前置定理 1 设 A \boldsymbol{A} A 为 n n n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 P \boldsymbol{P} P，使 P − 1 A P = P T A P = Λ \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{P}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda} P−1AP=PTAP=Λ，其中 Λ \boldsymbol{\Lambda} Λ 是以 A \boldsymbol{A} A 为 n n n 个特征值为对角元的对角矩阵。
前置定理 2 若可逆矩阵 P \boldsymbol{P} P、 Q \boldsymbol{Q} Q 使 P A Q = B \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B} PAQ=B，则 R ( A ) = R ( B ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) R(A)=R(B)。
证明见 “矩阵的秩的性质”。
推论 1 设 A \boldsymbol{A} A 为 n n n 阶对称矩阵， λ \lambda λ 是 A \boldsymbol{A} A 的特征方程的 k k k 重根，则矩阵 A − λ E \boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E} A−λE 的秩 R ( A − λ E ) = n − k R(\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}) = n - k R(A−λE)=n−k，从而对应特征值 λ \lambda λ 恰有 k k k 个线性无关的特征向量。
证明 根据前置定理 1 可知，对称矩阵 A \boldsymbol{A} A 与对角矩阵 Λ = diag ( λ 1 , ⋯ , λ n ) \boldsymbol{\Lambda} = \operatorname{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) Λ=diag(λ1,⋯,λn) 相似，从而有 A − λ E \boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E} A−λE 与 Λ − λ E = diag ( λ 1 − λ , ⋯ , λ n − λ ) \boldsymbol{\Lambda} - \lambda \boldsymbol{E} = \operatorname{diag}(\lambda_1 - \lambda, \cdots, \lambda_n - \lambda) Λ−λE=diag(λ1−λ,⋯,λn−λ) 相似。
当 λ \lambda λ 是 A \boldsymbol{A} A 的 k k k 重根时， λ 1 , ⋯ , λ n \lambda_1,\cdots,\lambda_n λ1,⋯,λn 这 n n n 个特征值中有 k k k 个等于 λ \lambda λ，有 n − k n-k n−k 个不等于 λ \lambda λ，从而对角矩阵 Λ − λ E \boldsymbol{\Lambda} - \lambda \boldsymbol{E} Λ−λE 中的对角元恰有 k k k 个等于 0 0 0，于是 R ( Λ − λ E ) = n − k R(\boldsymbol{\Lambda} - \lambda \boldsymbol{E}) = n - k R(Λ−λE)=n−k。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-614013.html
根据前置定理 2，因为对称矩阵 A \boldsymbol{A} A 与对角矩阵 Λ = diag ( λ 1 , ⋯ , λ n ) \boldsymbol{\Lambda} = \operatorname{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) Λ=diag(λ1,⋯,λn) 相似，所以 R ( A − λ E ) = R ( Λ − λ E ) = n − k R(\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}) = R(\boldsymbol{\Lambda} - \lambda \boldsymbol{E}) = n - k R(A−λE)=R(Λ−λE)=n−k。得证。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-614013.html
到了这里，关于【证明】对称矩阵特征方程k重根恰有k个线性无关的特征向量的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
