去的一看就不好 。但是嘛，splay可以做的fhq-treap可以做，splay不能做的fhq-treap还可以做(就算lct复杂度高一点，但是也是可以做的嘛，手动滑稽) 。
口胡完毕，进入正题： 细心的你可以发现，在fhq-treap的 split 操作和 merge 操作时，由于fhq-treap的期望高度是 logn，并且可以发现 split 和 merge 时都是自上而下的，那么，对于每次 split 和 merge 操作，真正有所变动的点只有 logn 个 ，所以我们只需要在操作过程中记录下沿途经过的 logn 个节点，就能对某次历史版本有所记录，其记录方式与主席树类似——又是线段树 。
如果再仔细思考，我们可以发现，每次 merge 操作都是合并先由 split 操作分离的两棵树，所以，对于真正结果有影响的操作只有 split ，所以，我们只需要在每次 split 的时候记录沿途的节点即可。
例题: 【模板】可持久化平衡树 - 洛谷
需要注意的是，我们每次操作产生的新版本，都要创建一个新根来指向次版本。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=5e5+10;
int n,dl,dr,temp;
struct node
{
int l,r;
LL key,val;
LL si;
}tr[N*60];
int rt[N*60],idx;
void push_up(int pos)
{
tr[pos].si=tr[tr[pos].l].si+tr[tr[pos].r].si+1;
}
int get_rand(int xx)
{
tr[++idx].key=xx;
tr[idx].val=rand();
tr[idx].si=1;
return idx;
}
void split(int pos,int xx,int &l,int &r)
{
if(!pos)
{
l=r=0;
return ;
}
if(tr[pos].key<=xx)
{
l=++idx;
tr[l]=tr[pos];
split(tr[l].r,xx,tr[l].r,r);
push_up(l);
}
else
{
r=++idx;
tr[r]=tr[pos];
split(tr[pos].l,xx,l,tr[r].l);
push_up(r);
}
}
int merge(int l,int r)
{
if(!l||!r) return l|r;
int pos=++idx;
if(tr[l].val<=tr[r].val)
{
tr[pos]=tr[l];
tr[pos].r=merge(tr[pos].r,r);
}
else
{
tr[pos]=tr[r];
tr[pos].l=merge(l,tr[pos].l);
}
push_up(pos);
return pos;
}
void insert(int &pos,int xx)
{
split(pos,xx-1,dl,dr);
pos=merge(merge(dl,get_rand(xx)),dr);
}
void delet(int &pos,int xx)
{
split(pos,xx-1,dl,dr);
split(dr,xx,temp,dr);
temp=merge(tr[temp].l,tr[temp].r);
pos=merge(dl,merge(temp,dr));
}
int get_rk(int &pos,int xx)
{
split(pos,xx-1,dl,dr);
int rk=tr[dl].si+1;
pos=merge(dl,dr);
return rk;
}
int get_num(int pos,int xx)
{
int u=tr[tr[pos].l].si+1;
if(u==xx) return tr[pos].key;
if(u>xx) return get_num(tr[pos].l,xx);
else return get_num(tr[pos].r,xx-u);
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
int op,xx,t;
int cnt=0;
while(n--)
{
cnt++;
scanf("%d %d %d",&t,&op,&xx);
rt[cnt]=rt[t];
if(op==1) insert(rt[cnt],xx);
else if(op==2) delet(rt[cnt],xx);
else if(op==3) printf("%d\n",get_rk(rt[cnt],xx));
else if(op==4) printf("%d\n",get_num(rt[cnt],xx));
else if(op==5)
{
split(rt[cnt],xx-1,dl,dr);
printf("%d\n",get_num(dl,tr[dl].si));
rt[cnt]=merge(dl,dr);
}
else
{
split(rt[cnt],xx,dl,dr);
printf("%d\n",get_num(dr,1));
rt[cnt]=merge(dl,dr);
}
}
return 0;
}既然有了这道题，那么你肯定能想到另外一道：【模板】可持久化文艺平衡树 - 洛谷
其实和普通的文艺平衡树一样，只需要多加一个可持久化操作即可，代码如下(也就写了一小时)：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=2e5+10;
int n,idx;
int dl,dr,temp;
struct node
{
int l,r;
int key,val;
int si;
bool rev;
LL sum;
}tr[N*100];
int rt[N];
void push_up(int pos)
{
tr[pos].si=tr[tr[pos].l].si+tr[tr[pos].r].si+1;
tr[pos].sum=tr[tr[pos].l].sum+tr[tr[pos].r].sum+tr[pos].key;
}
int get_rand(int xx)
{
tr[++idx].sum=xx;
tr[idx].key=xx;
tr[idx].si=1;
tr[idx].val=rand();
return idx;
}
void push_down(int &pos)
{
if(!tr[pos].rev) return ;
