一、 前言
霍夫变换是一种特征检测(feature extraction)，被广泛应用在图像分析（image analysis）、计算机视觉(computer vision)以及数位影像处理(digital image processing)。由RichardDuda和PeterHart在公元1972年发明，并称之为广义霍夫变换(generalizedHoughtransform)，广义霍夫变换和更早前1962年的PaulHough的专利有关。经典的霍夫变换是侦测图片中的直线，之后，霍夫变换不仅能识别直线，也能够识别任何形状，常见的有圆形、椭圆形。1981年，因为DanaH.Ballard的一篇期刊论文"Generalizing the Hough transform to detect arbitrary shapes"，让霍夫变换开始流行于计算机视觉界。霍夫变换是用来辨别找出物件中的特征，例如：线条。他的算法流程大致如下，给定一个物件、要辨别的形状的种类，算法会在参数空间(parameter space)中执行投票来决定物体的形状，而这是由累加空间(accumulator space)里的局部最大值(local maximum)来决定。
二、Hough 变换
一条直线可由两个点
A
=
(
x
1
,
y
1
)
A=(x_1,y_1)
A=(x1,y1)和
B
=
(
x
2
,
y
2
)
B=(x_2,y_2)
B=(x2,y2)确定(笛卡尔坐标)
另一方面，
y
=
k
x
+
b
y=kx+b
y=kx+b也可以写成关于
（
k
,
q
）
（k,q）
（k,q）的函数表达式（霍夫空间）：
{
q
=
−
k
x
1
+
y
1
q
=
−
k
x
2
+
y
2
\left\{ \begin{aligned} q=-kx_1+y_1 \\ q=-kx_2+y_2 \\ \end{aligned} \right.
{q=−kx1+y1q=−kx2+y2
空间变换过程如下图：
变换后的空间成为霍夫空间。即：笛卡尔坐标系中一条直线，对应霍夫空间的一个点。
反过来同样成立（霍夫空间的一条直线，对应笛卡尔坐标系的一个点）：
笛卡尔坐标系中两个点对应霍夫空间两条线：
如果笛卡尔坐标系三个点共线，对应的霍夫空间的三条线相交于一点
霍夫变换的后处理的基本方式：选择由尽可能多直线汇成的点。
但是，按照直角坐标系表示的话会出现下图的情况：当图像空间中点共的线垂直于x轴时，斜率无限大，在霍夫空间无法找到交点。因而，人们最终引入了极坐标的表示法。
极坐标下的霍夫直线检测原理与直角坐标系下完全一致，唯一需要重新推导的是与霍夫空间的极坐标参数函数：
y
=
(
−
c
o
s
θ
s
i
n
θ
)
x
+
r
s
i
n
θ
y=\left(-\frac{cos\theta}{sin\theta}\right)x+\frac{r}{sin\theta}
y=(−sinθcosθ)x+sinθr
化简便可得到:
r
=
x
c
o
s
θ
+
y
s
i
n
θ
r=xcos\theta+ysin\theta
r=xcosθ+ysinθ
如果对于一个给定点
(
x
0
,
y
0
)
(x_0,y_0)
(x0,y0)，意味着每一对
(
r
,
θ
)
(r,\theta)
(r,θ)代表一条通过点
(
x
θ
,
y
θ
)
(x_\theta,y_\theta)
(xθ,yθ)的直线。我们在极坐标对极径极角平面绘出所有通过它的直线, 将得到一条正弦曲线. 例如, 对于给定点
(
x
0
=
8
和
y
0
=
6
)
(x_0= 8 和y_0= 6)
(x0=8和y0=6) 我们可以绘出下图 (在平面):
极坐标与笛卡尔坐标的转换公式，从极坐标转换
(
r
,
θ
)
(r,θ)
(r,θ)在笛卡尔坐标系
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y):
{
x
=
r
c
o
s
θ
y
=
r
s
i
n
θ
\left\{ \begin{aligned} x=rcos\theta \\ y=rsin\theta \\ \end{aligned} \right.
