在一个粗糙的平面上，有一个质量为
1
kg
1\text{kg}
1kg的小木块，小木块的初速度为
0
0
0，小木块与平面的动摩擦因数
μ
=
0.2
\mu=0.2
μ=0.2。有一个拉力
F
F
F拉动小木块从左往右移动，拉力
F
F
F与时间
t
t
t的关系为
F
=
0.3
t
2
−
2.4
t
+
5.6
F=0.3t^2-2.4t+5.6
F=0.3t2−2.4t+5.6。（
g
g
g取
10
N/kg
10\text{N/kg}
10N/kg）
（1）求小木块在前
10
s
10\text{s}
10s的运动距离。
（2）求拉力在前
10
s
10\text{s}
10s对小木块做的功。
解：
\qquad
（1）小木块的动摩擦力为
f
=
μ
F
N
=
μ
m
g
=
2
N
f=\mu F_N=\mu mg=2N
f=μFN=μmg=2N
\qquad 小木块受到向右的作用力为 F 1 = F − f = 0.3 t 2 − 2.4 t + 3.6 F_{1}=F-f=0.3t^2-2.4t+3.6 F1=F−f=0.3t2−2.4t+3.6
\qquad 由牛顿第二定律，小木块的加速度 a = F 1 m = 0.3 t 2 − 2.4 t + 3.6 = 0.3 ( t − 2 ) ( t − 6 ) a=\dfrac{F_1}{m}=0.3t^2-2.4t+3.6=0.3(t-2)(t-6) a=mF1=0.3t2−2.4t+3.6=0.3(t−2)(t−6)
\qquad 则小木块的速度 v = ∫ d v = ∫ a d t = 0.1 t 3 − 1.2 t 2 + 3.6 t + C v=\int dv=\int adt=0.1t^3-1.2t^2+3.6t+C v=∫dv=∫adt=0.1t3−1.2t2+3.6t+C
\qquad 因为小木块的初速度为 0 0 0，所以 t = 0 t=0 t=0时 v = 0 v=0 v=0，得 C = 0 C=0 C=0
\qquad 当速度为 0 0 0且拉力小于小木块的动摩擦力时，小木块受到静摩擦力，加速度为 0 0 0
\qquad 设小木块由受动摩擦力转为静摩擦力的时间为 t 1 t_1 t1，则 t 1 ∈ ( 2 , 6 ) t_1\in (2,6) t1∈(2,6)且 ∫ 0 t 1 a d t = 0 \int_0^{t_1}adt=0 ∫0t1adt=0
\qquad 即 t 1 ∈ ( 2 , 6 ) t_1\in(2,6) t1∈(2,6)且 0.1 t 1 3 − 1.2 t 1 2 + 3.6 t 1 = 0 0.1t_1^3-1.2t_1^2+3.6t_1=0 0.1t13−1.2t12+3.6t1=0，解得 t 1 t_1 t1无解
\qquad 所以小木块一直受到动摩擦力，小木块受到摩擦力恒为 2 N 2N 2N
\qquad 小木块的运动距离为 s = ∫ 0 10 v d t = ∫ 0 10 ( 0.1 t 3 − 1.2 t 2 + 3.6 t ) d t = ( 0.025 t 4 − 0.4 t 3 + 1.8 t 2 ) ∣ 0 10 = 30 m s=\int_0^{10}vdt=\int_0^{10}(0.1t^3-1.2t^2+3.6t)dt=(0.025t^4-0.4t^3+1.8t^2)\bigg\vert_0^{10}=30m s=∫010vdt=∫010(0.1t3−1.2t2+3.6t)dt=(0.025t4−0.4t3+1.8t2) 010=30m
\qquad （2）因为 W = F s = F v t W=Fs=Fvt W=Fs=Fvt
\qquad 所以拉力对小木块做的功 W = ∫ 0 10 F v d t = ∫ 0 10 ( 0.3 t 2 − 2.4 t + 5.6 ) ( 0.1 t 3 − 1.2 t 2 + 3.6 t ) d t W=\int_0^{10}Fvdt=\int_0^ {10}(0.3t^2-2.4t+5.6)(0.1t^3-1.2t^2+3.6t)dt W=∫010Fvdt=∫010(0.3t2−2.4t+5.6)(0.1t3−1.2t2+3.6t)dt
= ∫ 0 10 ( 0.03 t 5 − 0.6 t 4 + 4.52 t 3 − 15.36 t 2 + 20.16 t ) d t \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \ \ =\int_0^{10}(0.03t^5-0.6t^4+4.52t^3-15.36t^2+20.16t)dt =∫010(0.03t5−0.6t4+4.52t3−15.36t2+20.16t)dt
= ( 0.005 t 6 − 0.12 t 5 + 1.13 t 4 − 5.12 t 3 + 10.08 t 2 ) ∣ 0 10 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \ \ =(0.005t^6-0.12t^5+1.13t^4-5.12t^3+10.08t^2)\bigg\vert_0^{10} =(0.005t6−0.12t5+1.13t4−5.12t3+10.08t2) 010文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-618521.html
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