线性代数(主题篇)：第三章:向量组 、第四章:方程组

第3章 n维向量

1.概念

$\S 3$ 向量组 $\{\begin{array}{l}①部分相关，整体相关\\ ②整体无关，部分无关\\ ③低维无关，高维无关\\ ④高维相关，低维相关\end{array}$

(1)n维向量

α = ( a 1 a 2 a 3 . . . a n ) , α T = ( a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n ) α=\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ ...\\ a_n \end{array}\right),α^T=(a_1,a_2,a_3,...,a_n) α= ​a1​a2​a3​...an​​ ​,αT=(a1​,a2​,a3​,...,an​)

(2)n维非零列向量的性质

1.若$\alpha$为非零列向量，则：
(1) $\alpha {\alpha }^T$是秩一矩阵   【证明：$r(\alpha {\alpha }^T)\le r(\alpha )=1$】

(2) $\mathrm{tr}(\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}})={\alpha }^{\mathrm{T}}\alpha$   【若$\alpha$为单位列向量，则$\mathrm{tr}(\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}})={\alpha }^{\mathrm{T}}\alpha =1$】

(3)$\alpha {\alpha }^T$的特征值为$\mathrm{tr}(\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}})={\alpha }^{\mathrm{T}}\alpha ,0,0$，即 α ⋅ α T ∼ ( t r ( α α T ) 0 . . . 0 ) α·α^T\sim\left(\begin{array}{cc} \rm tr(αα^T) & & \\ & 0 & \\ & & ...\\ & & & 0 \end{array}\right) α⋅αT∼ ​tr(ααT)​0​...​0​ ​

2.对任意非零列向量 α,β，有以下性质：
① $\mathrm{r}(\beta {\alpha }^{\mathrm{T}})=\mathrm{r}(\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}})=\mathrm{r}(\beta {\beta }^{\mathrm{T}})=1$   【2013年21(2)】
② $\mathrm{tr}(\beta {\alpha }^{\mathrm{T}})={\alpha }^{\mathrm{T}}\beta$，$\mathrm{tr}(\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}})={\alpha }^{\mathrm{T}}\alpha ，\mathrm{tr}(\beta {\beta }^{\mathrm{T}})={\beta }^{\mathrm{T}}\beta$

例题1：17年5.

分析：A不可逆 ⇦⇨ A有零特征值
∵α为单位列向量 ∴$tr(\alpha {\alpha }^T)={\alpha }^T\alpha =1$
又∵$r(\alpha {\alpha }^T)\le r(\alpha )=1$ ∴$\alpha {\alpha }^T$的特征值为 $tr(\alpha {\alpha }^T)$,0,0,…，即1,0,0,…

而单位矩阵E的特征值为：1,1,1,…

由特征值的性质：设$f(x)$为多项式，若${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$为A的特征值，则$f({\lambda }_1),f({\lambda }_2),...,f({\lambda }_n)$为$f(A)$的特征值

则
A：$E-\alpha {\alpha }^T$的特征值为 (1,1,1)-(1,0,0)=0,1,1
B：$E+\alpha {\alpha }^T$的特征值为 (1,1,1)+(1,0,0)=2,1,1
C：$E+2\alpha {\alpha }^T$的特征值为 (1,1,1)+(2,0,0)=3,1,1
D：$E-2\alpha {\alpha }^T$的特征值为 (1,1,1)-(2,0,0)= -1,1,1

可见，A：$E-\alpha {\alpha }^T$有零特征值，不可逆

答案：A

例题2：09年13.

分析：
∵$r(\beta {\alpha }^T)=1$
∴$\beta {\alpha }^T$的特征值为$tr(\beta {\alpha }^T)，0，0$
而$tr(\beta {\alpha }^T)={\alpha }^T\beta =2$

答案：2

例题3：2013年21(2)

例题4：08年20.

例题5：24李林六(六)21.

2.向量、向量组的的线性关系(线性相关性)

(1)线性表示 ：AX=β

若存在常数$k_1,k_2,...,k_s,$使得$\alpha =k_1{\beta }_1+k_2{\beta }_2+...+k_s{\beta }_s，$则称向量$\alpha$是向量组${\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_s$的线性组合，或称向量$\alpha$可被向量组${\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_s$线性表示(线性表出)

哪个向量前面的系数不为0，这个向量就可以被其余向量线性表示

例题1：03年10.