{x=rcosθy=rsinθ
从笛卡儿坐标转换
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y) 到极坐标
(
r
,
θ
)
(r,θ)
(r,θ):
r
=
x
2
+
y
2
θ
=
a
r
c
t
a
n
(
y
/
x
)
r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta=arctan(y/x)
r=x2+y2θ=arctan(y/x)
在极坐标系下，其实是一样的：极坐标的点→霍夫空间的直线，只不过霍夫空间不再是
[
k
,
q
]
[k,q]
[k,q]的参数，而是
(
r
,
θ
)
(r,\theta)
(r,θ)。
三、直线检测
通过上面的介绍可知，画出
x
−
y
x-y
x−y坐标空间中的点在参数空间中对应的曲线，然后计算参数空间中曲线的交点，就能求得待求的参数。但还有一个问题，当参数空间中的曲线存在多个交点时，如何挑选出最有可能的解呢？
具体计算时，可将参数空间划分为所谓的累加单元
A
(
θ
,
ρ
)
A(\theta,\rho)
A(θ,ρ)。如图下图所示，对于
x
−
y
x-y
x−y平面的每一个非背景点
(
x
k
,
y
k
)
(x_k,y_k)
(xk,yk),令
θ
\theta
θ等于每个可取的细分值，根据
θ
=
−
x
k
θ
+
y
k
\theta=-x_k\theta+y_k
θ=−xkθ+yk计算出对应的
ρ
\rho
ρ值，每计算出一组
A
(
θ
,
ρ
)
A(\theta,\rho)
A(θ,ρ)，则令
A
(
θ
,
ρ
)
=
A
(
θ
,
ρ
)
+
1
A(\theta,\rho)=A(\theta,\rho)+1
A(θ,ρ)=A(θ,ρ)+1。计算所有结果后，找到
A
(
θ
,
ρ
)
A(\theta,\rho)
A(θ,ρ)的峰值对应的
θ
\theta
θ和
ρ
\rho
ρ，即可检测直线。
(
θ
m
i
n
,
θ
m
a
x
)
(\theta_{min},\theta_{max})
(θmin,θmax)和
(
ρ
m
i
n
,
ρ
m
a
x
)
(\rho_{min},\rho_{max})
(ρmin,ρmax)是期望的参数范围：
0
ο
≤
θ
≤
18
0
ο
0^\omicron \leq\theta \leq180^\omicron
0ο≤θ≤180ο和
−
D
≤
θ
≤
D
-D \leq\theta \leq D
−D≤θ≤D,
D
D
D是图像对角线的长度。
θ
\theta
θ和
ρ
\rho
ρ的细分数量决定了检测结果的精度。
投票过程可以观看下面的GIF,
左边上青色的点代表图像上的像素点，黄色的代表对各个点不同角度搜索。右半边是投票盘，颜色越浅代表票数越多。
四、代码实现
1.hough检测
def lines_detector_hough(img,ThetaDim=None, DistStep=None, threshold=None, halfThetaWindowSize=2,
halfDistWindowSize=None):
'''
:param img: 经过边缘检测得到的二值图
:param ThetaDim: hough空间中theta轴的刻度数量(将[0,pi)均分为多少份),反应theta轴的粒度,越大粒度越细
:param DistStep: hough空间中dist轴的划分粒度,即dist轴的最小单位长度
:param threshold: 投票表决认定存在直线的起始阈值
:return: 返回检测出的所有直线的参数(theta,dist)和对应的索引值,
'''
row,col= edge.shape
if ThetaDim == None:
ThetaDim = 90
if DistStep == None:
DistStep = 1
# 计算距离分段数量
MaxDist = np.sqrt(row ** 2 + col ** 2)
DistDim = int(np.ceil(MaxDist / DistStep))
if halfDistWindowSize == None:
halfDistWindowSize = int(DistDim /50)
# 建立投票
accumulator = np.zeros((ThetaDim, DistDim)) # theta的范围是[0,pi). 在这里将[0,pi)进行了线性映射.类似的,也对Dist轴进行了线性映射
#
sinTheta = [np.sin(t * np.pi / ThetaDim) for t in range(ThetaDim)]
cosTheta = [np.cos(t * np.pi / ThetaDim) for t in range(ThetaDim)]
#计算距离（rho）
for i in range(row):
for j in range(col):
if not edge[i, j] == 0:
for k in range(ThetaDim):
accumulator[k][int(round((i * cosTheta[k] + j * sinTheta[k]) * DistDim / MaxDist))] += 1
M = accumulator.max()
#---------------------------------------
