【数据结构】| 王道考研——树的前世今生-Toy模板网

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一. 🦁 前言

根据王道考研数据结构总结出的知识点，以下是文章整体大纲：

【数据结构】| 王道考研——树的前世今生,面经系列,数据结构,考研

二. 🦁 各种树的知识点

1. 树

1.1 概念

树是n个结点的有限集合，n = 0时称为空树，这是一种特殊情况。任意一棵非空树中应满足：

有且仅有一个特定的称为根的节点
当n>1时，其余结点可分为m个互不相交的有限集合T1、T2、T3……Tm；每个集合又称为根结点的子树。

1.2 属性

结点的深度：从上往下数；
结点的高度：从下往上数；
树的高度：总共多少层
结点的度：有几个孩子
树的度：树中结点的度的最大值

1.3 常考性质

结点数 = 总度数+1
度为m的树和m叉树

度为m的树是一定存在一个结点，它的度为m，且树非空；m叉树是指任意结点的度≤m，可以为空；

度为m的树第i层至多有m的i-1次方个结点（i>=1）
高度为h的m叉树至少有h个结点；高度为h，度为m的树至少有h+m-1个结点。

1.4 树转换成二叉树

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树转换成二叉树的画法:

在兄弟结点之间加一条线；
对每个结点，只保留它与第一个孩子的连线，抹去与其他孩子的连线；
以树根为轴心，顺时针旋转 45°

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1.5 森林转换为二叉树

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森林转换成二叉树的画法:

将森林中的每棵树转换成相应的二叉树
每棵树的根也可视为兄弟结点，在每棵树之间加一根连线
以第一棵树的根为轴心顺时针旋转 45°

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1.6 二叉树转换为森林

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就是将森林转换为二叉树的逆做法

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1.7 树的遍历

树的遍历: 用某种方式访问树中的每个结点，且仅访问一次

先序遍历：先根后子树

后根遍历：先子树后根

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先根遍历序列为：ABEFCDG 对应二叉树中的先序遍历

后根遍历序列为：EFBCGDA 对应二叉树中的中序遍历

1.8 森林的遍历

先序遍历：先根后子树

中序遍历：先子树后根

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先序遍历序列为：ABCDEFGHI 对应二叉树的先序遍历

中序遍历序列为：BCDAFEHIG 对应二叉树的中序遍历

2. 二叉树

二叉树是n个结点的有限集合；

2.1满二叉树

一棵高度为h，且含有2的h次方-1个结点的二叉树；

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特点：

只有最后一层有叶子结点；
不存在度为1的结点；
按层序从1开始编号，结点为i的左孩子结点为2i；右孩子为2i+1；结点i的父结点为i/2;

2.2 完全二叉树

当且仅当每个结点都与高度为h的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应时，称为完全二叉树；

特点：

只有最后两层可能有叶子结点；
最多只有一个度为1的结点；
i ≤ n/2为分支结点，i ＞ n/2为叶子结点；
如果一个完全二叉树某结点只有一个孩子，则这个一定是左孩子；

2.3二叉排序树

左子树的所有结点均小于根结点；
右子树的所有结点均大于根结点；
左子树和右子树又各是一棵二叉排序树

2.4 平衡二叉树

树上任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1；

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2.5 二叉树常考性质

设非空二叉树中度为0、度为1、度为2的结点个数分别为n0、n1、n2，则n0 = n2 +1（叶子结点永远比二分支结点多一个）；

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2.6 二叉树存储结构

1. 顺序存储

使用数组实现顺序存储。一定要把二叉树的结点编号与完全二叉树对应起来。

i 的左孩子 — 2i+1
i 的右孩子 — 2i+2
i 的父节点 — 『(i-1）/2』

2. 链式存储

struct ElemType{
	int value;
}

typedef struct BiTNode{
	ElemType data;		//数据域
	struct BiTNode *lchild;		//左孩子指针
	struct BiTNode *rchild;		//右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;

假设二叉树有n个结点，那么一定会有2n个指针，共有n+1个空链域；

二叉树操作：

// 定义一棵空树
BiTree root = null;
// 插入根节点
root = (BiTree) malloc(sizeof(BiTNode));
root->data = {1};
root->lchild = NULL;
root->rchild = NULL;

//插入新结点
BiTNode * p = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode));
p->data = {2};
p->lchild = NULL;
p->rchild = NULL;
root->lchild = p;		//作为根节点的左孩子

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2.7二叉树的遍历

1. 先序遍历

先序遍历(preOrder)的操作过程如下：

若二叉树为空，则什么也不做

若二义树非空:

