1、龙格-库塔法简介
龙格—库塔法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法，其中包括著名的欧拉法，用于数值求解微分方程。 由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。 在各种龙格—库塔法当中有一个方法十分常用，该方法主要是在已知方程导数和初值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程，该方法被称为“RK4”或者就是“龙格—库塔法”。
2、龙格-库塔法基本思想
在了解龙格—库塔法之前先回顾一下欧拉法。
2.1 欧拉法基本原理
若已知上述方程组某点坐标，以及该点的斜率值，则可以使用欧拉法对 y(x) 进行迭代的近似求解。求解分析：已知 x = x0 时 y = y0 y=y ，且斜率为 y′( x0) = f ( x0 , y0 ) ，那么就可以用过该点且斜率为 y′( x0) 的直线近似求解 x0 附近一点 x1 的函数值。
构建直线：
那么，在 x = x1 时，求得：
可以求得 y = y ( x1 )，重复以上步骤，可以求得 y(x2) , y(x3) , ⋯ , y (xn) 。如果等间隔取 x 值，即 x1−x0= x2− x1 = x3 − x2 = ⋯ = xn − xn−1 = h，也即 xn = x0 + n ⋅ h 可以得到
总结为：
该公式就是欧拉公式。
2.2 龙格-库塔基本原理
龙格-库塔算法是对欧拉法的改进，都是使用过 ( xk , yk) 的直线来近似下一点的函数值 yk+1 ，区别在于斜率的选择。在欧拉法中，直接使用该点的切线 y′(xk) 当做直线的斜率，这样会造成对于 y(xk+1) 的求解一定存在误差，除非 y(x) 为直线时，结果才是准确的。基于上面的考虑，需要解决的便是如何提高 y(xk+1) 求解的精度；或者说在知道 ( xk , yk) 的情况下，如何确定直线斜率确保恰好经过待估测点 y(xk+1) 。答案是利用拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理如下：
即在 ( xk , xk+1) 区间内存在一点 ϵ (xk< ϵ < xk+1) ，使得等式 f (xk+1) − f (xk) = f ′( ϵ ) (xk+1 − xk) 成立。
所以准确的直线方程为：
如果等间距取值，即 xk+1 − xk = h ，则有
其中，θ ∈ ( 0 , 1 ) ，而当 θ = 0 时就是欧拉法。
.
现在，原理已经明确了，但如何确定 y′(ϵ) 的取值？这就涉及到算法的精度问题。考虑到直接使用端点处 y′( xk ) 的斜率不准确，那么取两端点斜率的平均准确度肯定就提升了一点，即y′(ϵ) 取
为了方便书写，将 y′(xk) = κ1， y′(xk+1) = κ2 ，即用 κ 表示斜率。则上式这可改写为：
根据已知条件方程 y′(x) = f(x,y) ，同理可得：
其中 f(x,y) 是已知的，而 f(xk+1 , yk+1) 中的 yk+1 是未知的，若用欧拉法来估计此处的 yk+1，即有：
当然这是不准确的，若用两点的平均斜率来提高精，则有：
值得注意的是，对于两端点斜率取平均是出于习惯，但实际应用中是对两斜率进行加权，取平均只是习惯性的把两者权重取相等而已，因此更一般描述为：
.
根据上述斜率取平均值的思路，进行递推取 n 个点，获得更多点加权来估算 f′(ϵ) 的值所得结果精度肯定更高。现在，假设在 (xk, xk+1) 区间取 n 个点，对应点为 xk+α1h , xk+α2h , xk+α3h , ⋯ , xk+αnh , 且 α ∈ [ 0 , 1 ] ，在每个点的斜率记为 κ1, κ2, ⋯ , κn ，对应加权为 λ1 , λ2, ⋯ , λn ， 那么有
则有：
λ 为自取值，对于 κ 有：
通常 α1 取0，即对应 xk 点；此时，κ1 = f (xk, yk) 。同样，对于其余式子 f 自变量中的 y(xk+ αnh ) 使用欧拉法来求，即有：
总结以上，即得到龙格-库塔基本表达式：
其中：λ1, λ2, ⋯ , λn 为对应采样点斜率权值，满足 λ1 + λ2 + ⋯ + λn = 1 ；
α1, α2, ⋯ , αn 为采样点位置比率，满足 0 < α1 < α2 < ⋯ < αn
.
3、 案例：四阶龙格-库塔法求解微分方程
本次案例使用的微分方程如下：
本次案例使用的是常用的 经典R-K方法，如下：
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# lgkt
import numpy as np
def RK(x0, y0, h, n, func):
"""
x0: 初始点x坐标
y0: 初始点y坐标
h: 步长
n: 迭代次数
func: 事先定义好的f(x,y)
"""
x = np.linspace(x0, x0 + (n - 1) * h, num=n)
y = np.zeros_like(x)
y[0] = y0
for i in range(n - 1):
k1 = func(x[i], y[i])
k2 = func(x[i] + h / 2, y[i] + h * k1 / 2)
k3 = func(x[i] + h / 2, y[i] + h * k2 / 2)
k4 = func(x[i] + h, y[i] + h * k3)
y[i + 1] = y[i] + h * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6
return x, y
if __name__ == '__main__':
# y'=f(x,y)=2x/(3y^2)
f = lambda x, y: 2 * x / (3 * y * y)
X, Y = RK(0, 1, h=0.4, n=5, func=f)
print("X=", X)
print("Y=", Y)
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