答案：D

例题2：数二 21年9.   线性表示

分析：

答案：D

(2)线性相关、线性无关： AX=0

①线性相关

1.定义：设向量组α₁,α₂,…,α_s，若存在不全为0的数k₁,k₂,…,k_s，使 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_s{\alpha }_s=0$，则称向量组α₁,α₂,…,α_s线性相关

2.线性相关的充要条件：α₁,α₂,…,α_s中至少有一个向量可以被其他向量线性表示

线性相关的向量组中，系数不为0的向量，可由其他向量线性表示

3.线性相关的等价条件：
⇦⇨ 至少有一个向量可由其余n-1个向量线性表出

4.通过初等变换，无关 可变 相关，但 已相关 不可回 无关

5.含有零向量或成比例向量的向量组，必线性相关
显然，若向量组中有零向量，则向量组线性相关。(可取零向量α₀的系数k₀为任意非零常数，破坏了线性无关的定义。)
即含有零向量的向量组线性相关。
本来线性无关的向量组，加入一个零向量，它们就线性相关了。可见零向量就是一个润滑剂

②线性无关

1.定义：设向量组α₁,α₂,…,α_s，若仅存在全为0的数 k₁,k₂,…,k_s，使k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0，则称向量组α₁,α₂,…,α_s线性无关

2.推论：设向量组α₁,α₂,…,α_s线性无关，但向量组α₁,α₂,…,α_s,β线性相关。则向量β可由向量组α₁,α₂,…,α_s线性表示，且表示法唯一。

3.线性无关的等价条件：
①线性无关的定义
②行列式$|A|\ne 0$
③A可逆
④满秩：r(A)=n
⑤AX=0仅有零解
⑥向量组不成比例

③线性相关性7大定理

1.线性相关 ⇦⇨ 至少有一个向量可由其余n-1向量线性表出
线性无关 ⇦⇨ 任一向量均不能由其余n-1个向量线性表出

2.原来无关，加一个相关，则新加的可被原向量组 唯一线性表示

证明：

非0不可由0表示：若向量α第k行非0，其他向量第k行均为0，则α不可由其他向量线性表示
0向量可由非0向量表示：零向量 = 0×非零向量

3.以少表多，多的相关、秩多的可以表示秩少的

高维空间可表示低维空间，反之不可 【秩多的可以表示秩少的】

4.Ax=0 仅有零解，A线性无关；有非零解，A线性相关

向量：个数与维数

5个4维向量：一定线性相关
2个4维向量：可能相关，可能不相关。
①若向量组线性无关：则个数≤维数
②若个数＞维数：一定线性相关

①n<m：必相关
Ⅰ.方程个数<未知数个数，即个数>维数，则线性相关。
Ⅱ.n维向量空间，若向量组线性无关，最多只能有n个向量。即个数≤维数。 (逆否命题)

个数≤维数，相关或无关 不一定。

②n=m：看行列式

③n>m：见定理6、7 + 方程组结论

5.①β可由向量组α₁,α₂,…,α_m线性表出 ⇦⇨ A_n×mx = β 有解 ⇦⇨ r(A)=r(A,β)
②β不可由向量组α₁,α₂,…,α_m线性表出 ⇦⇨ A_n×mx = β 无解 ⇦⇨ r(A)≠r(A,β)

6.向量个数的增减：
①部分相关，整体相关。
②整体无关，部分无关。

7.维数的增减：
①原来无关，延长必无关 【低维无关，高维无关】
②原来相关，缩短必相关 【高维相关，低维相关】

④例题：线性相关、线性无关

例题7：24李林六(四)6.   线性无关的定义

分析：
方法一：直接法

方法二：特殊值

答案：D

例题2：20年21.

例题3：24李林六(一)21.

例题4：12年05.

分析：
法一：线性相关的充要条件：线性相关⇦⇨行列式=0
∵|α₁,α₃,α₄|=0，∴α₁、α₃、α₄线性相关

法二：线性相关的充分条件：线性相关⇨成比例
∵α₃+α₄=(0,0,c₃+c₄)^T，与α₁成比例，∴α₁、α₃、α₄线性相关

答案：C

例题5：06年11.

