第5章 特征值与特征向量、相似矩阵
(一) 特征值与特征向量
1.定义
设 A A A是 n n n阶方阵, λ λ λ是一个数,若存在 n n n维非零列向量 ξ ξ ξ,使得 A ξ = λ ξ ( ξ ≠ 0 ) Aξ=λξ \quad (ξ≠0) Aξ=λξ(ξ=0)则称 λ λ λ是 A A A的特征值, ξ ξ ξ是 A A A的对应于(属于)特征值 λ λ λ的特征向量。
注:
①只有方阵才有特征值和特征向量
②n阶方阵有n个特征值
A n × n × ξ n × 1 = λ ξ n × 1 A_{n×n}×ξ_{n×1}=λξ_{n×1} An×n×ξn×1=λξn×1:即矩阵A作用在ξ上的效果,和一个数λ作用在ξ上的效果,是划等号的。即可用这个值来代表这个矩阵,即λ为矩阵的特征值。
其他概念:
①特征矩阵:λE-A
②特征多项式: f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ f(λ)=|λE-A| f(λ)=∣λE−A∣
③特征方程:f(λ)=|λE-A|=0
2.性质
1.特征值的性质
(1)特征值之和 = 主对角线元素之和:
∑
i
=
1
n
λ
i
=
∑
i
=
1
n
a
i
i
=
t
r
(
A
)
\sum\limits_{i=1}^nλ_i=\sum\limits_{i=1}^na_{ii}=tr(A)
i=1∑nλi=i=1∑naii=tr(A)
特征值之积 = 行列式 :
∏
i
=
1
n
λ
i
=
∣
A
∣
\prod\limits_{i=1}^nλ_i=|A|
i=1∏nλi=∣A∣
(2)上下三角矩阵、对角阵的主对角线元素,就是特征值
(3)若r(A)=1,则矩阵A的全部特征值为 tr(A),0,0,…,0
(4)设 f ( x ) f(x) f(x)为多项式,若 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n λ_1,λ_2,...,λ_n λ1,λ2,...,λn为A的特征值,则 f ( λ 1 ) , f ( λ 2 ) , . . . , f ( λ n ) f(λ_1),f(λ_2),...,f(λ_n) f(λ1),f(λ2),...,f(λn)为 f ( A ) f(A) f(A)的特征值 【17年5.】
2.特征向量的性质
①k重特征值至多有k个线性无关的特征向量
②不同特征值对应的特征向量线性无关
③特征向量的线性组合,依然为特征向量 (只要求整体非零) (特征向量就是非零齐次解,齐次解的线性组合仍为齐次解)
3.求解
(1)具体型矩阵
1.求特征值:解
∣
λ
E
−
A
∣
=
0
|λE-A|=0
∣λE−A∣=0,求出n个
λ
i
λ_i
λi
2.求特征向量:
①将
λ
i
λ_i
λi代回齐次线性方程组
(
λ
i
E
−
A
)
x
=
0
(λ_iE-A)x=0
(λiE−A)x=0,求出
(
λ
E
−
A
)
x
=
0
(λE-A)x=0
(λE−A)x=0的基础解系
ξ
1
,
ξ
2
,
.
.
.
,
ξ
n
ξ_1,ξ_2,...,ξ_n
ξ1,ξ2,...,ξn
②矩阵A的属于特征值λ的全部特征向量为:齐次方程组
(
λ
E
−
A
)
x
=
0
(λE-A)x=0
(λE−A)x=0的通解去掉零解,即
k
1
ξ
1
+
k
2
ξ
2
+
.
.
.
+
k
n
ξ
n
k_1ξ_1+k_2ξ_2+...+k_nξ_n
k1ξ1+k2ξ2+...+knξn (k1,k2,…,kn不全为0)
即,特征向量是 ( λ E − A ) x = 0 (λE-A)x=0 (λE−A)x=0的非零通解
三阶多项式分解因式:试根法、多项式带余除法
当该3阶矩阵的特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 |λE-A|=0 ∣λE−A∣=0 不好求特征根时,可全部展开为3次多项式,使用试根法先求出一个根,得到 ( λ − λ 1 ) (λ-λ_1) (λ−λ1),再用多项式带余除法,得到 ( λ − λ 2 ) ( λ − λ 3 ) (λ-λ_2)(λ-λ_3) (λ−λ2)(λ−λ3)
1.试根法
对于
f
(
λ
)
=
a
k
λ
k
+
.
.
.