if(tr[pos].l)
{
tr[++idx]=tr[tr[pos].l];
tr[pos].l=idx;
tr[tr[pos].l].rev^=1;
}
if(tr[pos].r)
{
tr[++idx]=tr[tr[pos].r];
tr[pos].r=idx;
tr[tr[pos].r].rev^=1;
}
tr[pos].rev=0;
swap(tr[pos].l,tr[pos].r);
}
void split(int pos,int k,int &l,int &r)
{
if(!pos)
{
l=r=0;
return ;
}
push_down(pos);
int u=tr[tr[pos].l].si+1;
if(u<=k)
{
l=++idx;
tr[l]=tr[pos];
split(tr[pos].r,k-u,tr[l].r,r);
push_up(l);
}
else
{
r=++idx;
tr[r]=tr[pos];
split(tr[pos].l,k,l,tr[r].l);
push_up(r);
}
}
int merge(int l,int r)
{
if(!l||!r) return l|r;
int pos=++idx;
if(tr[l].val<=tr[r].val)
{
tr[pos]=tr[l];
push_down(pos);
tr[pos].r=merge(tr[pos].r,r);
push_up(pos);
return pos;
}
else
{
tr[pos]=tr[r];
push_down(pos);
tr[pos].l=merge(l,tr[pos].l);
push_up(pos);
return pos;
}
}
void insert(int &pos,int xx,int yy)
{
split(pos,xx,dl,dr);
dl=merge(dl,get_rand(yy));
pos=merge(dl,dr);
}
void delet(int &pos,int xx)
{
split(pos,xx-1,dl,dr);
split(dr,1,temp,dr);
pos=merge(dl,dr);
}
void reverse(int &pos,int l,int r)
{
split(pos,l-1,dl,dr);
split(dr,r-l+1,temp,dr);
tr[temp].rev^=1;
dr=merge(temp,dr);
pos=merge(dl,dr);
}
LL query(int &pos,int l,int r)
{
split(pos,l-1,dl,dr);
split(dr,r-l+1,temp,dr);
LL ans=tr[temp].sum;
dr=merge(temp,dr);
pos=merge(dl,dr);
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
int op,v,xx,yy;
LL lan=0;
for(int t=1;t<=n;t++)
{
scanf("%d %d",&v,&op);
rt[t]=rt[v];
if(op==2)
{
scanf("%d",&xx);
xx^=lan;
delet(rt[t],xx);
}
else
{
scanf("%d %d",&xx,&yy);
if(op==1)
{
xx^=lan,yy^=lan;
insert(rt[t],xx,yy);
}
else if(op==3)
{
xx^=lan,yy^=lan;
reverse(rt[t],xx,yy);
}
else
{
xx^=lan,yy^=lan;
lan=query(rt[t],xx,yy);
printf("%lld\n",lan);
}
}
}
return 0;
}一定要注意的是，每次操作，不管是合并、分离还是push_down，只要影响到树形和树中节点的信息，就必须新建节点来储存，所以fhq-treap的可持久化格外的费空间，不过现在空间都给的足，所以一般都能过。用fhq-Treap支持区间翻转和可持久化，需要注意的是和区间修改主席树一样，在push_down翻转rev的时候需要复制左右儿子结点，把rev推到新复制的结点上。
多体会下，就能很容易理解啦，在本蒟蒻看来，其实平衡树比线段树简单多了 qwq
好了，现在已经快入坟了，就差轻轻一推了，那么它来啦！！！ 作为平衡树五题的压轴题目，也是平衡树的另一大考点：【模板】二逼平衡树（树套树） - 洛谷 相信有人已经看不下去了，本蒟蒻也是到这里才体会到了平衡树的快乐 ，当本蒟蒻听到树套树之后，直接兴奋的半个小时交了一发，然后快乐的只过了一个点。在听完课后，虽然本蒟蒻会写了，但是，但是！，又交了一发，只过了90分(关键是就我第一次提交过的那个点没过——离离原上谱) ，虽然后来我看题解用树状数组套平衡树过了，However，这和我线段树套平衡树的初衷不相符，所以这里就不贴代码，就稍微解释一下吧(尬)。
对于此题，我们可以发现，如果单纯的求前驱和后继，排名，数值，用一棵fhq-treap来维护绰绰有余，然而，此题异常毒瘤，它让我们在一个区间中进行上述操作。区间？ 这不又是线段树嘛，欸，猜对了。又题目的提示可以知道：我们要在一棵维护区间的线段树上做平衡树，也就是下标线段树套值域平衡树，线段树的每个节点都是一段区间，所以我们要在线段树的每个节点上开一个平衡树，这样就可以轻松地维护信息啦——但是，这样也会有问题，我们在查询排名为k的数时，由于答案需要多棵不可合并的平衡树一起提供，所以我们要在线段树二分区间(logn)的前提下在平衡树中二分答案(logn*logn)，那么复杂度就会到达 log^3(n)，这样又会被出题人卡死。怎么办呢，为了降低复杂度，我们可以利用线段树的二分性，把树套树改成 下标平衡树套值域线段树，这样复杂度就会将下来，具体实现推荐去看肖然大佬的blog 【树套树】 - 肖然 的博客 - 洛谷博客文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-604978.html
本蒟蒻就水到这了，反正我是已经入坟躺平了，希望各位神犇大佬AC顺利 Orz文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-604978.html
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