闭环排队理论简介-Toy模板网

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在排队理论简介一文中，笔者详细介绍了排队理论的基本内容。在该文中，申请流是来自系统外部的，其强度（或密度）并不取决于系统本身，也不取决于系统的状态。而在本文中，将探讨另一种排队理论，其申请流的强度与系统的状态有关，因而称之为闭环排队系统。

1. 系统情景

设想如下情景。在一家工厂中，调试员看管 $n$ 架机床。每架机床可能在任意时刻发生故障并停止工作，需要调试员的维修，该故障发生的强度（密度）为 $\lambda$ 。如果此时调试员空闲，则开始维修，维修用时
$\bar t_{mt} = \frac{1}{\mu}$ 而如果机床故障时调试员并不空闲（处于忙状态），则故障机床加入等待队列直到调试员来维修。

针对此情景，一般我们感兴趣如下3个指标：

调试员空闲的概率；
出现排队队列的概率；
等待维修的机床数量的平均数。

在此情景中，申请流来自于机床本身，其数量是有限的，并依据其自身的状态（正常/故障）来发出申请。因此，整个申请流的强度自然而然取决于有多少个机床与维修挂钩（不论是正在被维修的还是等待维修的）。

与排队理论简介一文不同的是，闭环排队系统中，申请流的数量是有限的（机床个数有限）。而当申请流的数量过于庞大时，实际上排队系统本身的状态将几乎不影响申请流的状态，因此可以认为二者无关。

2. 数学描述

在该情景中，根据 $n$ 架机床中出现故障的个数，可以定义系统的不同状态：
$S_0$ – 所有机床正常工作，没有机床故障；
$S_1$ – 有1个机床故障，调试员维修该机床，其他机床正常工作；
$S_2$ – 有2个机床故障，调试员维修一个，另一个等待，而其他机床正常工作；
$\vdots$
$S_n$ – 所有 $n$ 个机床都故障，调试员维修一个，其余 $(n - 1)$ 个排队等待。

状态图如图所示。
闭环排队理论简介,优化方法,数学建模
从状态 $S_0$ 到 $S_1$ 的过程中，起初是所有机床都工作的，因此该过程的强度（密度）是 $n\lambda$ 。同样，从状态 $S_1$ 到 $S_2$ 的过程中，起初是 $(n - 1)$ 架机床工作、1架机床故障的，因此该过程的强度（密度）是 $\lambda$ 。该低占用向高占用转化的过程以此类推。

而由于只有1个调试员，每次只能修1个机床，因此每次从高占用向低占用转化时的强度一样，都是 $\mu$ 。

这里给出不同状态 $S_i$ 出现的概率：
$p_1 = \frac{ n \lambda }{\mu} p_0 \\ p_2 = \frac{ n (n-1) \lambda ^2 }{\mu^2} p_0 \\ \vdots \\ p_n = \frac{ n (n-1) (n-2) \cdots 2 \cdot 1 \cdot \lambda ^n}{\mu ^n} p_0 \\ p_0 = \frac{1}{ 1 + n \left( \lambda / \mu \right) + n (n-1) \left( \lambda / \mu \right)^2 + \cdots + n (n-1) \cdots 2 \cdot1 \cdot \left( \lambda / \mu \right)^n }$ 设
$\lambda / \mu = \rho$ 则上式可以写为
$p_0 = \frac{1}{ 1 + n \rho + n (n-1) \rho^2 + \cdots + n (n-1) \cdots 2 \cdot1 \cdot \rho^n }$ $p_1 = n \rho p_0$ $p_2 = n (n-1) \rho^2 p_0 \\ \vdots \\ p_n = n (n-1) \cdots 2 \cdot 1 \cdot \rho^n p_0 \tag{1}$ 式中，进入每个方块的强度为乘，出每个方块的强度为除。

对于该系统来说，绝对通过性指的是单位时间内故障的平均次数。当没有故障时的概率为 $p_0$ ，那么显然，有故障的概率（也是调试员不空闲的概率）为
$P = 1 - p_0$ 如果调试员为忙，则单位时间内他可修理的机床数为 $\mu$ ，因此绝对通过性为
$\left( 1 - p_0 \right) \mu$ 而调试员空闲的概率即为没有故障发生的概率 $p_0$ 。

故障机床的平均个数可以用如下期望来计算
$\bar w = 1 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2 + \cdots + n \cdot p_n = \sum_{i=1} ^n i \cdot p_i$ 此数值也可以通过绝对通过性来计算。我们知道，每架机床发生故障的强度为 $\lambda$ ；同时，平均来说系统中将正常工作有 $\left( n - \bar w \right)$ 架机床；因而这些正常工作的机床发生的故障数应该为 $\left( n - \bar w \right) \lambda$ ；根据绝对通过性的定义，有
$\left( n - \bar w \right) \lambda = \left( 1 - p_0 \right) \mu$ 由此得到
$\bar w = n - \frac{\mu}{\lambda} \left( 1 - p_0 \right) = n - \frac{1 - p_0}{\rho}$ 接下来计算等待队列中等待修理的机床的个数。设所有与“修理”相关的机床数为 $W$ ，包括队列中等待的个数 $R$ 与正在修理的个数 $\Omega$ ：
$\Omega$ 显然，由于只有一个调试员，因此 $\Omega$ 只能取1或0。相应地，其期望为
$\bar \Omega = 0 \cdot p_0 + 1 \cdot \left(1 - p_0 \right) = 1 - p_0$ 那么队伍中等待修理的机床的平均个数为
$\bar R = \bar w - \bar \Omega = n - \frac{1 - p_0}{\rho} - \left(1 - p_0 \right) = n - \left(1 - p_0 \right) \left( 1 + \frac{1}{\rho} \right)$ 最后来看产能相关的指标。设一架机床的产能为 $l$ ，则可以计算出单位时间内因故障而造成的产能损失为
$\bar w l$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-611401.html