#非极大抑制
if threshold == None:
threshold = int(M * 1.369/ 10)
result = np.array(np.where(accumulator > threshold)) # 阈值化
#获得对应的索引值
temp = [[], []]
for i in range(result.shape[1]):
eight_neiborhood = accumulator[
max(0, result[0, i] - halfThetaWindowSize + 1):min(result[0, i] + halfThetaWindowSize,
accumulator.shape[0]),
max(0, result[1, i] - halfDistWindowSize + 1):min(result[1, i] + halfDistWindowSize,
accumulator.shape[1])]
if (accumulator[result[0, i], result[1, i]] >= eight_neiborhood).all():
temp[0].append(result[0, i])
temp[1].append(result[1, i])
#记录原图所检测的坐标点（x,y）
result_temp= np.array(temp)
#-------------------------------------------------------------
result = result_temp.astype(np.float64)
result[0] = result[0] * np.pi / ThetaDim
result[1] = result[1] * MaxDist / DistDim
return result,result_temp
2.画直线代码
def drawLines(lines, edge, color=(255, 0, 0), err=3):
'''
:param lines: 检测后的直线参数
:param edge: 原图
:param color: 直线的颜色
:param err:检测的可接受的误差值
:return: 无
'''
if len(edge.shape) == 2:
result = np.dstack((edge, edge, edge))
else:
result = edge
Cos = np.cos(lines[0])
Sin = np.sin(lines[0])
for i in range(edge.shape[0]):
for j in range(edge.shape[1]):
e = np.abs(lines[1] - i * Cos - j * Sin)
if (e < err).any():
result[i, j] = color
plt.imshow(result, cmap='gray')
plt.axis('off')
plt.show()
3.画hough空间代码
def data_img(data):
'''
:param data: 直线上含有的点（x,y）
:return: 输出hough空间图像
'''
fig = plt.figure() # 新建画布
ax = axisartist.Subplot(fig, 111) # 使用axisartist.Subplot方法创建一个绘图区对象ax
fig.add_axes(ax)
ax.axis[:].set_visible(False) # 隐藏原来的实线矩形
ax.axis["x"] = ax.new_floating_axis(0, 0, axis_direction="bottom") # 添加x轴
ax.axis["y"] = ax.new_floating_axis(1, 0, axis_direction="bottom") # 添加y轴
ax.axis["x"].set_axisline_style("->", size=1.0) # 给x坐标轴加箭头
ax.axis["y"].set_axisline_style("->", size=1.0) # 给y坐标轴加箭头
t = np.arange(-np.pi / 2, np.pi / 2, 0.1)
ax.annotate(text='x', xy=(2 * math.pi, 0), xytext=(2 * math.pi, 0.1)) # 标注x轴
ax.annotate(text='y', xy=(0, 1.0), xytext=(-0.5, 1.0)) # 标注y轴
for i in range(data.shape[1]):
rho = data[0][i] * np.cos(t) + data[1][i] * np.sin(t)
plt.plot(t, rho)
plt.show()
4.检测结果
点击这里可以下载检测图片
全部代码可见本人GitHub仓库,如果代码有用，please click star
hough检测之前需要canny算子检测基础的边缘，点击这里可以查看有关canny算法相关内容文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-605866.html
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