访问根结点
先序遍历左子树
先序遍历右子树

void preOrder(BiTree root){
	if(root != null){
		visit(root);			//访问根节点操作
		preOrder(root->lchild);
		preOrder(root->rchild);
	}
}

void preOrder(BiTree root){
	if(root != null){
		visit(root);			//访问根节点操作
		preOrder(root->lchild);
		preOrder(root->rchild);
	}
}

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如下：每个结点都会被访问三次。

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2. 中序遍历

中序遍历(inOrder)的操作过程如下：

若二叉树为空，则什么也不做
若二义树非空:
- 中序遍历左子树
- 访问根结点
- 中序遍历右子树

void inOrder(BiTree root){
	if(root != null){
		inOrder(root->lchild);
        visit(root);			//访问根节点操作
		inOrder(root->rchild);
	}
}

3. 后序遍历

后序遍历(postOrder)的操作过程如下：

若二叉树为空，则什么也不做
若二义树非空:
- 后序遍历左子树
- 后序遍历右子树
- 访问根节点

void postOrder(BiTree root){
	if(root != null){
		postOrder(root->lchild);
		postOrder(root->rchild);
        visit(root);			//访问根节点操作
	}
}

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应用：求树的深度

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4. 层序遍历

算法思想：

初始化一个辅助队列
根结点入队
若队列非空，则队头结点p出队，访问p，并将其左右孩子插入队尾(如果有的话)
重复步骤3，直到队列为空。

// 层序遍历

void levelOrder(BiTree root){
	LinkQueue queue;			
	InitQueue(queue);			//初始化队列
	BiTree p;
	enQueue(root);				//根节点入队
	while(!isEmpty(queue)){		//队列不为空则循环
		deQueue(queue,p);		//队头结点出队
		visit(p);
		if(p->lchild != NULL) enQueue(queue,p->lchild);
		if(p->rchild != NULL) enQueue(queue,p->rchild);
	}
}

队列定义如下：

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3. 线索二叉树

4. 哈夫曼树与哈夫曼编码

权: 树中结点常被赋予一个代表某种意义的数值；

结点带权路径长度: 从树的根到任意结点的路径长度与该结点上权值的乘积；

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哈夫曼树: 带权路径长度最小的二叉树

4.1 哈夫曼树的构造

构造哈夫曼树的步骤：

将所有结点分别作为仅含一个结点的二叉树；
构造一个新结点，从中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左、右子树，并且将新结点的权值置为左、右子树上根结点的权值之和；（意思即 每次找出两个权值最小的组成一棵二叉树）
从中删除刚才选出的两棵树，同时将新得到的树加入森林中；
重复步骤(2) 和 (3)，直至剩下一棵树为止

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求哈夫曼编码就是在哈夫曼树的基础上将左子树的路径变成0，右子树的路径变成1，如下：

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a的哈夫曼编码为：011

b的哈夫曼编码为：10

c的哈夫曼编码为：00

d的哈夫曼编码为：010

e的哈夫曼编码为：11

ecabcbbe
WPL = 5×2 + 2×3 + 4×3 + 7×2 + 9×2

5. 并查集

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5.1 初始版本

public class unionFind{
	// 初始化并查集
	public void init(int[] nums){
		Arrays.fill(nums,-1);
	}
	// 查操作：找x所属集合，返回x所属根节点
	int find(int[] nums,int x){
		while(s[x] >= 0){
            x = s[x];
        }
        return x;
	}
	// 并操作：将两个集合合并为一体
	public void union(int[] nums,int rootX,int rootY){
		if(rootX == rootY) return;
		nums[rootY] = rootX;
	}
}

5.2 优化版本

public class unionFind{
	// 初始化并查集
	public void init(int[] nums){
		Arrays.fill(nums,-1);
	}
    
	 /**
     * 并操作：使用根节点记录树的节点数目，让小树合并到大树上
     * 该方法构造的树高不超过log2n]+1
     * @param s
     * @param x
     * @param y
     */
	public void union(int[] nums,int x,int y){
        int root1 = find(nums,x);
        int root2 = find(nums,y);
		if (root1 == root2) return;
        if(s[root2]>s[root1]){      //root2节点更少（负数）
            s[root1] += s[root2];   //将小树的根节点数目加到大树根节点上
            s[root2]  = root1;      //小树合并到大树
        }else{
            s[root2] += s[root1];
            s[root1] = root2;
        }
	}
    /**
     * 查操作：压缩路径
     * @param s
     * @param x
     * @return
     */
    int find1(int[] s,int x){
        int root = x;
        while(s[root] >= 0) root = s[root];     //循环找到根节点
        while (x != root){      //压缩路径
            int t = s[x];       //t指向x的父节点
            s[x] = root;        //x直接挂到根节点下
            x = t;
        }
        return root;
    }
}