线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型

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第5章 特征值与特征向量、相似矩阵

线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

(一) 特征值与特征向量

1.定义

A A A n n n阶方阵, λ λ λ是一个数,若存在 n n n维非零列向量 ξ ξ ξ,使得 A ξ = λ ξ ( ξ ≠ 0 ) Aξ=λξ \quad (ξ≠0) Aξ=λξ(ξ=0)则称 λ λ λ A A A的特征值, ξ ξ ξ A A A的对应于(属于)特征值 λ λ λ的特征向量。

注:
①只有方阵才有特征值和特征向量
②n阶方阵有n个特征值
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A n × n × ξ n × 1 = λ ξ n × 1 A_{n×n}×ξ_{n×1}=λξ_{n×1} An×n×ξn×1=λξn×1:即矩阵A作用在ξ上的效果,和一个数λ作用在ξ上的效果,是划等号的。即可用这个值来代表这个矩阵,即λ为矩阵的特征值。
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其他概念:
①特征矩阵:λE-A
特征多项式 f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ f(λ)=|λE-A| f(λ)=λEA
③特征方程:f(λ)=|λE-A|=0


2.性质

1.特征值的性质

(1)特征值之和 = 主对角线元素之和: ∑ i = 1 n λ i = ∑ i = 1 n a i i = t r ( A ) \sum\limits_{i=1}^nλ_i=\sum\limits_{i=1}^na_{ii}=tr(A) i=1nλi=i=1naii=tr(A)
特征值之积 = 行列式 : ∏ i = 1 n λ i = ∣ A ∣ \prod\limits_{i=1}^nλ_i=|A| i=1nλi=A

(2)上下三角矩阵、对角阵的主对角线元素,就是特征值

(3)若r(A)=1,则矩阵A的全部特征值为 tr(A),0,0,…,0

(4) f ( x ) f(x) f(x)为多项式,若 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n λ_1,λ_2,...,λ_n λ1,λ2,...,λn为A的特征值,则 f ( λ 1 ) , f ( λ 2 ) , . . . , f ( λ n ) f(λ_1),f(λ_2),...,f(λ_n) f(λ1),f(λ2),...,f(λn) f ( A ) f(A) f(A)的特征值 【17年5.】

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2.特征向量的性质

①k重特征值至多有k个线性无关的特征向量
②不同特征值对应的特征向量线性无关
③特征向量的线性组合,依然为特征向量 (只要求整体非零) (特征向量就是非零齐次解,齐次解的线性组合仍为齐次解)
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3.求解

(1)具体型矩阵

1.求特征值:解 ∣ λ E − A ∣ = 0 |λE-A|=0 λEA=0,求出n个 λ i λ_i λi
2.求特征向量
①将 λ i λ_i λi代回齐次线性方程组 ( λ i E − A ) x = 0 (λ_iE-A)x=0 (λiEA)x=0,求出 ( λ E − A ) x = 0 (λE-A)x=0 (λEA)x=0的基础解系 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ξ_1,ξ_2,...,ξ_n ξ1ξ2...ξn
②矩阵A的属于特征值λ的全部特征向量为:齐次方程组 ( λ E − A ) x = 0 (λE-A)x=0 (λEA)x=0的通解去掉零解,即 k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + . . . + k n ξ n k_1ξ_1+k_2ξ_2+...+k_nξ_n k1ξ1+k2ξ2+...+knξn (k1,k2,…,kn不全为0)

即,特征向量是 ( λ E − A ) x = 0 (λE-A)x=0 (λEA)x=0的非零通解

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三阶多项式分解因式:试根法、多项式带余除法

当该3阶矩阵的特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 |λE-A|=0 λEA=0 不好求特征根时,可全部展开为3次多项式,使用试根法先求出一个根,得到 ( λ − λ 1 ) (λ-λ_1) (λλ1),再用多项式带余除法,得到 ( λ − λ 2 ) ( λ − λ 3 ) (λ-λ_2)(λ-λ_3) (λλ2)(λλ3)

1.试根法
对于 f ( λ ) = a k λ k + . . . + a 3 λ 3 + a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 = 0 f(λ)=a_kλ^k+...+a_3λ^3+a_2λ^2+a_1λ+a_0=0 f(λ)=akλk+...+a3λ3+a2λ2+a1λ+a0=0
①若 a 0 = 0 a_0=0 a0=0,则 f ( λ ) = 0 f(λ)=0 f(λ)=0 是根
②若 系数之和为0,则 f ( λ ) = 1 f(λ)=1 f(λ)=1 是根
③若 奇次方系数 = 偶次方系数,则 f ( λ ) = − 1 f(λ)=-1 f(λ)=1 是根
④若 a k = 1 a_k=1 ak=1,各系数均为整数,则 根均为整数,且 根均为 a 0 a_0 a0的因子


2.多项式带余除法
缺项要补位
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例题1:入门级别,求特征值和特征向量
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答案:
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例题2:真题,不太方便直接求出特征值,可考虑直接展开为3次多项式,用试根法+多项式带余除法
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例题3:性质证明,不同特征值对应的特征向量线性无关
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证明:
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(2)抽象型矩阵: f ( A ) f(A) f(A) f ( λ ) f(λ) f(λ)及特征向量的对应关系表格

A ∗ A^* A的特征值: λ ∗ = ∣ A ∣ λ λ^*=\dfrac{|A|}{λ} λ=λA

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特征向量的性质:特征向量的非零线性组合,仍为特征向量。

①∴求特征向量时,求出基础解系是ξ后,要加k。最终的(全部的) 特征向量为kξ (k≠0)
②已知A的特征向量为ξ,则kA、A-1、A*、Ak、f(A)的特征向量均为ξ
仅有 kA、A-1的特征向量为ξ时,也有A的特征向量为ξ