分析：
若已经相关了，则初等变换后依然相关，不能再变回无关了。（若变换后是无关，则变换前肯定也得是无关）
若本来无关，通过变换可能相关。

答案：A

例题6：06年11.真题的变式

答案：C

例题7：14年6.   线性无关、必要性与充分性

分析：
①必要性成立，是必要条件

②充分性不成立，是非充分条件（若向量组中有一个零向量，则该向量组线性相关）

答案：A

例题8：张宇30讲 例题3.6   抽象型向量组的线性相关性，用定义法

答案：

3.极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩

1.极大线性无关组

(1)概念
①线性无关
②向量组中任意向量均可由极大线性无关组线性表出

(2)性质
①极大线性无关组一般不唯一，但其成员个数是唯一的。极大线性无关组是该向量组的最简小组
②向量组的秩：①极大线性无关组中成员的个数 ②向量组中线性无关的向量个数 ③秩为该向量组所张成的向量空间的维数

(3)找极大线性无关组的步骤
①将列向量们组成矩阵A，作初等行变换化为行阶梯形矩阵，确定r(A)
②按列找出其中一个秩为r(A)的子矩阵，即为一个极大线性无关组

2.向量组等价

1.矩阵等价：①同型 ②秩等:r(A)=r(B)
向量组等价：①同维 ②三秩相等:r(A)=r(B)=r(A,B) ，即两个向量组可以相互线性表出

2.初等行变换 $\iff$ 行向量组等价 $\iff$ 同解方程组 $\iff$ $r(A)=r(B)=r\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{A}{B}\right)$
A经初等列变换得到B $\iff$ 列向量组等价 $\iff$ 矩阵方程 $AX=B$有解 $\iff$ $r(A)=r(A,B)$

例题1：24李林六(五)6.   向量组等价：相互线性表出

分析：

答案：B

例题2：13年5.   初等行变换：行向量组等价；初等列变换：列向量组等价

分析：
B可逆，AB=C即 A做初等列变换得到C。故A与C的列向量组等价

答案：B

例题3：23李林四(一)5.   初等行变换：行向量组等价；初等列变换：列向量组等价

分析：
初等行变换 $\iff$ 行向量组等价 $\iff$ 同解方程组
A经初等列变换得到B $\iff$ 列向量组等价 $\iff$ 矩阵方程 $AX=B$有解 $\iff$ $r(A)=r(A,B)$

A.B.初等列变换 $\iff$ 列向量组等价。A❌B✔
C.同解方程组是行向量组等价。C❌
D.初等变化不改变矩阵的秩，但可能改变矩阵的特征值和行列式。D❌

答案：B

例题4：00年9.

分析：
D.矩阵A满秩，则矩阵B满秩的充要条件是，矩阵A与矩阵B等价，则型同秩等。B也满秩。D✔
C.向量组等价，还多余一个可以相互线性表出的条件，是充分非必要条件。

举例：

答案：D

3.向量组的秩

1.向量组的秩的概念：
①向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_s$ 的极大线性无关组 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},...,{\alpha }_{i_r}$ 中所含向量的个数r 为 向量组的秩，记作 $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_s)=r$
②向量组中线性无关的向量个数
③秩为该向量组所张成的向量空间的维数

2.性质：
①矩阵的秩 = 行秩 = 列秩 (三秩相等)
②秩大的表示秩小的，可被线性表出的秩小

4.向量空间

(1)向量空间的概念

过渡矩阵、坐标、基、维数
①维数：${\mathrm{R}}^n$ 指n维向量空间，由n个线性无关的n维向量张成。
n维向量空间，秩为n：
①秩为n的向量组，可以表示n维向量空间中的一切向量。
②反之，若某向量组不能表示该向量空间中的某一向量，则该向量组不满秩，秩＜n。

例如，3维向量空间秩为3。即任一秩为3的向量组，可以表示该向量空间中的一切向量。
若有一向量，不能被向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$表示，则$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)<3$

