如下图所示，概率论与数理统计浙大第四版有如下例题：
简单说就是：已知两个相互独立工作电子装置寿命的概率密度函数，将二者串联成整机，求整机寿命的数学期望。
这个题目解答中的微积分部分可谓是相当的坑爹，根本没有任何中间计算过程，任何人直接看根本看不懂！所以说它是烂教材，根本不足为过！而国内确实有很多这种垃圾教材，写的不清不楚，误人子弟！
好了，说了这么多该进入正题了，其实这个里面的微积分计算有很大的难度和分析工作量，我下面来具体解释求解细节：
-
首先第一，因为这两个电子装置是串联在一起的，当发生故障时：只要有一个坏了，整机就不能工作了！
所以，整机的寿命必然取决于寿命最短的那一个，即
整机寿命的概率分布函数 F(N) = Min(F(X1), F(X2))
根据多维随机变量的概率分布公式（见第三章公式5.12），可得
Fmin = 1 - [ 1- F(X) ][ 1 - F(Y) ] // 二维随机变量的情况
而X1, X2这两个电子装置是相互独立的，而且它们的概率密度函数都是一样的
所以可以得出：
F ( N ) = M i n ( F ( X 1 ) , F ( X 2 ) ) = 1 − [ 1 − F ( X ) ] 2 ( 1.1 ) F(N) = Min(F(X1), F(X2)) = 1 - [1 - F(X)]^ 2 {\qquad} (1.1) F(N)=Min(F(X1),F(X2))=1−[1−F(X)]2(1.1) -
要求出F(N),就得求出F(X)也就是电子装置的概率分布函数
而概率分布函数是概率密度函数的积分
所以
F(X) = ∫ 0 ∞ f ( x ) d x \int_{0}^{\infty}f(x)dx ∫0∞f(x)dx = ∫ 0 ∞ 1 θ . e − x / θ d x \int_{0}^{\infty} \frac{1}{θ}.e^{-x/θ} dx ∫0∞θ1.e−x/θdx
根据基本积分公式：
上式可得(因为x<0时,f(x)=0,那么它的积分也为0，故只取大于0的积分)：
F(X) = ∫ 0 ∞ 1 θ . e − x / θ d x \int_{0}^{\infty} \frac{1}{θ}.e^{-x/θ} dx ∫0∞θ1.e−x/θdx = 1 θ ∫ 0 ∞ e ( − 1 θ ) . x d x \frac{1}{θ}\int_{0}^{\infty} e^{(-\frac{1}{θ}).x} dx θ1∫0∞e(−θ1).xdx
= 1 θ ∗ ( − θ ) ∗ . e − x / θ = \frac{1}{θ}* (-θ) * .e^{-x/θ} =θ1∗(−θ)∗.e−x/θ = − e − x / θ ∣ 0 ∞ -e^{-x/θ}|_{0}^{\infty} −e−x/θ∣0∞
= − e − ∞ / θ − ( − e − 0 / θ ) = 1 − e − ∞ / θ = -e^{-\infty/θ} - (-e^{-0/θ}) = 1 -e^{-\infty/θ} =−e−∞/θ−(−e−0/θ)=1−e−∞/θ
可以看到这个积分并不是收敛的，所以只能把它变成变上限积分，于是
F ( X ) = 1 − e − x / θ F(X) = 1 -e^{-x/θ} F(X)=1−e−x/θ -
然后代入到前面的F(N)公式(1.1)中
F ( N ) = 1 − [ 1 − ( 1 − e − x / θ ) ] 2 = 1 − e − 2 x / θ F(N) = 1 - [1- (1 -e^{-x/θ})]^2 = 1 - e^{-2x/θ} F(N)=1−[1−(1−e−x/θ)]2=1−e−2x/θ -
然后对F(N)求导获得f(N) 也就是整机的概率密度函数
f ( N ) = ( F ( N ) ) ′ = ( − 2 θ ) ( − e − 2 x / θ ) = 2 θ . e − 2 x / θ f(N) = (F(N))^{'} = (- \frac{2}{θ}) (-e^{-2x/θ}) = \frac{2}{θ} . e^{-2x/θ} f(N)=(F(N))′=(−θ2)(−e−2x/θ)=θ2.e−2x/θ -
然后根据连续随机变量的数学期望公式：
E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x . f ( x ) d x E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x.f(x)dx E(X)=∫−∞+∞x.f(x)dx
E ( N ) = ∫ − ∞ + ∞ x . f ( N ) d x = ∫ − ∞ + ∞ x . 2 θ . e − 2 x / θ d x E(N) = \int_{-\infty}^{+\infty} x.f(N)dx = \int_{-\infty}^{+\infty} x. \frac{2}{θ} . e^{-2x/θ}dx E(N)=∫−∞+∞x.f(N)dx=∫−∞+∞x.θ2.e−2x/θdx
= 2 θ . ( − θ 2 ) 2 . ∫ − ∞ + ∞ ( − 2 x θ ) . e − 2 x / θ d ( − 2 x θ ) = \frac{2}{θ}.(-\frac{θ}{2})^2 .\int_{-\infty}^{+\infty} (-\frac{2x}{θ}) . e^{-2x/θ} d(-\frac{2x}{θ}) =θ2.(−2θ)2.∫−∞+∞(−θ2x).e−2x/θd(−θ2x)
= θ 2 . ∫ − ∞ + ∞ ( − 2 x θ ) . e − 2 x / θ d ( − 2 x θ ) ( 2.1 ) = \frac{θ}{2}. \int_{-\infty}^{+\infty} (-\frac{2x}{θ}) . e^{-2x/θ} d(-\frac{2x}{θ}) {\qquad} (2.1) =2θ.∫−∞+∞(−θ2x).e−2x/θd(−θ2x)(2.1)
根据分部积分公式：
可以推导出：
∫ x . e x d x = x . e x − e x + C \int x.e^x dx = x.e^x - e^x + C ∫x.exdx=x.ex−ex+C 将此代入式（2.1）可得：文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-605307.html
E
(
N
)
=
θ
2
.
