线性代数——二次型

系列文章目录

• 学习高等数学和线性代数需要的初等数学知识
• 线性代数——行列式
• 线性代数——矩阵
• 线性代数——向量
• 线性代数——线性方程组
• 线性代数——特征值和特征向量
• 线性代数——二次型

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本文大部分内容皆来自李永乐老师考研教材和视频课。

二次型

将含有$n$个变量$x_1,x_2,\dots ,x_n$的二次齐次函数$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$称为$n$元二次型。现有一二次型
x 1 2 + 5 x 2 2 − 4 x 3 2 − 2 x 1 x 2 + 6 x 2 x 3 = x 1 2 − x 1 x 2 − x 1 x 2 + 5 x 2 2 + 3 x 2 x 3 + 3 x 2 x 3 − 4 x 3 2 = x 1 ( x 1 − x 2 ) + x 2 ( − x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 ) + x 3 ( 3 x 2 − 4 x 3 ) = [ x 1 x 2 x 3 ] [ x 1 − x 2 − x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 3 x 2 − 4 x 3 ] = [ x 1 x 2 x 3 ] [ 1 − 1 0 − 1 5 3 0 3 − 4 ] [ x 1 x 2 x 3 ] x_1^2+5x_2^2-4x_3^2-2x_1x_2+6x_2x_3\\ =x_1^2-x_1x_2-x_1x_2+5x_2^2+3x_2x_3+3x_2x_3-4x_3^2\\ =x_1(x_1-x_2)+x_2(-x_1+5x_2+3x_3)+x_3(3x_2-4x_3)\\ {=} \begin{bmatrix} x_1&x_2&x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1-x_2\\ -x_1+5x_2+3x_3\\ 3x_2-4x_3 \end{bmatrix}\\ {=} \begin{bmatrix} x_1&x_2&x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-1&0\\ -1&5&3\\ 0&3&-4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} x12​+5x22​−4x32​−2x1​x2​+6x2​x3​=x12​−x1​x2​−x1​x2​+5x22​+3x2​x3​+3x2​x3​−4x32​=x1​(x1​−x2​)+x2​(−x1​+5x2​+3x3​)+x3​(3x2​−4x3​)=[x1​​x2​​x3​​] ​x1​−x2​−x1​+5x2​+3x3​3x2​−4x3​​ ​=[x1​​x2​​x3​​] ​1−10​−153​03−4​ ​ ​x1​x2​x3​​ ​
那么对于$n$元二次型有矩阵表示
$$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=x^{T}Ax$$
其中$x=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T,A=[a_{ij}]$，并且规定将$A$化为对称矩阵，因为对称矩阵是唯一的，所以就能唯一确认一个二次型，那么就称$A$为二次型的矩阵，$r(A)$称为二次型的秩，记为$r(f)$。 如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项$x_i{x}_j(i\ne j)$的系数全为零，即
$$x^{T}Ax=d_1{x}_1^2+d_2{x}_2^2+\cdots +d_n{x}_n^2$$
则称这样的二次型为标准型，在标准型中，若平方项的系数$d_j$为$1,-1$或$0$，即
$$x^{T}Ax=x_1^2+x_2^2+\cdots +x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots -x_{p+q}^2$$
则称其为二次型的规范型。在标准型中，正平方项的个数$p$称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数$q$称为二次型的负惯性指数。

• 在求解二次型的矩阵时，如果得出的矩阵$B$不是对称矩阵，那么可通过以下方法将该矩阵化为对称矩阵$A$：
  • $a_{ii}=b_{ii}$
  • $a_{ij}=\frac{1}{2}(b_{ij}+b_{ji})$

坐标变换

如果
[ x 1 x 2 x 3 ]   = [ c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33 ] [ y 1 y 2 y 3 ] ⇓ x = C y \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} \ = \begin{bmatrix} c_{11}&c_{12}&c_{13}\\ c_{21}&c_{22}&c_{23}\\ c_{31}&c_{32}&c_{33}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3 \end{bmatrix}\\ \Downarrow\\ x=Cy ​x1​x2​x3​​ ​ = ​c11​c21​c31​​c12​c22​c32​​c13​c23​c33​​ ​ ​y1​y2​y3​​ ​⇓x=Cy
满足$|C|\ne 0$，则称上式为$x=(x_1,x_2,x_3{)}^T$到$y=(y_1,y_2,y_3{)}^T$的坐标变换。任何一个二次型$x^{T}Ax$都可以通过坐标变换化成标准型，通常有以下两种方法：

