一维热传导方程的推导
模型建立
考虑一根具有定横截面积 A A A的杆，其方向为 x x x轴的方向（由 x = 0 x=0 x=0至 x = L x=L x=L），如图1所示。
设单位体积的热能量为未知变量，叫做热能密度： e ( x , t ) e(x,t) e(x,t)。
假设通过截面的热量是恒定的，杆是一维的。做到这一点的最简单方法是将杆的侧面完全绝热，这样热能就不能通过杆的侧面扩散出去。
对 x x x和 t t t的依赖对应于杆受热不均匀的情形；热能密度由一个截面到另一个截面是变化的。
热能守恒
考察杆介于 x x x和 x + Δ x x+\Delta x x+Δx之间的薄片，如图1所示。若热能密度在薄片内是常数，则薄片内的总能量是热能密度和体积（即横截面积乘以长度）的乘积：
E ( x , t ) = e ( x , t ) A Δ x E(x,t)=e(x,t)A\Delta x E(x,t)=e(x,t)AΔx
如果我们想知道薄片内部温度随时间变化多快，我们需要知道有多少热量进入或离开该区域。根据傅里叶定律（Fourier’s law），通过单位时间、单位面积、单位温差流动出去或流入进来（取决于温差符号） 的热量为常数 k k k。因此，在时刻 t t t时，在位置$x+\Delta x $处流出去或流入进来（取决于温差符号） 的总热量为：
Q o u t ( x + Δ x , t ) = − k A ∂ u ∂ x ( x + Δ x , t ) Q_{out}(x+\Delta x,t)=-kA\frac{\partial u}{\partial x}(x+\Delta x,t) Qout(x+Δx,t)=−kA∂x∂u(x+Δx,t)
其中 ∂ u ∂ x \frac{\partial u}{\partial x} ∂x∂u表示温度关于位置$x $ 的变化率。
类似地，在位置$x $处流入或流出（取决于温差符号） 的总热量为：
Q i n ( x , t ) = k A ∂ u ∂ x ( x , t ) Q_{in}(x,t)=kA\frac{\partial u}{\partial x}(x,t) Qin(x,t)=kA∂x∂u(x,t)
注意负号表示如果 ∂ u ∂ x \frac{\partial u}{\partial x} ∂x∂u为正，则表示从高温区域向低温区域传递；反之亦然。
根据能量守恒原理，我们可以得到以下等式：
E ( x , t + Δ t ) − E ( x , t ) = Q i n ( x , t ) − Q o u t ( x + Δ x , t ) E(x,t+\Delta t)-E(x,t)=Q_{in}(x,t)-Q_{out}(x+\Delta x,t) E(x,t+Δt)−E(x,t)=Qin(x,t)−Qout(x+Δx,t)
这意味着在$\Delta t $时间内薄片内部储存或释放（取决于符号） 的总能量等于在该时间段内进入或离开该区域（取决于符号） 的总能量。
方程推导
代入上述等式，得到：
e ( x , t ) A Δ x ∂ u ∂ t ( x , t ) = − k A ∂ u ∂ x ( x + Δ x , t ) + k A ∂ u ∂ x ( x , t ) e(x,t)A\Delta x\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=-kA\frac{\partial u}{\partial x}(x+\Delta x,t)+kA\frac{\partial u}{\partial x}(x,t) e(x,t)AΔx∂t∂u(x,t)=−kA∂x∂u(x+Δx,t)+kA∂x∂u(x,t)
将两边同时除以 A Δ x A\Delta x AΔx，得到：
e ( x , t ) ∂ u ∂ t ( x , t ) = − k ∂ u ∂ x ( x + Δ x , t ) − ∂ u ∂ x ( x , t ) Δ x e(x,t)\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=-k\frac{\frac{\partial u}{\partial x}(x+\Delta x,t)-\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)}{\Delta x} e(x,t)∂t∂u(x,t)=−kΔx∂x∂u(x+Δx,t)−∂x∂u(x,t)
令 Δ x → 0 \Delta x \to 0 Δx→0，利用极限定义，得到：
e ( x , t ) ∂ u ∂ t ( x , t ) = − k ∂ 2 u ∂ x 2 ( x , t ) e(x,t)\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=-k \frac{\partial^2u}{\partial x^2}(x,t) e(x,t)∂t∂u(x,t)=−k∂x2∂2u(x,t)文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-610333.html
这就是一维热传导方程的基本形式。如果杆的横截面积不是常数，则需要对上式做一些修正。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-610333.html
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