②基：证明向量组为R³的基，只需要证明向量组中各向量线性无关
③过渡矩阵：$AP=B$，则 过渡矩阵 $P=A^{-1}B$
④坐标：向量 = 坐标·基

基变换、过渡矩阵

坐标变换

(2)基

向量空间的基的2个必要条件：设V为向量空间，若r个向量α₁,α₂,…,α_r∈V，且满足
(1)α₁,α₂,…,α_r线性无关 【证明向量组为R³的基，只需要证明向量组中各向量线性无关】
(2)V中任意向量都可由α₁,α₂,…,α_r线性表示
则向量组α₁,α₂,…,α_r称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间

基的概念类似极大线性无关组、基础解系
若把向量空间V看作向量组，则由极大线性无关组的等价定义可知，V的基就是向量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。

例题1：15年20(1)

(3)基变换的过渡矩阵

求A基到B基的过渡矩阵：（原基 右乘列变换 到新基）
$AP=B$，则过渡矩阵 $P=A^{-1}B$

小技巧： $(A|B)\to (E|A^{-1}B)=(E|P)$

例题1：03年4.

分析：

答案：$\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right)$

例题2：24李林四(四)15.

分析：

答案：

例题3：880 向量 基础填空3

答案：

例题4：19年20.

分析：
(2)①证明3个向量是R³的基，只需证明它们线性无关 [向量的基线性无关]
②求A基到B基的过渡矩阵：
AP=B，则过渡矩阵 P=A^-1B

答案：

(4)向量在基下的坐标

向量 = 坐标·基 （或 向量 = 基·坐标 ）
β = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ⋅ ( α 1 α 2 α 3 ) = x 1 α 1 + x 2 α 2 + x 3 α 3 β =(x_1,x_2,x_3)·\left(\begin{array}{c} α_1 \\ α_2 \\ α_3 \end{array}\right)=x_1α_1+x_2α_2+x_3α_3 β=(x1​,x2​,x3​)⋅ ​α1​α2​α3​​ ​=x1​α1​+x2​α2​+x3​α3​

即 $\beta =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3$

例题1：880 向量 基础填空2

分析：
$\beta =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3$

( 2 0 0 ) = x 1 ( 1 1 0 ) + x 2 ( 1 0 1 ) + x 3 ( 0 1 1 ) = ( x 1 + x 2 x 1 + x 3 x 2 + x 3 ) \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)=x_1\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) +x_2\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)+x_3\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_1+x_2 \\ x_1+x_3 \\ x_2+x_3 \end{array}\right) ​200​ ​=x1​ ​110​ ​+x2​ ​101​ ​+x3​ ​011​ ​= ​x1​+x2​x1​+x3​x2​+x3​​ ​

解得：$x_1=1,x_2=1,x_3=-1$，即坐标为 $(x_1,x_2,x_3)=(1,1,-1)$

答案：$(1,1,-1)$

例题2：24李林六(一)15、23李林四(二)15.

分析：

答案：$(\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$

例题3：15年20.

分析：
(1)证明向量组是R³的一个基，只需要证明向量组线性无关
(2)坐标

5.空间直线

直线的点向式方程、直线的参数方程、向量形式、线性表示

例题1：20年6.

分析：两线交于一点，故它们的方向向量 ${\alpha }_1$和${\alpha }_2$ 不共线，从而 ${\alpha }_1$与${\alpha }_2$线性无关。∴${\alpha }_3$可由${\alpha }_1,{\alpha }_2$线性表示。由空间直线的参数式方程，得${\alpha }_3=t{\alpha }_1+(1-t){\alpha }_2$。选C

答案：C

例题2：1998年4.   |A|≠0 $\iff$ 交于一点

分析：
r(A)=3，|A|≠0，三线相交与一点

答案：A

例题3：660 T640

分析：
r(A)=3，|A|≠0，两线相交与一点

答案：A

例题4：24李林六(六)6.   $r(A)=2\iff$ 共线

分析：
r(A)=3：|A|≠0，三线交于一点
r(A)=2：|A|=0，共线
r(A)=1：|A|=0，三点重合

答案：D

例题5：24李林四(三)6.

