【图论】三种中心性 —— 特征向量、katz 和 PageRank

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维基百科:在图论和网络分析中,中心性指标为图中相应网络位置的节点分配排名或数值。中心性这一概念最初起源于社交网络分析,因此很多衡量中心性的术语也反映了其社会学背景。

不同中心性指标对 “重要” 的衡量方式不同,因此适用于不同的情形。katz 和 PageRank 都可以视为特征向量中心性的变体。

一、特征向量中心性(eigenvector centrality) 

特征向量这一概念最早应该是在 线性代数 这门课程中接触到的,而取名中的特征向量也与它最初的概念相关,我们先回顾下什么是 “特征值” 和 “特征向量”。

1.1 线性代数中的特征向量

定义:设 A 是 n 阶方阵,若存在向量使得  ,则称 x 为 A 的特征向量, 为 A 的特征值(严格定义请参考权威文献)。

由定义可见,特征向量的本质是它与原矩阵相乘后,得到的矩阵与特征向量方向相同,仅存在缩放关系(即  倍的缩放),该缩放比例称为特征值。进一步延伸,原矩阵无论乘上多少特征向量,其方向都是确定的。回顾一道求特征值和特征向量的简单例题,可以更好回忆相关概念,求  的特征向量和特征值。


 

解得两个特征值 2 或 4,则应有

解得 【图论】三种中心性 —— 特征向量、katz 和 PageRank,图论,图论 ,因此可取特征值 2 的特征向量为

.

求特征值 4 的特征向量同理。


1.2 图论中的特征向量中心性

定义:图 G = (V, E),定义其邻接矩阵 A, 表示节点 v 和 t 不相连, 表示节点 v 和 t 相连,则节点 v 的中心性 x 的分数计算式为

  .

单纯看公式会觉得不好理解,结合具体的例子可以马上掌握,它在本质上是求图 G 邻接矩阵的特征向量,只不过在算法设计中,通常不是通过数学方式求得,而是采用迭代逼近的方式得到一个近似解。特征向量中心性的核心思想是,一个结点的邻居越重要,该结点就越重要。下面是一个经典的分析图,

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 各节点上的数字表示该结点的权重,以 5 作为节点 1,按顺时针标记各节点,且中心节点记为节点 5,则得到邻接矩阵为

第一轮迭代,邻接矩阵乘上各结点的分数

迭代完成后,各结点分数发生变化,效果为节点“吸收”了邻接节点的分数,邻接节点分数高的,迭代后分数就高。且经过多轮迭代后,各节点间的相对分数将不再发生变化,即收敛,仅存在绝对分数的缩放,此时我们就得到了最终的中心性分数矩阵,而该矩阵是邻接矩阵的特征向量。

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二、katz 中心性

针对特征向量中心性无法用于有向图的不足,提出了 katz 中心性。

2.1 理解特征向量中心性的不足

每篇博客都说了,特征向量中心性不能用于有向图,但是为什么呢,这个结论怎么来的?

此处稍微探究下,我的理解不一定是对的,但特征向量中心性确实存在一些问题。首先观察上一节中邻接矩阵的特点,它是沿着主对角线对称的矩阵。这是可以理解的,无向图的连通性肯定是对称的。而特征向量中心性算法的本质是求邻接矩阵的特征向量,当邻接矩阵的性质发生变化时,特征向量必然会受影响。

在有向图中没有沿主对角线对称这一性质,那么对于只有出度、没有入度的节点,就存在一个致命问题,它的分数一直被出度节点吸收,而它自身分数将归零(以下图为例)。这显然是不合理的,这也是我理解的特征向量中心性计算方式不足的原因。

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 2.2 katz 中心性的改进思路

首先看看它的中心性计算公式,

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或不考虑 k,

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比较和特征向量中心性的不同,katz 引入了两个新的变量,分别是衰减因子  和基本偏移量  。第一个求和号中的 k 表示 k-hop,即只考虑与节点 v 距离在 k 以内(通常以一个节点作为一个单位距离)的节点分数,该思路在特征向量中心性中也是可行的,只是在上一节中未列出来。k 取 1 时就表示只考虑直接相连的节点。

  • 衰减因子  随着 k 增大呈指数级减小,其设计思路是距离越近的节点对分数的影响应更大,反之应有衰减;
  • 偏移量  是为了避免出现 2.1 中讨论的分数归零现象;
  •  可能较难理解,其实就是在 k 距离内的邻接矩阵,如 k = 1 就是与节点 v 直接相连的邻接矩阵,k = 2 就是与节点 v 隔一个节点相连的邻接矩阵。

通过例子理解先跳过,可以自己搜索具体的计算例子。

三、PageRank 中心性(PageRank centrality)

PageRank 应该是这三者中最出名的,主要用于谷歌的网页排序。

3.1 PageRank 中心性思想

一样先看 PageRank 的计算公式,

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相比于 katz 中心性,可以发现它只是对每个节点的分数除以 ,即该节点的出度。这样调整的出发点是,katz 中心性中某个高分节点会较大地影响所有与其相邻的节点,结合社交网络的背景,比如名人的朋友并不都是名人。用出度稀释高分节点的分数可以避免部分节点拥有很强的影响力。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-615047.html

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