更新线性代数第二章——矩阵，本章为线代学科最核心的一章，知识点多而杂碎，务必仔细学习。
重难点在于：
1.矩阵的乘法运算
2.逆矩阵、伴随矩阵的求解
3.矩阵的初等变换
4.矩阵的秩
（去年写的字，属实有点ugly，大家尽量看。。。）
首先来看一下考研数学一种对这一章要求的考纲：
考试要求：
1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质．
2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.
3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．
4．理解矩阵的初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．
5．了解分块矩阵及其运算．
2.1矩阵的概念
- 矩阵本质上是一个数表，而行列式本质上是一个数，二者有本质的区别~
- 行与列的数目相同时，称为方阵
- 除了对角线以外的元素均为0且对角线元素均为1时，这样的句子被称为单位矩阵
2.2矩阵计算
- 矩阵的数乘作用于全体元素，而行列式的数乘仅作用于某一行或者某一列~
- 矩阵的乘法对于初学者来说可能会有一点绕，但是只要牢记【中间相等取两头】即可：即前者的列数与后者的行数相等时才可以做矩阵的乘法，且矩阵乘法的结果仍为一个矩阵，行数为前者的行数，列数为后者的列数~
- 普通的代数规律往往并不适用于线性代数，矩阵的左乘和右乘有着本质上的不同
- 左右乘一个单位矩阵E保证矩阵不变，对应普通代数里面与1相乘
- 结合律和分配率仍满足，但是一定不能改变顺序
- 一个方程组，可以将因变量和自变量作为列向量处理，系数作为系数矩阵处理
- 矩阵的幂运算有一定的技巧性，不过要严格遵守基本的运算法则
- 矩阵乘积的转置等于转置后对调位置的乘积
- 矩阵之积的行列式等于矩阵行列式的积~
2.3特殊矩阵
- 对称矩阵指的是沿着主对角线两侧对称，反对称矩阵则是沿着对角线互为相反数
- 所谓的矩阵可交换，指的是AB=BA
2.4逆矩阵
- 本质上就是矩阵乘法
- 寻找B矩阵使得AB=E，则B是A的逆矩阵
- 伴随矩阵：方阵A所有代数余子式组成的矩阵的转置
- 对应任意方阵A，有AA*=A*A=|A|E，以及|A*|=|A|^(n-1)~
- 若|A|!=0，则A被称为非奇异、非退化、满秩、可逆矩阵~（行列式不为0也是矩阵可逆的充要条件）
- A逆=1\|A|A*——伴随矩阵法
- 如果AB=E或者BA=E，则
逆矩阵的性质补充：
- A可逆，则A逆可逆，且A逆的逆即为A本身
- AB乘积的逆等于B逆乘以A逆（位置要对调）
- A可逆则A转置可逆，且A转置的逆等于A逆的转置
- 矩阵与一个数数乘的结果的逆，等于这个数倒数与矩阵逆的乘积~
- A逆的行列式等于A的行列式的倒数~
2.5分块矩阵
- 分块矩阵要保证每一个分块中仍然全是矩阵
- 标准型：从左上角开始一串1，其余地方全是0（标准型不一定是方阵）
- 分块矩阵的转置是整体求一次转置，再将每个小分块内部求一次转置~
2.6初等变换
- 初等变换分为行变换和列变换
- 任何一个矩阵都可以通过初等变换变为标准型
- 等价的概念是，A经过初等变换后得到B，则称A和B矩阵等价~
- 可以说，任何矩阵都等价于一个标准型
- 如果A与B等价，则存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B
- A可逆的充要条件是——A的标准型为E，即可以通过初等变换变为E
- 由此可以引出初等变换法求矩阵的方式~
2.7矩阵的秩
- K阶子式：K行K列构成的行列式被称为K阶子式，该矩阵可以不为方阵~
- 矩阵的秩即为非0子式的最高阶数~
- 所谓的满秩，即R=n，也就是对应的行列式不为0
- 初等变换不改变矩阵的秩~
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-612883.html
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-612883.html
到了这里，关于宋浩线性代数笔记（二）矩阵及其性质的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