分析：
三个不同点，则r(A)＞1，排除AD
不能判断三点是否共线。若三点共线，则r(A)=2；若三点不共线，则r(A)=3

答案：C

第4章 线性方程组

(一)具体型线性方程组

1.齐次线性方程组 Ax=0

1.齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$：m为方程个数，n为未知数个数。m<n时就有自由变量

2.齐次方程组的解x：是与系数矩阵A的行向量都正交的n维向量

例题1：880 向量 综合选择5

分析：
$B=({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3,{\beta }_4)$与4维列向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$都正交，则${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为齐次方程组$BX=0$的解。
∴$s=n-r(B)$，即 $3=4-r(B)$，∴$r(B)=r({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3,{\beta }_4)=1$

答案：A

例题2：18年20.(1)

(1)有解的条件：齐次线性方程组解的判别

A_m×nX=0，齐次必然有解。
①$r(A)=n$ (${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$线性无关)：仅有唯一零解。
②$r(A)<n$ (${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$线性相关)：零解和无穷多个非零解 。且有n-r个线性无关解 (用这n-r个线性无关解，来表示这无穷多个解)   [n为矩阵A的列数，即未知数的个数]

$Ax=0$的无穷多解是一个“解空间”，用$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+...,k_{n-r}{\xi }_{n-r}$表示（s=n-r）

(2)解的性质：齐次解的性质

解的叠加性：解的线性组合也是解

(3)基础解系、通解的结构

①基础解系

1.基础解系的定义：
设${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_{n-r}$满足
①均是方程组$Ax=0$的解
②线性无关
③方程组$Ax=0$的任一解向量均可由${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_{n-r}$线性表出
则称 ${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_{n-r}$ 为 $Ax=0$ 的一个基础解系。
基础解系是齐次方程组 $Ax=0$ 的解向量集合的极大线性无关组。

2.基础解系的求法：见(4)求解方法与步骤的前三步

3.定理：
设A是m×n矩阵，若 $r(A)=r<n$，则齐次线性方程组 $AX=0$ 存在基础解系，并且基础解系由 $n-r$ 个线性无关的解向量构成

s=n-r：基础解系中线性无关的解向量的个数 = 自由变量的个数

②通解的结构

(1)齐次
①先求出$n-r(A)$个线性无关的基础解系
②每一个基础解系前面加一个$k_i$，基础解系的线性组合即为齐次线性方程组的通解。
则齐次方程组的通解为：$X=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+k_3{\xi }_3+...k_{n-r}{\xi }_{n-r}$

(2)非齐次
若非齐次方程组$AX=\beta$的特解为$\beta$，则非齐次方程组的通解为：$X=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+k_3{\xi }_3+...+...+k_{n-r}{\xi }_{n-r}+\beta$

通解形成“s维解空间”，s=n-r

③自由变量

(1)谁是自由变量：化行阶梯/行最简矩阵时，不在直角边上的$x_i$为自由变量

(2)自由变量/线性无关的解向量的个数：$n-r(A)$

(3)自由变量的设置：
①1个自由变量：1
②2个自由变量：$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)$

③3个自由变量： ( 1 0 0 ) \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) ​100​ ​， ( 0 1 0 ) \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) ​010​ ​， ( 0 0 1 ) \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) ​001​ ​

例题1：14年20

分析：
(2)A_3×4B_4×3=E_3×3
由于A和B都不是方阵，故AB都不可逆，更没有行列式。
考虑拆分，B=(b₁,b₂,b₃)，E=(e₁,e₂,e₃)。则AB=E被拆成Ab₁=e₁,Ab₂=e₂,Ab₃=e₃

b_i=k_iξ+特解，k为任意常数

(4)求齐次方程组Ax=0的通解 (解齐次线性方程组)

①求基础解系
②齐次通解 = $k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+...+k_n{\xi }_n$

2.基础解系(前3步)、通解求法：
①把A化为行阶梯/行最简矩阵 (方程组经初等行变换转化为同解方程组)

②找出一个秩为r=r(A)的子矩阵，基础解系为s=n-r个，把n-r(A)个$x_i$设为自由变量。(有同阶的才能设为自由变量)
(例如n=5，r(A)=3，s=n-r=5-3=2，基础解系有2个成员${\xi }_1,{\xi }_2$
设$x_4,x_5$为自由变量，则${\xi }_1,{\xi }_2$的最后两维：(1,0) (0,1)，即${\xi }_1=(,,1,0{)}^T,{\xi }_2=(,,0,1{)}^T$。