[
(
−
2
x
θ
)
.
e
−
2
x
/
θ
−
e
−
2
x
/
θ
]
∣
−
∞
+
∞
E(N) = \frac{θ}{2}.[(-\frac{2x}{θ}) . e^{-2x/θ} - e^{-2x/θ} ] |_{-\infty}^{+\infty}
E(N)=2θ.[(−θ2x).e−2x/θ−e−2x/θ]∣−∞+∞
但是F(N)在小于0时，积分为0，所以
E
(
N
)
=
θ
2
.
[
(
−
2
x
θ
)
.
e
−
2
x
/
θ
−
e
−
2
x
/
θ
]
∣
0
+
∞
=
−
θ
2
.
e
−
2
x
/
θ
.
(
1
+
2
x
θ
)
∣
0
+
∞
E(N) = \frac{θ}{2}.[(-\frac{2x}{θ}) . e^{-2x/θ} - e^{-2x/θ} ] |_{0}^{+\infty} = -\frac{θ}{2}. e^{-2x/θ}.(1+\frac{2x}{θ})|_{0}^{+\infty}
E(N)=2θ.[(−θ2x).e−2x/θ−e−2x/θ]∣0+∞=−2θ.e−2x/θ.(1+θ2x)∣0+∞
=
−
θ
2
.
[
lim
x
→
∞
(
1
+
2
x
θ
e
2
x
/
θ
)
−
e
0
.
(
1
+
0
θ
)
]
= -\frac{θ}{2}.[\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(\frac{1+\frac{2x}{θ}}{e^{2x/θ}}) - e^0.(1+ \frac{0}{θ}) ]
=−2θ.[x→∞lim(e2x/θ1+θ2x)−e0.(1+θ0)]
=
θ
2
.
[
1
−
lim
x
→
∞
(
1
+
2
x
θ
e
2
x
/
θ
)
]
=\frac{θ}{2}.[ 1- \lim\limits_{x\rightarrow \infty}(\frac{1+\frac{2x}{θ}}{e^{2x/θ}}) ]
=2θ.[1−x→∞lim(e2x/θ1+θ2x)]
然后运用洛必达法则求极限:
E
(
N
)
=
θ
2
.
[
1
−
lim
x
→
∞
(
1
+
2
x
θ
)
′
(
e
2
x
/
θ
)
′
]
=
θ
2
.
[
1
−
lim
x
→
∞
2
θ
2
θ
.
e
2
x
/
θ
]
E(N) = \frac{θ}{2}.[ 1- \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{(1+\frac{2x}{θ})^{'}}{(e^{2x/θ})^{'}} ] = \frac{θ}{2}. [ 1 - \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac {\frac{2}{θ}}{\frac{2}{θ}.e^{2x/θ}} ]
E(N)=2θ.[1−x→∞lim(e2x/θ)′(1+θ2x)′]=2θ.[1−x→∞limθ2.e2x/θθ2]
=
θ
2
.
[
1
−
lim
x
→
∞
1
e
2
x
/
θ
]
= \frac{θ}{2}. [ 1 - \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac {1}{e^{2x/θ}} ]
=2θ.[1−x→∞lime2x/θ1]
很明显：在x->无穷大时，
1
e
2
x
/
θ
\frac {1}{e^{2x/θ}}
e2x/θ1的极限为０
所以，最终
E
(
N
)
=
θ
2
E(N) = \frac{θ}{2}
E(N)=2θ
即整机的数学期望
E
(
N
)
=
θ
2
E(N) = \frac{θ}{2}
E(N)=2θ
可以看到整个微积分的求解过程还是很复杂的，但是教材上却只是一带而过，让人相当无语，足见浙大概率论教材质量是非常坑爹的，需要自己仔细分析推导，才能得到正确结果。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-605307.html
到了这里，关于洛必达法则和分部积分的应用之计算数学期望EX--概率论浙大版填坑记的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
