图论————最短路-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了图论————最短路。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

最短路

Dijkstra-朴素 O(n^2)

初始化距离数组, dist[1] = 0, dist[i] = inf;
for n次循环每次循环确定一个min加入S集合中，n次之后就得出所有的最短距离
将不在S中dist_min的点->t
t->S加入最短路集合
用t更新到其他点的距离

Dijkstra-堆优化 O(mlogm)

利用邻接表，优先队列
在priorityqueue[HTMLREMOVED], greater[HTML_REMOVED] > heap;中将返回堆顶
利用堆顶来更新其他点，并加入堆中类似宽搜

Bellman_ford O(nm)

注意连锁想象需要备份, struct Edge{inta,b,c} Edge[M];
初始化dist, 松弛dist[x.b] = min(dist[x.b], backup[x.a]+x.w);
松弛k次，每次访问m条边

Spfa O(n)~O(nm)

利用队列优化仅加入修改过的地方
for k次
for 所有边利用宽搜模型去优化bellman_ford算法
更新队列中当前点的所有出边

Floyd O(n^3)

初始化d
k, i, j 去更新d

模板：

Dijkstra-朴素

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=150010;
int n,m;
int dist[N],e[N],ne[N],w[N],idx,h[N];
bool st[N];
#define PII pair<int,int>
void add(int a,int b,int c){
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
int dj(){
    memset(dist,0x3f3f3f3f,sizeof dist);
    dist[1]=0;
    priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> heap;
    heap.push({0,1});
    while(heap.size()){
        auto t=heap.top();
        heap.pop();
        int ver=t.second,distance=t.first;
        if(st[ver]){
            continue;
        }
        st[ver]=true;
        for(int i=h[ver];i!=-1;i=ne[i]){
            int j=e[i];
            if(dist[j]>distance+w[i]){
                dist[j]=distance+w[i];
                heap.push({dist[j],j});
            }
        }
    }
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f){
        return -1;
    }
    return dist[n];
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    memset(h,-1,sizeof h);
    while(m--){
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);
    }
    cout<<dj();
}

Dijkstra-堆优化

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=150010;
int n,m;
int dist[N],e[N],ne[N],w[N],idx,h[N];
bool st[N];
#define PII pair<int,int>
void add(int a,int b,int c){
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
int dj(){
    memset(dist,0x3f3f3f3f,sizeof dist);
    dist[1]=0;
    priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> heap;
    heap.push({0,1});
    while(heap.size()){
        auto t=heap.top();
        heap.pop();
        int ver=t.second,distance=t.first;
        if(st[ver]){
            continue;
        }
        st[ver]=true;
        for(int i=h[ver];i!=-1;i=ne[i]){
            int j=e[i];
            if(dist[j]>distance+w[i]){
                dist[j]=distance+w[i];
                heap.push({dist[j],j});
            }
        }
    }
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f){
        return -1;
    }
    return dist[n];
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    memset(h,-1,sizeof h);
    while(m--){
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);
    }
    cout<<dj();
}

Bellman_ford

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,k;
const int N=100010;
int dist[N],backup[N];
struct node{
    int a,b,w;
}edge[N];
int b(){
    memset(dist,0x3f3f3f3f,sizeof dist);
    dist[1]=0;
    for(int i=0;i<k;i++){
        memcpy(backup,dist,sizeof backup);
        for(int j=1;j<=m;j++){
            int a=edge[j].a,b=edge[j].b,w=edge[j].w;
            dist[b]=min(dist[b],backup[a]+w);
        }
    }
    if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2){
        return 0x3f3f3f3f;
    }
    return dist[n];
}
int main(){
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int a,b,w;
        cin>>a>>b>>w;
        edge[i].a=a,edge[i].b=b,edge[i].w=w;
    }
    int t=b();
    if(t==0x3f3f3f3f){
        cout<<"impossible";
    }else{
        cout<<t;
    }
}

Spfa

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
int n,m;
const int N=100010;
int dist[N];
int idx,h[N],e[N],ne[N],w[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c){
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
int spfa(){
    memset(dist,0x3f3f3f3f,sizeof dist);
    dist[1]=0;
    queue<int> q;
    q.push(1);
    st[1]=true;
    while(q.size()){
        int t=q.front();
        q.pop();
        st[t]=false;
        for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){
            int j=e[i];
            if(dist[j]>dist[t]+w[i]){
                dist[j]=dist[t]+w[i];
                if(!st[j]){
                    q.push(j);
                    st[j]=true;
                }
            }
        }
    }
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f){
        return -2;
    }
    return dist[n];
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    memset(h,-1,sizeof h);
    while(m--){
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(a,b,c);
    }
    int t=spfa();
    if(t==-2){
        cout<<"impossible";
    }else{
        cout<<dist[n];
    }
}

Floyd文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-608406.html

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=210;
int f[N][N],n,m,k;
void floyd(){
    for(int k=1;k<=n;k++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);
            }
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=200;i++){
        for(int j=1;j<=200;j++){
            if(i==j){
                f[i][j]=0;
            }else{
                f[i][j]=0x3f3f3f3f;
            }
        }
    }
    while(m--){
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        f[a][b]=min(f[a][b],c);
    }
    floyd();
    while(k--){
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        if(f[a][b]>0x3f3f3f3f/2){
            puts("impossible");
        }else{
            cout<<f[a][b]<<endl;
        }
    }
}

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