• 配方法
  例：将二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+6x_2{x}_3$化为标准型。
  解：
  $$\begin{gathered} f(x_1,x_2,x_3)=[x_1^2+2x_1(x_2+x_3)+(x_2+x_3{)}^2]-(x_2+x_3{)}^2+2x_2^2+5x_3^2+6x_2{x}_3 \\ =(x_1+x_2+x_3{)}^2+x_2^2+4x_2{x}_3+4x_3^2 \\ =(x_1+x_2+x_3{)}^2+(x_2+x_3{)}^2 \end{gathered}$$
  令
  $$\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1+x_2+x_3\\ y_2=x_2+x_3\\ y_3=x_3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1=y_1-y_2+y_3\\ x_2=y_2-2y_3\\ x_3=y_3\end{array}$$
  即 x = C y , C = [ 1 − 1 1 0 1 − 2 0 0 1 ] x=Cy,C=\begin{bmatrix}1&-1&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{bmatrix} x=Cy,C= ​100​−110​1−21​ ​
• 正交变换法
  当且仅当$A$为$n$阶实对称矩阵时，$A$必可对角化，且总存在正交矩阵$Q$，使得
  Q − 1 A Q = Q T A Q = Λ = [ λ 1 λ 2 ⋱ λ n ] Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda= \begin{bmatrix} \lambda_1&&&\\ &\lambda_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&\lambda_n\\ \end{bmatrix} Q−1AQ=QTAQ=Λ= ​λ1​​λ2​​⋱​λn​​ ​
  那么令$x=Qy$，则
  $$\begin{gathered} x^{T}Ax=(Qy{)}^{T}A(Qy) \\ =y^T{Q}^{T}AQy \\ =y^T\Lambda y \\ ={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2 \end{gathered}$$
  即对任意一个$n$元二次型$x^{T}Ax$，其中$A$是$n$阶实对称矩阵，必存在正交变换$x=Qy$（$Q$是正交矩阵），使得$x^{T}Ax$化成标准型
  $${\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$$
  这里${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots {\lambda }_n$是$A$的$n$个特征值。对标准型再次进行坐标变换即可化为规范型。

坐标变换的性质如下：

• 二次型$x^{T}Ax$经坐标变换$x=Cy$得到二次型$y^{T}By$，其中$B=C^{T}AC$
• 惯性定理：对于一个二次型，不论选取怎样的坐标变换使其化为标准型，其中正平方项的个数$p$，负平方项的个数$q$都是由所给二次型唯一确定的。即二次型的规范型是唯一确认的。

矩阵合同

两个$n$阶矩阵$A$和$B$，如果存在可逆矩阵$C$，使得$B=C^{T}AC$就称矩阵$A$和$B$合同，记作$A\simeq B$，并称由$A$到$B$的变换为合同变换，称$C$为合同变换的矩阵。 给定一个二次型
$$f(x_1,x_2,x_3)=x^{T}Ax$$
对其进行一次任意的$x=Cy$坐标变换：
$$\begin{gathered} f(x_1,x_2,x_3)=x^{T}Ax \\ =(Cy{)}^{T}A(Cy) \\ =y^T{C}^{T}ACy \\ =y^{T}By \end{gathered}$$
其中$B^{=}{C}^{T}AC$，即$A\simeq B\iff$对二次型$x^{T}Ax$做一次$x=Cy$坐标变换。合同的性质如下：

• $A\simeq A$
• $A\simeq B\Rightarrow B\simeq A$
• $A\simeq B,B\simeq C\Rightarrow A\simeq C$
• 对于实对称矩阵而言：
  • $A\simeq B\iff x^{T}Ax$ 与$x^{T}Bx$有相同的正、负惯性指数。
  • 若$A\simeq B$，其中一个为实对称矩阵，则另一个必为实对称矩阵。

正定二次型

设二次型$x^{T}Ax$，如果对任何$x\ne O$，恒有$x^{T}Ax>0$，则称二次型$x^{T}Ax$为正定二次型，并称矩阵$A$是正定矩阵。

• 正定二次型经坐标变换其正定性保持不变。
• $n$元二次型$x^{T}Ax$正定
  $\iff A$的正惯性指数是$n$
  $\iff A$与$E$合同
  $\iff A$的所有特征值均为正数
  $\iff A$的各阶顺序主子式均大于零
  $\Rightarrow a_{ii}>0$
  $\Rightarrow |A|>0$
  $\Rightarrow$ 平方项系数大于零

偏导法求解二次型

在使用配方法求解二次型的规范型时，极其需要技巧性，而偏导法求是一种通用型的简易方法，它将求解二次型分为以下两种情形：文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-615325.html

• 情形一：如果$f(x_1,\dots ,x_n)$中含有某变量的平方项，即$a_{ii}(i=1,\dots ,n)$中至少有一个不为零，不妨设$a_{11}\ne 0$，记$f_1=\frac{1}{2}\frac{\partial f}{\partial x_1}$，令
  $$f(x_1,\dots ,x_n)=\frac{1}{a_{11}}(f_1{)}^2+g$$
  求得$g$，此时$g$中已不含$x_1$，再记$g_1=\frac{1}{2}\frac{\partial g}{\partial x_2}$，并令
  $$f(x_1,\dots ,x_n)=\frac{1}{a_{11}}(f_1{)}^2+\frac{1}{a_{22}}(g_1{)}^2+h$$
  此时$h$中已不含$x_1$和$x_2$，按照这种步骤继续运算，可将二次型转换为标准型。
• 情形二：如果$f(x_1,\dots ,x_n)$中不含有任一变量的平方项，即$a_{ii}=0(i=1,\dots ,n)$，但至少有一个$a_{1j}\ne 0(j>1)$不为零$(a_{ij}$是$x_1{x}_2$项的系数)，不妨设$a_{12}\ne 0$，记$f_1=\frac{1}{2}\frac{\partial f}{\partial x_1},f_2=\frac{1}{2}\frac{\partial f}{\partial x_2}$，令
  $$f(x_1,\dots ,x_n)=\frac{1}{a_{12}}[(f_1+f_2{)}^2-(f_1-f_2{)}^2]+\psi$$
  求得$\psi$，此时$\psi$中已不含$x_1$和$x_2$，观察$\psi$的结构，如果$\psi$中含有变量的平方项，则按照情形1中的方法进行，否则按照情形2中的方法进行，直至二次型化为标准型。

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