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1 课堂笔记

基础算法-子矩阵的和,# 算法基础,算法

2 详解

二维前缀和推导

如图：

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紫色面积是指(1,1)左上角到(i,j-1)右下角的矩形面积, 绿色面积是指(1,1)左上角到(i-1, j )右下角的矩形面积。每一个颜色的矩形面积都代表了它所包围元素的和。
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从图中我们很容易看出，整个外围蓝色矩形面积s[i][j] = 绿色面积s[i-1][j] + 紫色面积s[i][j-1] - 重复加的红色的面积s[i-1][j-1]+小方块的面积a[i][j];

因此得出二维前缀和预处理公式

s[i] [j] = s[i-1][j] + s[i][j-1 ] + a[i] [j] - s[i-1][ j-1]

接下来回归问题去求以(x1,y1)为左上角和以(x2,y2)为右下角的矩阵的元素的和。

如图：
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紫色面积是指 ( 1,1 )左上角到(x1-1,y2)右下角的矩形面积，黄色面积是指(1,1)左上角到(x2,y1-1)右下角的矩形面积；

不难推出：
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绿色矩形的面积 = 整个外围面积s[x2, y2] - 黄色面积s[x2, y1 - 1] - 紫色面积s[x1 - 1, y2] + 重复减去的红色面积 s[x1 - 1, y1 - 1]

因此二维前缀和的结论为：

以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
s[x2, y2] - s[x1 - 1, y2] - s[x2, y1 - 1] + s[x1 - 1, y1 - 1]

总结：

20201217174751639.png
前缀和与差分的个人心得总结

代码：

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int s[N][N];

int main()
{
scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            scanf("%d", &s[i][j]);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];

    while (q -- )
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
    }

return 0;
}

2 代码

基础算法-子矩阵的和,# 算法基础,算法

3.代码解析

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=1010;
int a[maxn][maxn],s[maxn][maxn];
int n,m,q,x1,y1,x2,y2;

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    //为数组赋值
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    //为前缀和赋值
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            s[i][j] = s[i][j-1] + s[i-1][j] - s[i-1][j-1] +a[i][j];
        }
    }
    //输出结果
    while(q--){
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]);
    }
}