例题1:
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分析:利用 λ ∗ = ∣ A ∣ λ λ^*=\dfrac{|A|}{λ} λ=λA,求出 A ∗ A^* A的特征值 λ ∗ λ^* λ
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答案:11


例题2:23李林六套卷(六)15.   特征值的性质:主对角线元素之和 = 迹 = 特征值之和
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分析:A*的主对角元素为A₁₁、A₂₂、A₃₃
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答案:1


例题3:18年13.
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分析:特征向量的线性组合也为特征向量
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答案:-1


例题4:21年15.
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分析:
法一:行列式的按行按列展开定理
法二:利用 λ ∗ = ∣ A ∣ λ λ^*=\dfrac{|A|}{λ} λ=λA,求出 A ∗ A^* A的特征值 λ ∗ λ^* λ
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答案: 3 2 \dfrac{3}{2} 23




(二) 相似

相似理论:①A~B ②A~Λ ③应用

1.矩阵相似

1.相似的定义

设A,B为n阶方阵,若存在可逆矩阵P,使得 P-1AP = B,则称 矩阵A与B相似,或称A,B是相似矩阵,记为A~B 。称P为A到B的相似变换矩阵或过渡矩阵。

两矩阵相似:①定义法 ②传递法
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2.相似的性质
(1)相似的必要条件

A ∼ B A\sim B AB,则A、B的 特征多项式、特征值、秩、行列式、迹 相同。若可相似对角化,则相似于同一个对角阵。

①特征多项式相同: ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ E − B ∣ |λE-A|=|λE-B| λEA=λEB
②特征值相同 (特征值相同+实对称矩阵 → 相似)
③秩相等 r ( A ) = r ( B ) r(A)=r(B) r(A)=r(B) r ( λ E − A ) = r ( λ E − B ) r(λE-A)=r(λE-B) r(λEA)=r(λEB)
④行列式相等 ∣ A ∣ = ∣ B ∣ = λ 1 ⋅ λ 2 ⋅ λ 3 |A|=|B|=λ₁·λ₂·λ₃ A=B=λ1λ2λ3   且
⑤迹相等 t r ( A ) = t r ( B ) = λ 1 + λ 2 + λ 3 tr(A)=tr(B)=λ₁+λ₂+λ₃ tr(A)=tr(B)=λ1+λ2+λ3 l
⑥A~B,则A等价于B,即A可通过初等变换化为B


A ∼ B ⇒ { ( 1 ) ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ E − B ∣ ( 2 ) A , B 有相同的特征值 ( 3 ) r ( A ) = r ( B ) ( 4 ) ∣ A ∣ = ∣ B ∣ = ∏ i = 1 n λ n ( 5 ) ∑ i = 1 n a i i = ∑ i = 1 n b i i = ∑ i = 1 n λ i ,即 t r ( A ) = t r ( B ) = t r ( Λ ) A\sim B ⇒ \left\{ \begin{aligned} (1)&|λE-A|=|λE-B| \\ (2)&A,B有相同的特征值 \\ (3)&r(A)=r(B) \\ (4)&|A|=|B|=\prod\limits_{i=1}^nλ_n \\ (5)&\sum\limits_{i=1}^na_{ii}=\sum\limits_{i=1}^nb_{ii}=\sum\limits_{i=1}^nλ_i,即tr(A)=tr(B)=tr(Λ) \end{aligned} \right. AB (1)(2)(3)(4)(5)λEA=λEBA,B有相同的特征值r(A)=r(B)A=B=i=1nλni=1naii=i=1nbii=i=1nλi,即tr(A)=tr(B)=tr(Λ)


(2)若 A ∼ B ,则 { ⇦⇨ A − 1 ∼ B − 1   ( 可逆 ) ⇦⇨ A T ∼ B T ⇨ A ∗ ∼ B ∗ ( 可逆 ) ⇨ f ( A ) ∼ f ( B ) , A m ∼ B m ⇦⇨ A ∼ C , B ∼ C A\sim B,则\left\{ \begin{aligned} ⇦⇨ & A^{-1} \sim B^{-1} \ (可逆) \\ ⇦⇨ & A^T \sim B^T \\ ⇨ & A^* \sim B^* \quad (可逆) \\ ⇨ & f(A) \sim f(B),A^m \sim B^m \\ ⇦⇨ &A\sim C,B\sim C \end{aligned} \right. AB,则 ⇦⇨⇦⇨⇦⇨A1B1 (可逆)ATBTAB(可逆)f(A)f(B)AmBmAC,BC

A~B,若A可逆,则 AB~BA。
证明:∵A可逆 ∴A-1(AB)A=BA ∴AB~BA

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例题1:已知矩阵A、B。要求可逆矩阵P,使得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P1AP=B
分析:
我们没有学过直接相似的定理。都需要经过对角矩阵来实现传递性,即 A ∼ Λ , B ∼ Λ A\sim Λ,B\sim Λ AΛBΛ A ∼ B A\sim B AB。即有 P 1 − 1 A P 1 = Λ , P 2 − 1 B P 2 = Λ P_1^{-1}AP_1=Λ,P_2^{-1}BP_2=Λ P11AP1=ΛP21BP2=Λ ∴ P 1 − 1 A P 1 = P 2 − 1 B P 2 ∴P_1^{-1}AP_1=P_2^{-1}BP_2 P11AP1=P21BP2 ∴ P 2 P 1 − 1 A P 1 P 2 − 1 = B ∴P_2P_1^{-1}AP_1P_2^{-1}=B P2P11AP1P21=B。即 存在 P = P 1 P 2 − 1 P=P_1P_2^{-1} P=P1P21,使得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P1AP=B

