证明矩阵特征值之积等于矩阵行列式的值

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设n阶矩阵 A A A 的特征值为 λ 1 , λ 2 , . . , λ n \lambda_1, \lambda_2,..,\lambda_n λ1,λ2,..,λn,则 λ 1 λ 2 ⋯ λ n = ∣ A ∣ 。 \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = |A|。 λ1λ2λn=A

证明:

矩阵 A A A 的特征多项式为:
f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − a 11 − a 12 ⋯ − a 1 n − a 21 λ − a 22 ⋯ − a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋯ − a n 1 − a n 2 ⋯ λ − a n n ∣ f(\lambda) = |\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-a_{11}&-a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{vmatrix} f(λ)=λEA= λa11a21an1a12λa22an2a1na2nλann

它是一个关于 λ \lambda λ n n n 次多项式,所以不妨设:
f ( λ ) = k 0 + k 1 λ + ⋯ + k n λ n f(\lambda) = k_0 + k_1\lambda+\cdots+k_n\lambda^n f(λ)=k0+k1λ++knλn

又矩阵 A A A 的特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n λ1,λ2,,λn,即特征方程 f ( λ ) = 0 f(\lambda) = 0 f(λ)=0 n n n 个解为 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n λ1,λ2,,λn,所以 f ( λ ) f(\lambda) f(λ) 可以写成:

f ( λ ) = ( λ − λ 1 ) ( λ − λ 2 ) ⋯ ( λ − λ n ) f(\lambda) = (\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda - \lambda_n) f(λ)=(λλ1)(λλ2)(λλn)

根据上面的式子我们就能得到 λ \lambda λ 的 0次项系数为:

k 0 = ( − 1 ) n λ 1 λ 2 ⋯ λ n k_0 = (-1)^n\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n k0=(1)nλ1λ2λn

λ = 0 \lambda=0 λ=0 代入特征多项式 ∣ λ E − A ∣ |\lambda E-A| λEA ∣ − A ∣ = k 0 |-A| = k_0 A=k0 ,又 ∣ − A ∣ = ( − 1 ) n ∣ A ∣ |-A| = (-1)^n|A| A=(1)nA,我们就可以得到:

( − 1 ) n λ 1 λ 2 ⋯ λ n = ( − 1 ) n ∣ A ∣ (-1)^n\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = (-1)^n|A| (1)nλ1λ2λn=(1)nA

消去两边的 ( − 1 ) n (-1)^n (1)n我们就可以得到:

λ 1 λ 2 ⋯ λ n = ∣ A ∣ \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = |A| λ1λ2λn=A文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-605206.html

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