线性无关的解向量的个数为n-r

③根据行阶梯/行最简矩阵，由最后一行倒着开始求其余变量的值，直至第一行，求出一个解向量${\xi }_1$；再从最后一行开始求，得到第二个解向量${\xi }_2$；直至求完所有解向量${\xi }_{n-r}$

④齐次线性方程组的通解为：$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+...+k_{n-r}{\xi }_{n-r}$

例题1：19年13.   解齐次线性方程组 (求齐次线性方程组的通解)

分析：

答案： k ( 1 − 2 1 ) k\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) k ​1−21​ ​，k为任意常数

2.非齐次线性方程组 Ax=β

非齐次线性方程组 A_m×nx=β，可组合成AX=B

①方程组形式：$AX=\beta$
②向量形式：

①方程组的解 $x_1,x_2,...x_n$，就是向量与向量之间的表示系数
②齐次线性方程组Ax=0，称为非齐次线性方程组Ax=β的导出组

(1)非齐次线性方程组有解的条件

对于 非齐次线性方程组 Ax=β：

例题1：880 线性方程组 综合选择3

分析：Ax=0有无穷多解⇦⇨$r(A)=r(A|b)<n$
A.未提及$r(A)=r(A|b)$，不一定有解。A❌
B.Ax=0有非零解⇦⇨$r(A)<n$，未提及$r(A)=r(A|b)$，不一定有解。B❌
D.A的列向量组线性相关⇦⇨$r(A)<n$，未提及$r(A)=r(A|b)$，不一定有解。D❌
C.必要性：显然，有无穷解必然有两个不同解
充分性：设x₁,x₂为Ax=b的两个不同解，则x₁-x₂≠0。则A(x₁-x₂)=0有非零解。r(A)<n。
又∵有解，∴r(A)=r(A|b)
综上，r(A)=r(A|b)<n

答案：C

(2)解的性质：非齐次解的性质

(3)求非齐次方程组Ax=b的通解

①(A,b)化简，得方程组
②求齐次方程组Ax=0通解：令自由变量为 (1,0) (0,1)等，求出齐次方程组的基础解系，进而求齐次方程组的通解 $k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+...k_{n-r}{\xi }_{n-r}$
③求非齐次方程组Ax=b特解：令自由变量均=0 【等式右边为自由项${\beta }_i$。从最后一行开始，代入求解，直至第一行】
④非齐通解 = 齐次通解 + 非齐次特解

例题1：880 方程组 基础解答1

答案：

例题2：10年20.(Ⅱ)   求非齐次线性方程组的通解

分析：
求非齐次特解：令自由变量均为0

例题3：17年20.

分析：
(Ⅱ)求解非齐次线性方程组的通解：齐次通解 + 非齐次特解

例题4：09年20.(Ⅰ)   非齐次线性方程组的求解

例题5：12年20(2)

分析：
(2)Ax=β有无穷多解，则$r(A)=r(\bar{A})<n$，即r(A)<n，即 |A|=0

化为行最简后，先求齐次解Ax=0得基础解系ξ=(1,1,1,1)^T。特解即为此时的β’=(0,-1,0,0)^T。通解X=kξ+β’=k(1,1,1,1)^T+(0,-1,0,0)^T，k为任意常数

例题6：13年20.

分析：设$C=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ x_3& x_4\end{array}\right)$，由AC-CA=B得出含x的方程组，写为系数矩阵D的增广矩阵$\bar{D}$，化为行最简矩阵。这时就可以通过非齐次线性方程组解的判别条件$r(D)=r(\bar{D})$来求a，b的值了。求出后把a,b代入$\bar{D}$，求出齐次方程组的基础解析 ξ 1 = ( 1 − 1 1 0 ) ξ_1=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) ξ1​= ​1−110​ ​， ξ 2 = ( 1 0 0 1 ) ξ_2=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) ξ2​= ​1001​ ​,非齐次通解X= ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ( 1 0 0 0 ) \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right)=k_1ξ_1+k_2ξ_2+\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) ​x1​x2​x3​x4​​ ​=k1​ξ1​+k2​ξ2​+ ​1000​ ​

∴$C=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ x_3& x_4\end{array}\right)$=…

例题7：23李林六套卷(二)15.