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答案: P = P 1 P 2 − 1 P=P_1P_2^{-1} P=P1P21


例题1:P可逆,求AP=PB:P-1AP=B
例题1变式:P不可逆,求AP =PB:解矩阵方程


例题2:880 相似矩阵 基础解答2(Ⅱ)
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例题3:15年21.(1)、20年20.(1)

∵ A ∼ B ∴ { t r ( A ) = t r ( B ) ∣ A ∣ = ∣ B ∣ \quad∵A\sim B \qquad∴\left \{\begin{array}{cc} tr(A) = tr(B)\\ |A|=|B| \end{array}\right. AB{tr(A)=tr(B)A=B


例题2:16年05.
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分析:需要掌握相似性质的证明
已知A~B,则若存在可逆矩阵P使得P-1AP = B。此题额外附加了A、B均为可逆矩阵的条件
①证明:A-1~B-1
∵P-1AP = B
对两边取逆
得 P-1A-1P = B-1,即A-1~B-1

②证明:AT~BT
∵P-1AP=B
对两边取转置
得 PTAT(P-1)T = BT
即 [(PT)-1]-1AT(PT)-1 = BT
令Q = (PT)-1 = (P-1)T,则 Q-1ATQ = BT,则 AT~BT

③在此题A、B均为可逆矩阵的前提下,D正确
P-1AP = B
P-1A-1P = B-1
∴P-1(A+A-1)P = B+B-1

④C,需要A、B均为实对称矩阵

答案:C




3.两矩阵是否相似的判别与证明

1.判断A B 相似:
①定义法: P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P1AP=B,则 A ∼ B A \sim B AB
②传递法: A ∼ Λ 1 , B ∼ Λ 2 , λ A = λ B A\sim Λ₁,B\sim Λ₂,λ_A=λ_B AΛ1,BΛ2λA=λB,则 Λ 1 = Λ 2 Λ₁=Λ₂ Λ1=Λ2,即 A ∼ Λ ∼ B A \sim Λ \sim B AΛB


(1)两个实对称/可相似对角化的矩阵相似的充要条件

两实对称矩阵/两可相似对角化的矩阵 相似 ⇦⇨ 特征多项式相同 ⇦⇨ 特征值全部相同

对于普通矩阵来说,特征多项式相同、特征值相同,只是相似的必要条件。
但对于两个 实对称/可对角化 的矩阵 来说,特征多项式相同、特征值相同等相似的必要条件,就变成了相似的充分必要条件。

证明:
1.若A、B均可相似对角化,且A、B特征值相同,则A、B相似于同一个对角阵。则 P − 1 A P = Λ , A ∼ Λ P − 1 B P = Λ , B ∼ Λ P^{-1}AP=Λ,A\sim Λ \qquad P^{-1}BP=Λ,B\sim Λ P1AP=ΛAΛP1BP=ΛBΛ
由相似的传递性,可知 A ∼ Λ ∼ B , ∴ A ∼ B A\sim Λ \sim B,∴A\sim B AΛBAB

2.若A、B均为实对称矩阵。实对称矩阵一定可以相似对角化,再接1的证明


条件由强到弱依次是:
①实对称
②不对称但可相似对角化
③不对称,也不可相似对角化


(2)非实对称矩阵相似

(1)充要条件:若两矩阵相似,则特征矩阵也相似,则特征矩阵的秩相等。即 A ∼ B   ⇦⇨   k E − A ∼ k E − B A\sim B \ \ ⇦⇨ \ \ kE-A\sim kE-B AB  ⇦⇨  kEAkEB
(2)必要条件:A~B → r(A)=r(B)
λE-A ~ λE-B → r(λE-A) = r(λE-B)

证明:
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例题1:18年5.
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分析:
显然,M、A、B、C、D的特征值均为1,1,1。 M ∼ A   ⇦⇨   k E − M ∼ k E − A   → r ( k E − M ) = r ( k E − A ) M\sim A\ \ ⇦⇨\ \ kE-M\sim kE-A \ → r(kE-M)=r(kE-A) MA  ⇦⇨  kEMkEA r(kEM)=r(kEA)
r(E-M)=2,r(E-A)=2,r(E-B)=r(E-C)=r(E-D)=1,∴E-M~E-A

答案:A


例题2:13年06.   实对称矩阵相似的充要条件:特征值相同
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分析:
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答案:B




2.相似对角化

1.定义

A可相似于对角阵,称为A可相似对角化,即:
对于n阶矩阵A,存在n阶可逆矩阵P,使得 P − 1 A P = Λ = ( λ 1 λ 2 λ 3 ) P^{-1}AP=Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & λ₃\\ \end{array}\right) P1AP=Λ= λ1λ2λ3 ,其中 Λ Λ Λ为对角阵,记作 A ∼ Λ A\sim Λ AΛ,称A可相似对角化。称 Λ Λ Λ是A的相似标准形。P称为A到 Λ Λ Λ的相似变换矩阵或过渡矩阵。