+
a
3
λ
3
+
a
2
λ
2
+
a
1
λ
+
a
0
=
0
f(λ)=a_kλ^k+...+a_3λ^3+a_2λ^2+a_1λ+a_0=0
f(λ)=akλk+...+a3λ3+a2λ2+a1λ+a0=0
①若
a
0
=
0
a_0=0
a0=0,则
f
(
λ
)
=
0
f(λ)=0
f(λ)=0 是根
②若 系数之和为0,则
f
(
λ
)
=
1
f(λ)=1
f(λ)=1 是根
③若 奇次方系数 = 偶次方系数,则
f
(
λ
)
=
−
1
f(λ)=-1
f(λ)=−1 是根
④若
a
k
=
1
a_k=1
ak=1,各系数均为整数,则 根均为整数,且 根均为
a
0
a_0
a0的因子
2.多项式带余除法
缺项要补位
例题1:入门级别,求特征值和特征向量
答案:
例题2:真题,不太方便直接求出特征值,可考虑直接展开为3次多项式,用试根法+多项式带余除法
例题3:性质证明,不同特征值对应的特征向量线性无关
证明:
(2)抽象型矩阵: f ( A ) f(A) f(A)与 f ( λ ) f(λ) f(λ)及特征向量的对应关系表格
A ∗ A^* A∗的特征值: λ ∗ = ∣ A ∣ λ λ^*=\dfrac{|A|}{λ} λ∗=λ∣A∣
特征向量的性质:特征向量的非零线性组合,仍为特征向量。
①∴求特征向量时,求出基础解系是ξ后,要加k。最终的(全部的) 特征向量为kξ (k≠0)
②已知A的特征向量为ξ,则kA、A-1、A*、Ak、f(A)的特征向量均为ξ
但仅有 kA、A-1的特征向量为ξ时,也有A的特征向量为ξ
例题1:
分析:利用
λ
∗
=
∣
A
∣
λ
λ^*=\dfrac{|A|}{λ}
λ∗=λ∣A∣,求出
A
∗
A^*
A∗的特征值
λ
∗
λ^*
λ∗
答案:11
例题2:23李林六套卷(六)15. 特征值的性质:主对角线元素之和 = 迹 = 特征值之和
分析:A*的主对角元素为A₁₁、A₂₂、A₃₃
答案:1
例题3:18年13.
分析:特征向量的线性组合也为特征向量
答案:-1
例题4:21年15.
分析:
法一:行列式的按行按列展开定理
法二:利用
λ
∗
=
∣
A
∣
λ
λ^*=\dfrac{|A|}{λ}
λ∗=λ∣A∣,求出
A
∗
A^*
A∗的特征值
λ
∗
λ^*
λ∗
答案: 3 2 \dfrac{3}{2} 23
(二) 相似
相似理论:①A~B ②A~Λ ③应用
1.矩阵相似
1.相似的定义
设A,B为n阶方阵,若存在可逆矩阵P,使得 P-1AP = B,则称 矩阵A与B相似,或称A,B是相似矩阵,记为A~B 。称P为A到B的相似变换矩阵或过渡矩阵。
两矩阵相似:①定义法 ②传递法
2.相似的性质
(1)相似的必要条件
若 A ∼ B A\sim B A∼B,则A、B的 特征多项式、特征值、秩、行列式、迹 相同。若可相似对角化,则相似于同一个对角阵。
①特征多项式相同:
∣
λ
E
−
A
∣
=
∣
λ
E
−
B
∣
|λE-A|=|λE-B|
∣λE−A∣=∣λE−B∣
②特征值相同 (特征值相同+实对称矩阵 → 相似)
③秩相等
r
(
A
)
=
r
(
B
)
r(A)=r(B)
r(A)=r(B) 、
r
(
λ
E
−
A
)
=
r
(
λ
E
−
B
)
r(λE-A)=r(λE-B)
r(λE−A)=r(λE−B)
④行列式相等
∣
A
∣
=
∣
B
∣
=
λ
1
⋅
λ
2
⋅
λ
3
|A|=|B|=λ₁·λ₂·λ₃
∣A∣=∣B∣=λ1⋅λ2⋅λ3 且
⑤迹相等
t
r
(
A
)
=
t
r
(
B
)
=
λ
1
+
λ
2
+
λ
3
tr(A)=tr(B)=λ₁+λ₂+λ₃
tr(A)=tr(B)=λ1+λ2+λ3 l
⑥A~B,则A等价于B,即A可通过初等变换化为B
A ∼ B ⇒ { ( 1 ) ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ E − B ∣ ( 2 ) A , B 有相同的特征值 ( 3 ) r ( A ) = r ( B ) ( 4 ) ∣ A ∣ = ∣ B ∣ = ∏ i = 1 n λ n ( 5 ) ∑ i = 1 n a i i = ∑ i = 1 n b i i = ∑ i = 1 n λ i ,即 t r ( A ) = t r ( B ) = t r ( Λ ) A\sim B ⇒ \left\{ \begin{aligned} (1)&|λE-A|=|λE-B| \\ (2)&A,B有相同的特征值 \\ (3)&r(A)=r(B) \\ (4)&|A|=|B|=\prod\limits_{i=1}^nλ_n \\ (5)&\sum\limits_{i=1}^na_{ii}=\sum\limits_{i=1}^nb_{ii}=\sum\limits_{i=1}^nλ_i,即tr(A)=tr(B)=tr(Λ) \end{aligned} \right. A∼B⇒⎩ ⎨ ⎧(1)(2)(3)(4)(5)∣λE−A∣=∣λE−B∣A,B有相同的特征值r(A)=r(B)∣A∣=∣B∣=i=1∏nλni=1∑naii=i=1∑nbii=i=1∑nλi,即tr(A)=tr(B)=tr(Λ)