分析：β不能由α₁,α₂,α₃线性表示，即非齐次线性方程组无解，$r(A)\ne r(A,\beta )$

答案：0

例题8：880 方程组 基础解答2   含参方程组

分析：
含参方程组：若A为n×n方阵，先令|A|=0，求出参数。不为参数时，|A|≠0，有唯一解。|A|=0时，无穷多解或无解。

答案：

例题9：880 方程组 基础解答7   凑

答案：

例题10：880 方程组 基础解答6   $A_{11}\ne 0$，则 $r(A)\ge n-1$

答案：
解法一(李林)：

解法2(喻老)：

例题11：880 方程组 综合解答1   用非齐次的解，代入+组合，凑出齐次的解

答案：

(4)非齐次线性方程组的几何意义

(1) 3个方程代表3个平面，三平面共同交点个数代表方程组解的个数
①$r(A)=r(\bar{A})=1$：三个平面重合
②$r(A)=r(\bar{A})=2$：三个平面交于一条直线
③$r(A)=r(\bar{A})=3$：三个平面交于一点
④$r(A)=2，r(\bar{A})=3$：两两平面交于一条直线，三平面无共同交点

(2) 3个方程代表3条直线，交点代表解的个数

平面互异：不重合

例题1：02年10.   系数矩阵秩、增广矩阵秩 用空间中的平面表示

分析：
A.三个平面只有一个交点，方程组有唯一解，$r(A)=r(\bar{A})=3$。A❌
B.三个平面相较于同一条直线，即方程组有无穷多个解，$r(A)=r(\bar{A})=2<3$。B✔
C.两两相交，互不平行：$r(A)=2，r(\bar{A})=3$。 C❌
D.两平面平行，第三个平面与这两个平行平面分别相交：$r(A)=2，r(\bar{A})=3$。D❌

答案：B

例题2：19年6.

分析：
两两相交，互不平行：$r(A)=2，r(\bar{A})=3$

答案：A

例题3：880 方程组 综合选择4

分析：三平面交于一条直线，有解且有无穷多解，r(A)=r(A|b)<n。排除BC。
D的情况，r(A)=r(A|b)=1是三平面重合。

答案：A

例题4：23李林六套卷(三)7.

分析：3个平面相较于一条直线，则有无穷多个交点，则$r(A)=r(\bar{A})<3$
A ˉ = ( 1 1 b ∣   3 2 a + 1 b + 1 ∣   7 0 1 − a 2 b − 1 ∣   0 ) \bar{A}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 & b &| \ 3 \\ 2 & a+1 & b+1 &| \ 7 \\ 0 & 1-a & 2b-1 &| \ 0\\ \end{array}\right) Aˉ= ​120​1a+11−a​bb+12b−1​∣ 3∣ 7∣ 0​ ​
显然，第三行要为全0，则a=1,b=1/2

答案：B

例题5：

分析：

答案：D

3.矩阵方程 AX=B

解矩阵方程AX=B：
将(A,B)化为行最简 (A’,B’)，则AX=B等价于A’X=B’。
求方程组A’x=0的基础解系、通解 x₁ x₂ x₃，则X = (x₁ x₂ x₃)

若解AP=B，要求P可逆，则求|P|≠0，对k₁ k₂ k₃做出限制

例题1：18年21.

分析：
(Ⅰ)矩阵A可经初等列变换化为矩阵B ⇦⇨ 列向量组等价 ⇦⇨ 矩阵方程AX=B有解 ⇦⇨ r(A)=r(A,B)
(Ⅱ)解矩阵方程AX=B：
将(A,B)化为行最简 (A’,B’)，则AX=B等价于A’X=B’。
求方程组A’x=0的基础解系、通解 x₁ x₂ x₃，则X = (x₁ x₂ x₃)