2.相似对角化的条件(n阶矩阵A可相似对角化的条件
n阶矩阵A可相似对角化的条件
充分条件 ①A为实对称矩阵
②A有n个互异的特征值
充要条件 ①A有n个线性无关的特征向量   (A的特征向量构成一组基)
②A的每一个k重特征值,都有k个线性无关的特征向量
k=n-r(λE-A),λ是k重根

k i = n − r ( λ i E − A ) k_i=n-r(λ_iE-A) ki=nr(λiEA) λ i λ_i λi k i k_i ki重根


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注:
1.对于普通矩阵A:
①特征值不同 ( λ 1 ≠ λ 2 λ₁≠λ₂ λ1=λ2):特征向量 ξ 1 ξ 2 ξ₁ξ₂ ξ1ξ2一定线性无关
②特征值相同 ( λ 1 = λ 2 λ₁=λ₂ λ1=λ2):特征向量 ξ 1 ξ 2 ξ₁ξ₂ ξ1ξ2 可能无关,可能相关
2.A可相似对角化最本质的充要条件:A有n个线性无关的特征向量
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3.相似对角化的性质

相似的两矩阵若均可相似对角化,则可以相似于同一个对角矩阵。该对角矩阵的主对角线元素即为特征值 λ1、λ2、λ3



选择、填空

例题1:17年6.   相似对角化的条件
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分析:
A、B为上三角矩阵,C为对角矩阵。显然,A、B、C的特征值均为 2,2,1。
判断A、B是否与C相似, 即A、B能否相似对角化。
由相似对角化的充要条件:2重根,要有2个线性无关的特征向量,n-r(λE-A)=3-1=2 ∴r(λE-A)=1

显然,r(2E-A)=1,而r(2E-B)=2,∴A可以相似对角化,B不可以

答案:B



大题

例题1:给定矩阵A,求可逆矩阵P,使得A可相似对角化,即 P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=Λ P1AP=Λ

步骤:①求特征值与特征向量 ②令 P = ( α 1 , α 2 , α 3 ) P=(α₁,α₂,α₃) P=(α1,α2,α3) ③②验证α₁,α₂,α₃线性无关,若无关则P可逆 ④P可逆,则有 P − 1 A P = Λ = ( λ 1 λ 2 λ 3 ) P^{-1}AP=Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & λ₃\\ \end{array}\right) P1AP=Λ= λ1λ2λ3


例题2:20年20.(2)   同19年21:两矩阵相似,且均可相似对角化
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分析:
(1)①二次型与矩阵的对应关系 ②正交变换也是相似变换
(2) ∵二阶矩阵A、B均有2个互异的特征值,∴A、B均可相似对角化
且∵A~B,∴A、B相似于同一个对角矩阵

设A ~ Λ,则存在可逆矩阵P1使得 P 1 − 1 A P 1 = Λ P_1^{-1}AP_1=Λ P11AP1=Λ
设B ~ Λ,则存在可逆矩阵P2使得 P 2 − 1 B P 2 = Λ P_2^{-1}BP_2=Λ P21BP2=Λ
∴ B = P 2 Λ P 2 − 1 = P 2 P 1 − 1 A P 1 P 2 − 1 ∴B=P_2ΛP_2^{-1}=P_2P_1^{-1}AP_1P_2^{-1} B=P2ΛP21=P2P11AP1P21
P = P 1 P 2 − 1 P=P_1P_2^{-1} P=P1P21 ∴ B = P − 1 A P ∴B=P^{-1}AP B=P1AP

所以,求出P1、P2,得 P = P 1 P 2 − 1 P=P_1P_2^{-1} P=P1P21。对P进行正交化单位化,得正交矩阵Q





4.求可逆矩阵P,使得:① P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=Λ P1AP=Λ P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P1AP=B
(1)求可逆矩阵P,使得 P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=Λ P1AP=Λ

①求出A的全部特征值 λ₁ λ₂ λ₃
②求出A的特征值对应的特征向量 α₁ α₂ α₃
③存在可逆矩阵P=(α₁,α₂,α₃),使得 P − 1 A P = ( λ 1 λ 2 λ 3 ) P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & λ₃\\ \end{array}\right) P1AP= λ1λ2λ3



例题1:880 相似矩阵 基础解答1
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答案:
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例题2:15年21.(2)

求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵
只需求出其特征值,以及对应的n个线性无关的特征向量即可

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分析:
①求特征值:A~B,∴A和B特征值相同。因为B的0更多,特征值更好求,所以用矩阵B来求特征值。
②求特征向量:分别将3个特征值λ代入λE-A,化简矩阵,得线性无关的特征向量


解题步骤:
①|λE-B|= |三阶行列式| =(λ-1)2(λ-5) ∴B的特征值为1,1,5
∵A~B ∴A的特征值也为1,1,5

②将λ=1代入(λE-A)x=0,即(E-A)x=0
E-A =()→(),得A的属于特征值λ=1的线性无关的特征向量为α1=( ),α2=( )

将λ=5代入(λE-A)x=0,即(5E-A)x=0
5E-A=()→(),得A的属于特征值λ=5的线性无关的特征向量为α3=( )

令P=(α123),则P-1AP = ʌ =()

答案:
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(2)求可逆矩阵P,使得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P1AP=B:(A与B相似,A、B均可相似对角化)

①求出A的全部特征值 λ₁ λ₂ λ₃
②求出A的特征值对应的特征向量 α₁ α₂ α₃
③存在可逆矩阵P₁=(α₁,α₂,α₃),使得 P 1 − 1 A P 1 = Λ = ( λ 1 λ 2 λ 3 ) P_1^{-1}AP_1=Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & λ₃\\ \end{array}\right) P11AP1=Λ= λ1λ2λ3

④∵A~B,∴B的特征值也为 λ₁ λ₂ λ₃
⑤求出B的特征值对应的特征向量 β₁ β₂ β₃

⑥存在可逆矩阵P₂=(β₁,β₂,β₃),使得 P 2 − 1 B P 2 = Λ = ( λ 1 λ 2 λ 3 ) P_2^{-1}BP_2=Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & λ₃\\ \end{array}\right) P21BP2=Λ= λ1λ2λ3

