本文记录计算矩阵奇异值分解SVD的原理与流程。
注1：限于研究水平，分析难免不当，欢迎批评指正。
零、预修
0.1 矩阵的奇异值
设列满秩矩阵，若的特征值为，则称为矩阵的奇异值。
0.2 SVD(分解)定理
设，则存在正交矩阵与，使得
其中，，，即为矩阵的奇异值。
考虑下述两种情形：
- 情形1：
其中，
由此可以看出，若，通过计算矩阵的奇异值，便可矩阵的特征值，而矩阵即为矩阵的特征向量。
- 情形2：
若，则，也就是说，是的特征值，也是的特征向量。同时考虑到实对称矩阵的秩为n，所以的特征值/特征向量也是的特征值/特征向量。
0.3 Householder变换
设，且，定义为Householder变换。
对于非零向量，可构造，使得
其中，，，。
设，，，对于，
根据上述结论可知，可以构造，使得
具体来说，可按照下述流程进行操作：
由此，通过Householder变换，可以将某一列向量的部分连续元素约化为0。
0.4 Givens变换
设是n维Euclid空间中的一组标准正交基，，则在平面中存在旋转变换矩阵，满足
其中，
由此可以看出，Givens变换可以将向量的某个元素约化为0。
一、大型矩阵特征值/特征向量的求解思路
大型矩阵特征值/特征向量求解一般按照以下流程进行
- 将矩阵约化为特征值/特征向量容易求解的矩阵；
- 求解矩阵的特征值/特征向量；
- 将矩阵的特征值/特征向量转化成矩阵约化为特征值/特征向量；
二、隐式QR计算矩阵奇异值分解
参考书籍
Golub G H , Loan C F V .Matrix Computations.Johns Hopkins University Press,1996.
Ford W .Numerical Linear Algebra with Applications using MATLAB. 2014.
徐树方. 数值线性代数(第二版). 北京大学出版社, 2010.
参考文献
Golub G. and Kahan W.. Calculating the Singular Values and Pseudo-Inverse of a Matrix. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics: Series B, Numerical Analysis, 1965, 2(2) : 205-224.
Demmel J., Kahan W.．Accurate Singular Values of Bidiagonal Matrices. SIAM Journal on Scientific and StatisticalComputing, 1990, 11(5):873-912.文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-609996.html
P. A. Businger，G. H. Golub. Singular value decomposition of a complex matrix. communications of the acm, 1969.文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-609996.html
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