若解AP=B，要求P可逆，则求|P|≠0，对k₁ k₂ k₃做出限制

答案：

(二)抽象型线性方程组

4.解就是系数

例题1：基础30讲线代分册   求非齐次线性方程组的通解、解的性质

分析：
①非齐通的解结构：非齐通 = 齐通 + 非齐特
②解的性质：i.${\eta }_1-{\eta }_2$为齐次特解 ii.$\frac{1}{2}({\eta }_1+{\eta }_2)$为非齐次特解，$\frac{1}{3}({\eta }_3+2{\eta }_2)$为非齐次特解 iii.$\frac{1}{2}({\eta }_1+{\eta }_2)-\frac{1}{3}({\eta }_3+2{\eta }_2)$也为齐次通解，乘6倍后 $3({\eta }_1+{\eta }_2)-2({\eta }_3+2{\eta }_2)$仍为齐次通解

本题不必求出${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3$各自的值

答案：

例题2:

分析：
① r ( A B ) ≤ m i n { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)≤min\{ r(A),r(B)\} r(AB)≤min{r(A),r(B)}：由题得r(AB)=2≤min{ r(A),r(B} ∴r(A)≥2，r(B)≥2
又∵秩=行秩=列秩≤min{m,n}，∴r(A)≤2，r(B)≤2
故r(A)=r(B)=2

②线性无关解的个数 $s=n-r$
$s_A=n_A-r(A)=3-2=1$
$s_B=n_B-r(B)=2-2=0$

答案：B

例题3：

分析：
①s=n-r(A)=1 ∴r(A)=3 ∴r(A*)=1 ∴s*=n-r(A*)=3 排除AB
②(1,0,1,0)^T是Ax=0的一个基础解系(其中A=(α₁,α₂,α₃,α₄))，即α₁+α₃=0，即α₁与α₃能相互线性表示，线性相关。故A*x=0的基础解系只能选 124或234。选D

答案：D

例题4：

答案：

(三)方程组的公共解、同解方程组

1.方程组的公共解

齐次线性方程组$A_{m\times n}x=0$和$B_{m\times n}x=0$的公共解：
①A、B都是具体的方程组：
联立方程组 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{A}{B}\right)x=0$的解

②A给了具体方程组，B给了基础解系：
利用基础解系求出B的通解，代入A。

③A、B都给的基础解系：
增加约束，使其相等：令$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2=l_1{\eta }_1+l_2{\eta }_2$，找到k1k2关系，将二维解空间化为一维解空间

例题1：880 方程组 基础解答3(Ⅱ)   ①A、B都是具体的方程组：联立方程组

例题2：880 方程组 基础解答4   ②A给了具体方程组，B给了基础解系：通解代入具体方程组

答案：

2.同解方程组

1.定义/概念：两个方程组 $A_{m\times n}x=0$ 和 $B_{m\times n}x=0$ 有完全相同的解，则称它们为同解方程组

2.性质：
  $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 为同解方程组 (方程组 $Ax=0$与$Bx=0$ 同解)
⇦⇨A与B的行向量组为等价向量组 (行向量组等价)，A能通过初等行变换得到B，B也能通过初等行变换得到A
⇦⇨$r(A)=r(B)=r\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{A}{B}\right)$
⇦⇨有完全相同的解：即Ax=0的解满足Bx=0，且Bx=0的解满足Ax=0 (互相把解代入，求出结果即可)
⇦⇨可相互线性表示：Ⅱ增广矩阵的行向量能被Ⅰ增广矩阵的行向量线性表示，反之亦然。

行向量组等价：是指两个行向量组所生成的向量空间相同，即它们具有相同解集。即一个行向量组可以通过一系列初等行变换变为另一个行向量组，那么称这两个行向量组等价

例题1：20年5.   初等列变换、同解方程组

分析：
(1)左乘行变换，右乘列变换。A能通过初等列变换得到B，则B一定也能通过初等列变换得到A。即选B
(2)Ax=0与Bx=0是同解方程组，即A与B的行向量组等价，即A能通过初等行变换得到B，B也能通过初等行变换得到A

答案：B

例题2：22年6.

分析：
①仅有零解 ⇦⇨ 系数矩阵满秩
②齐次方程组的同解变形 ⇦⇨ 矩阵的初等行变换

答案：C

例题3：同解方程组

例题4：设A_m×n，证明r(A)=r(A^TA)

证明：

∴r(A)=r(A^T)=r(A^TA)=r(AA^T)，对任意A_m×n均成立文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-607296.html

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