⑦∴ P 1 − 1 A P 1 = P 2 − 1 B P 2 P_1^{-1}AP_1=P_2^{-1}BP_2 P11AP1=P21BP2
P 2 P 1 − 1 A P 1 P 2 − 1 = B P_2P_1^{-1}AP_1P_2^{-1}=B P2P11AP1P21=B,即 ( P 1 P 2 − 1 ) − 1 A ( P 1 P 2 − 1 ) = B (P_1P_2^{-1})^{-1}A(P_1P_2^{-1})=B (P1P21)1A(P1P21)=B
P = P 1 P 2 − 1 P=P_1P_2^{-1} P=P1P21,则 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P1AP=B



例题1:19年21.(2)   A、B相似,且A、B均可相似对角化:以各自相似于对角阵为桥梁
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:
A ∼ B A\sim B AB A ∼ Λ , B ∼ Λ A\sim Λ,B\sim Λ AΛBΛ   ∴ A ∼ Λ ∼ B A\sim Λ\sim B AΛB

P 1 − 1 A P 1 = Λ , P 2 − 1 B P 2 = Λ P_1^{-1}AP_1=Λ,P_2^{-1}BP_2=Λ P11AP1=ΛP21BP2=Λ

P 1 − 1 A P 1 = P 2 − 1 B P 2 P_1^{-1}AP_1=P_2^{-1}BP_2 P11AP1=P21BP2,即 P 2 P 1 − 1 A P 1 P 2 − 1 = B P_2P_1^{-1}AP_1P_2^{-1}=B P2P11AP1P21=B,即 ( P 1 P 2 − 1 ) − 1 A P 1 P 2 − 1 = B (P_1P_2^{-1})^{-1}AP_1P_2^{-1}=B (P1P21)1AP1P21=B

P = P 1 P 2 − 1 P=P_1P_2^{-1} P=P1P21,得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P1AP=B

线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型


例题2:24李林四(一)21.
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:
(Ⅰ)求c: r ( λ E − A ) = r ( λ E − B ) r(λE-A)=r(λE-B) r(λEA)=r(λEB),取二重特征值

(Ⅲ) 通解X=k₁α₁+k₂α₂ (k₁,k₂为任意常数)

若求特征向量 ξ=k₁α₁+k₂α₂,则k₁,k₂不全为0

线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型





5.证明题:可逆与相似


例题1:20年21.
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型


例题2:24李林六(一) 21.
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型




3.实对称矩阵的相似对角化

1.实对称矩阵的性质

①实对称矩阵必能相似对角化
②实对称矩阵必有n个线性无关的特征向量
实对称矩阵 不同特征值对应的特征向量一定正交

④实对称矩阵的特征值都是实数
⑤非零的幂零矩阵一定不能相似对角化


①对于任一n阶实对称矩阵A,必存在正交矩阵Q,使得 Q − 1 A Q = Q T A Q = Λ = ( λ 1 λ 2 . . . λ n ) Q^{-1}AQ=Q^TAQ=Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & ...\\ &&& λ_n \end{array}\right) Q1AQ=QTAQ=Λ= λ1λ2...λn
其中 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n λ₁,λ₂,...,λ_n λ1,λ2,...,λn为A的n个实特征值,矩阵Q的列向量为A的依次对应于 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n λ₁,λ₂,...,λ_n λ1,λ2,...,λn的两两正交的单位特征向量



例题1:24李林六(五)21.   实对称矩阵:不同特征值对应的特征向量必正交
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型




2.用正交矩阵Q将 实对称矩阵A 对角化的步骤

根据上述结论,总结出正交变换矩阵Q将实对称矩阵A对角化的步骤为:
(1)求出A的全部特征值 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n λ₁,λ₂,...,λ_n λ1,λ2,...,λn
(2)对每个特征值 λ i λ_i λi,求出其特征向量
(3)将特征向量正交化,再单位化
(4)将这些单位向量作为列向量构成正交矩阵Q,从而有 Q − 1 A Q = Q T A Q = Λ = ( λ 1 λ 2 . . . λ n ) Q^{-1}AQ=Q^TAQ=Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & ...\\ &&& λ_n \end{array}\right) Q1AQ=QTAQ=Λ= λ1λ2...λn



例题1:证明:实对称矩阵不同特征值对应的特征向量一定正交
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型


例题2:23李林四(一)6.
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

答案:B


线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型



3.正交矩阵、正交变换
(1)正交矩阵Q

1.正交矩阵定义: Q Q T = Q T Q = E QQ^T=Q^TQ=E QQT=QTQ=E

两向量正交:内积为0


2.正交矩阵性质:(A,B均为n阶正交矩阵)
(1) Q − 1 = Q T Q^{-1}=Q^T Q1=QT
(2) Q的各行向量两两正交,各列向量两两正交
(3) ∣ Q ∣ = ± 1 |Q|=±1 Q=±1
(4) Q − 1 、 Q T 、 Q B Q^{-1}、Q^T、QB Q1QTQB也是正交阵
(5)方阵Q是正交矩阵的充要条件:Q的列向量组或行向量组为标准正交向量组


3.求正交矩阵Q,使得 Q T A Q \rm Q^TAQ QTAQ为对角矩阵 (A为实对称矩阵):
求A的特征值:即求A的特征方程|λE-A|=0的全部解
求A的特征向量:对求得的每一个特征值,将其代入 ( λ E − A ) x = 0 (λE-A)x=0 (λEA)x=0,求出每个特征值对应的特征向量
③特征向量正交化:施密特正交化
④特征向量单位化。然后组成正交矩阵Q

线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型


(2)正交变换

1.定义:
若Q为正交矩阵,则线性变换X=QY称为正交变换。正交变换属于相似变换,不改变矩阵的特征值。
对任一n阶实对称矩阵A,必存在正交矩阵Q 使得A可以相似对角化,即 Q − 1 A Q = Q T A Q = Λ = ( λ 1 λ 2 . . . λ n ) Q^{-1}AQ=Q^TAQ=Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & ...\\ &&& λ_n \end{array}\right) Q1AQ=QTAQ=Λ= λ1λ2...λn


2.若二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) f(x_1,x_2,x_3) f(x1,x2,x3)在正交变换X=PY下的标准型为 2 y 1 2 + y 2 2 − y 3 2 2y_1^2+y_2^2-y_3^2 2y12+y22y32 ,即 P T A P = ( 2 1 − 1 ) P^TAP=\left(\begin{array}{cc} 2 & & \\ & 1 & \\ && -1 \end{array}\right) PTAP= 211


3.性质:
(1)正交变换保持向量的内积不变
(2)正交变换保持向量的长度不变
(3)正交变换保持向量的夹角不变

只会将图形在坐标系中旋转,而不会拉伸或压缩图形。【正交变换:只旋转,不拉压】


线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型
正交变换,既相似又合同



例题1:11年13.   正交变换不改变矩阵的特征值、行列式=特征值之积
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

答案:1


例题2:22年21.(2)   ①二次型的定义 ②求正交矩阵、正交变换法化二次型为标准型 ③配方法
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型
答案:
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型


例题3:20年20(2)




4.反求参数、反求矩阵A、 A k A^k Ak

P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=Λ P1AP=Λ,则有:
A = P Λ P − 1 A=PΛP^{-1} A=PΛP1
A k = P Λ k P − 1 A^k=PΛ^kP^{-1} Ak=PΛkP1
f ( A ) = P f ( A ) P − 1 f(A)=Pf(A)P^{-1} f(A)=Pf(A)P1



例题1:
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:
f ( λ 1 ) = f ( 1 ) = − 2 , f ( λ 2 ) = f ( 2 ) = − 2 , f ( λ 3 ) = f ( 3 ) = − 2 f(λ₁)=f(1)=-2,f(λ₂)=f(2)=-2,f(λ₃)=f(3)=-2 f(λ1)=f(1)=2f(λ2)=f(2)=2f(λ3)=f(3)=2

B = f ( A ) = P f ( Λ ) P − 1 = P ( f ( λ 1 ) f ( λ 2 ) f ( λ 3 ) ) P − 1 = − 2 P E P − 1 = − 2 E B=f(A)=Pf(Λ)P^{-1}=P\left(\begin{array}{cc} f(λ₁) & & \\ & f(λ₂) & \\ & & f(λ₃)\\ \end{array}\right) P^{-1}=-2PEP^{-1}=-2E B=f(A)=Pf(Λ)P1=P f(λ1)f(λ2)f(λ3) P1=2PEP1=2E

答案:-2E





第6章 二次型

线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

(一) 二次型的定义与矩阵表示

1.二次型定义

二次型的矩阵表达式: f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx
f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) ( x 1 x 2 x 3 ) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a 33 x 3 2 + f(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{cc} a₁₁ & a₁₂ & a₁₃ \\ a₂₁ & a₂₂ & a₂₃ \\ a₃₁ & a₃₂ & a₃₃ \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=a₁₁x₁^2+ a₂₂x₂^2+a₃₃x_3^2+ f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3) a11a21a31a12a22a32a13a23a33 x1x2x3 =a11x12+a22x22+a33x32+ ( a 12 + a 21 ) x 1 x 2 + ( a 13 + a 31 ) x 1 x 3 + ( a 23 + a 32 ) x 2 x 3 (a₁₂+a₂₁)x_1x_2+(a₁₃+a₃₁)x_1x_3+(a₂₃+a₃₂)x_2x_3 (a12+a21)x1x2+(a13+a31)x1x3+(a23+a32)x2x3

A为实对称矩阵 ( A = A T A=A^T A=AT),称为二次型的系数矩阵。

平方项: x i 2 x^2_i xi2、交叉项(混合项): x i x j 、 x j x i x_ix_j、x_jx_i xixjxjxi

线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型



2.二次型的矩阵表示:二次型与矩阵的对应关系

1.看到二次型能写出矩阵,看到矩阵能写出它的二次型。
2.二次型f的矩阵,就是A,不能带x。二次型的定义是 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx



例题1:02年4.
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:对二次型进行正交变换得标准形,实际上就是对矩阵进行相似对角化正交变换得到的标准形对应矩阵都是对角矩阵,标准形系数都是特征值

线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

答案:2


例题2:23李林六套卷(五)15.   二次型定义、合同的定义及性质
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型
答案:
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型



3.二次型与二次曲面

二次型与二次曲面:直接求特征值,根据特征值正负判断曲面类型

f(x,y,z)=1:
①两正一负:单叶双曲面
②一正两负:双叶双曲面
③三正:椭球面
④两正一零:圆柱面

f(x,y,z)=0:
①两正一负/一正两负:圆锥面

线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型



例题1:24李林四(四)7.
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:注意右边 = 0
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

答案:D


例题2:16年06.  二次型与二次曲面
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:求特征值,看正负惯性指数,判断曲面类型
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

答案:B


例题3:880 二次型 基础选择6
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:
解得特征值为-3,3,3。两正一负,为单叶双曲面。

答案:C


例题4:880 二次型 综合选择3
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:
解得特征值为0,3,3。两正一零,为椭圆柱面。

答案:D


例题5:880 二次型 基础选择7
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:椭球面,则特征值全正,对应正定二次型。Δ₁>0,Δ₂>0,Δ₃=|A|>0,取交集得k>0
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

答案:A




(二) 化二次型为标准型、规范型

1.线性变换

(1)可逆线性变换 x=Py

可逆线性变换:①正交变换 ②配方法
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型


(2)正交变换 x=Qy

(3)合同变换:用于解决二次型问题

二次型的矩阵表示总是对称的。任何对称矩阵必可合同于对角矩阵。(实对称矩阵一定可相似对角化,即一定相似于对角矩阵,则一定可合同于对角矩阵)



例题1:23年21.
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型




2.合同

(1)定义

设A,B为n阶方阵。若存在可逆矩阵P,使得 P T A P = B P^TAP=B PTAP=B,则称 矩阵A与B合同。记作 A ≃ B A\simeq B AB
此时称对应的二次型f(x)与g(y)为合同二次型


(2)性质

1.两实对称矩阵A、B合同:
⇦⇨ A、B 正、负惯性指数 相同 【两合同矩阵的正负特征值个数相同】
⇦⇨ A、B 正惯性指数相同 + 秩相同
⇦⇨ p、q、r均相同

线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型


(3)相似与合同

线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

1.相似的必要条件:(用于排除)
①特征值相同 ⇨ 行列式相等、迹相等。若A B为实对称矩阵,则为充要条件
②秩相同: r ( A ) = r ( B ) r(A)=r(B) r(A)=r(B) r ( λ E − A ) = r ( λ E − B ) r(λE-A)=r(λE-B) r(λEA)=r(λEB)


2.合同:
①若A,B合同,则A,B要么都为实对称,要么都不对称。若A,B中一个为实对称,一个不为实对称,则A,B不合同
②合同的必要条件:正负惯性指数相同。若A B为实对称矩阵,则为充要条件
实对称矩阵,若相似,一定合同

对称矩阵和不对称矩阵,不可能合同
证明:设A与B合同,A=AT,B≠BT
存在可逆矩阵P,使得 PTAP=B①。两边取转置得,PTATP=BT
∵A=AT,得PTAP=BT
∵B≠BT ∴①与②矛盾。故对称矩阵与不对称矩阵不合同。

线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型



例题1:24李林六(二)7.
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:
A.A与C均为三角阵,特征值不同,不符合相似的必要条件。A❌
B.A不为实对称矩阵,B为实对称矩阵,A B不合同。B❌
C.D. B与C均为实对称矩阵,则实对称矩阵相似必然合同。若能选D,一定能选C。故只能选C

答案:C


例题2:07年8. 相似与合同:实对称矩阵 线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:
①A与B均为实对称矩阵,若相似 必合同,排除C
②由|λE-A|=0求得A的特征值为3,3,0。对角阵B的特征值为1,1,0。A,B不相似,排除A。
③实对称 + 正惯性指数和秩相同,因此A B合同。

答案:B


例题3:01年9.
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:
A、B均为实对称矩阵,若相似,必合同
A的秩为1,故A的特征值为 λ₁=tr(A)=4,其余为0。对角阵B的特征值也为λ₁=4,λ₂=λ₃=λ₄=0
实对称矩阵,特征值相等 是 相似的充要条件。选A

答案:A


例题4:880 相似矩阵 综合选择3
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:
①与对称阵合同的一定是对称阵,排除A
②由相似的必要条件,迹相同。只有C符合,排除BD

答案:C




3.标准形、规范形

(1)标准形

1.标准形:与对角矩阵对应的二次型 f f f只含有变量的平方项,没有变量的交叉乘积项,即为标准形。
2.由正交矩阵Q通过正交变换x=Qy得到的标准形,其平方项系数为 f f f对应的矩阵A的特征值


(2)规范形

1.规范形:只含有平方项,且平方项的系数仅为 1,-1,0


线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

①为什么要化为“标准形”、“规范形”?
答:标准形、规范形只含平方项,二次型对应的二次曲面方便找出最大值。
②如何化为标准形、规范形?
对A做相似对角化,化为相似的对角阵,主对角线元素均为特征值。满足只含平方项。



例题1:18年20(2)   线性方程组、规范形
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:
(1)平方和为0,则每个括号内都为0



(3)正交变换法 化二次型为标准形:得对角阵,系数为特征值

1.定理
任意给定实二次型 f = x T A x ( A T = A ) f=x^TAx\quad(A^T=A) f=xTAx(AT=A),一定存在正交变换 x = Q y x=Qy x=Qy,使 f f f化为标准形 f = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + . . . + λ n y n 2 f= λ_1y_1^2+λ_2y_2^2+...+λ_ny_n^2 f=λ1y12+λ2y22+...+λnyn2 。其中 λ i ( i = 1 , 2 , . . . , n ) λ_i(i=1,2,...,n) λi(i=1,2,...,n)为二次型矩阵A的特征值。

2.性质
①正交变换相当于对实对称矩阵A做了相似对角化,得到的平方项系数即为A的特征值。【而配方法得到的系数一般不是特征值。】
②正交变换法只能化二次型为标准形,不能化为规范形(除非特征值都属于{1,-1,0})

3.用正交变换化二次型为标准形的步骤:
(1)写出二次型对应的实对称矩阵A
(2)求出A的所有特征值λ₁ λ₂ λ₃ 和 特征向量ξ₁ ξ₂ ξ₃
(3)将特征向量正交化得β₁ β₂ β₃,单位化 得 β₁o β₂o β₃o,得正交矩阵 Q = ( β 1 o β 2 o β 3 o ) = ( λ 1 λ 2 λ 3 ) Q=(β₁^o β₂^o β₃^o)=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & λ₃\\ \end{array}\right) Q=(β1oβ2oβ3o)= λ1λ2λ3
即正交变换 x=Qy 将二次型f化为标准形 λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + λ 3 y 3 2 λ_1y_1^2+λ_2y_2^2+λ_3y_3^2 λ1y12+λ2y22+λ3y32



例题1:15年6.
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

答案:A


例题2:12年21.
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:秩的性质、正交变换的步骤

答案:(1)a = -1



①求 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 0 f(x₁,x₂,x₃)=0 f(x1,x2,x3)=0 的解

利用平方项的和为0,转化为线性方程组



例题1:18年20.(1)


例题2:22年21(3)
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型




(4)配方法 化二次型为标准形、规范形

配方法:
①将某个 x i x_i xi的平方项及与其有关的所有混合项,一次性配成一个完全平方。如此,直到全部配成完全平方项。
②n元要n换,缺项要补项(+0倍 x 3 x_3 x3,令 y 3 = x 3 y_3=x_3 y3=x3),得到 Y = C − 1 X Y=C^{-1}X Y=C1X
③反解出C,即 X=CY

若要化二次型为规范形,只可使用配方法。正交变换法只能化到标准形,正交变换化的标准形的系数是实对称矩阵A的特征值。

线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型



例题1:880 二次型 基础解答1(Ⅱ)   配方法
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:
(Ⅱ)一次解决一个自变量

答案:
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型


例题2:14年13.   配方法求二次型的标准形
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:初等变换改变特征值,相似变换不改变特征值
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

答案:[-2,2]


例题3:没有平方项,创造平方项
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型
分析:化为规范形,只能使用配方法

答案:
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型




(三) 正定二次型

1.惯性定理

惯性定理:可逆线性变换,不改变正负惯性指数
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

①正惯性指数p:正特征值的个数
②负惯性指数q:负特征值的个数。满秩时,负惯性指数为奇数,行列式<0
r = p + q r=p+q r=p+q



例题1:14年13.   正负惯性指数
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:
求特征值时,不可进行初等变换(初等变换会改变特征值),不要化为行最简。此题直接求特征值困难。
满秩时,负惯性指数为奇数,行列式<0

答案:[-2,2]



2.正定二次型、正定矩阵、 二次型正定性的判别
(1)正定的定义

f = x T A x   ( A T = A ) f=x^TAx \ (A^T=A) f=xTAx (AT=A)为实二次型,若对于任意非零向量 x ( x ≠ 0 ) x (x≠0) x(x=0)
(1)恒有 f = x T A x > 0 f=x^TAx >0 f=xTAx>0,则称 f=xTAx 为正定二次型,称矩阵A为正定矩阵
【即,当且仅当 x = 0 x=0 x=0 时,才有 f = x T A x = 0 f=x^TAx=0 f=xTAx=0。当 x ≠ 0 x≠0 x=0 时都有 f = x T A x > 0 f=x^TAx>0 f=xTAx>0,则 f f f为正定二次型
恒有 f = x T A x < 0 f=x^TAx <0 f=xTAx<0,则称 f = x T A x f=x^TAx f=xTAx 为负定二次型,称矩阵A为负定矩阵;

(2)恒有 f = x T A x ≥ 0 f=x^TAx ≥ 0 f=xTAx0,则称 f = x T A x f=x^TAx f=xTAx为 半正定二次型,称矩阵A为半正定矩阵;
恒有 f = x T A x ≤ 0 f=x^TAx ≤ 0 f=xTAx0,则称 f = x T A x f=x^TAx f=xTAx为 半负定二次型,称矩阵A为半负定矩阵;

(3)若 f = x T A x f=x^TAx f=xTAx的值时而为正,时而为负,则称 f = x T A x f=x^TAx f=xTAx 为不定二次型

线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型


(2)正定的性质(充要条件)

矩阵A正定 (抽象型矩阵:先说A是实对称, A T = A A^T=A AT=A,再用充要条件)
⇦⇨ ①A的各阶顺序主子式 Δ i > 0 Δ_i>0 Δi>0 (从左上角或右下角开始都可) 【具体型矩阵】
⇦⇨ ②A的所有特征值均为正值 λ i > 0 λ_i>0 λi>0 【具体型、抽象型】
⇦⇨ ③A的正惯性指数 p = r = n p=r=n p=r=n 【配方法求】
⇦⇨ ④对任意n维非零列向量 x x x,总有 f = x T A x > 0 f=x^TAx>0 f=xTAx>0 (正定的定义)
⇦⇨ ⑤A与单位阵E合同,即 P T A P = E P^TAP=E PTAP=E
⇦⇨ ⑥存在可逆矩阵Q,使得 A = Q T Q A=Q^TQ A=QTQ
 ⇨ ⑦方程组仅有零解 ⇦⇨ |A|≠0

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例题1:880 二次型 基础填空1
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:各阶顺序主子式>0,取交集

答案: − 2 < a < 1 -2<a<1 2<a<1


例题2:880 二次型 综合填空2
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

分析:
r ( A m × n ) = n r(A_{m×n})=n r(Am×n)=n,则矩阵 A T A A^TA ATA正定

答案:n


例题3:设 r ( A m × n ) = n r(A_{m×n})=n r(Am×n)=n,证明:矩阵 A T A A^TA ATA正定
线性代数(应用篇):第五章:特征值与特征向量、第六章:二次型,数学,相似理论,二次型

答案:
对任意x≠0,有XTATAX=(AX)TAX>0,则矩阵ATA正定

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