(2)若 A ∼ B ,则 { ⇦⇨ A − 1 ∼ B − 1 ( 可逆 ) ⇦⇨ A T ∼ B T ⇨ A ∗ ∼ B ∗ ( 可逆 ) ⇨ f ( A ) ∼ f ( B ) , A m ∼ B m ⇦⇨ A ∼ C , B ∼ C A\sim B,则\left\{ \begin{aligned} ⇦⇨ & A^{-1} \sim B^{-1} \ (可逆) \\ ⇦⇨ & A^T \sim B^T \\ ⇨ & A^* \sim B^* \quad (可逆) \\ ⇨ & f(A) \sim f(B),A^m \sim B^m \\ ⇦⇨ &A\sim C,B\sim C \end{aligned} \right. A∼B,则⎩ ⎨ ⎧⇦⇨⇦⇨⇨⇨⇦⇨A−1∼B−1 (可逆)AT∼BTA∗∼B∗(可逆)f(A)∼f(B),Am∼BmA∼C,B∼C
A~B,若A可逆,则 AB~BA。
证明:∵A可逆 ∴A-1(AB)A=BA ∴AB~BA
例题1:已知矩阵A、B。要求可逆矩阵P,使得
P
−
1
A
P
=
B
P^{-1}AP=B
P−1AP=B。
分析:
我们没有学过直接相似的定理。都需要经过对角矩阵来实现传递性,即
A
∼
Λ
,
B
∼
Λ
A\sim Λ,B\sim Λ
A∼Λ,B∼Λ ⇨
A
∼
B
A\sim B
A∼B。即有
P
1
−
1
A
P
1
=
Λ
,
P
2
−
1
B
P
2
=
Λ
P_1^{-1}AP_1=Λ,P_2^{-1}BP_2=Λ
P1−1AP1=Λ,P2−1BP2=Λ,
∴
P
1
−
1
A
P
1
=
P
2
−
1
B
P
2
∴P_1^{-1}AP_1=P_2^{-1}BP_2
∴P1−1AP1=P2−1BP2,
∴
P
2
P
1
−
1
A
P
1
P
2
−
1
=
B
∴P_2P_1^{-1}AP_1P_2^{-1}=B
∴P2P1−1AP1P2−1=B。即 存在
P
=
P
1
P
2
−
1
P=P_1P_2^{-1}
P=P1P2−1,使得
P
−
1
A
P
=
B
P^{-1}AP=B
P−1AP=B
答案: P = P 1 P 2 − 1 P=P_1P_2^{-1} P=P1P2−1
例题1:P可逆,求AP=PB:P-1AP=B
例题1变式:P不可逆,求AP =PB:解矩阵方程
例题2:880 相似矩阵 基础解答2(Ⅱ)
例题3:15年21.(1)、20年20.(1)
∵ A ∼ B ∴ { t r ( A ) = t r ( B ) ∣ A ∣ = ∣ B ∣ \quad∵A\sim B \qquad∴\left \{\begin{array}{cc} tr(A) = tr(B)\\ |A|=|B| \end{array}\right. ∵A∼B∴{tr(A)=tr(B)∣A∣=∣B∣
例题2:16年05.
分析:需要掌握相似性质的证明
已知A~B,则若存在可逆矩阵P使得P-1AP = B。此题额外附加了A、B均为可逆矩阵的条件
①证明:A-1~B-1
∵P-1AP = B
对两边取逆
得 P-1A-1P = B-1,即A-1~B-1
②证明:AT~BT
∵P-1AP=B
对两边取转置
得 PTAT(P-1)T = BT
即 [(PT)-1]-1AT(PT)-1 = BT
令Q = (PT)-1 = (P-1)T,则 Q-1ATQ = BT,则 AT~BT
③在此题A、B均为可逆矩阵的前提下,D正确
P-1AP = B
P-1A-1P = B-1
∴P-1(A+A-1)P = B+B-1
④C,需要A、B均为实对称矩阵
答案:C
3.两矩阵是否相似的判别与证明
1.判断A B 相似:
①定义法:
P
−
1
A
P
=
B
P^{-1}AP=B
P−1AP=B,则
A
∼
B
A \sim B
A∼B
②传递法:
A
∼
Λ
1
,
B
∼
Λ
2
,
λ
A
=
λ
B
A\sim Λ₁,B\sim Λ₂,λ_A=λ_B
A∼Λ1,B∼Λ2,λA=λB,则
Λ
1
=
Λ
2
Λ₁=Λ₂
Λ1=Λ2,即
A
∼
Λ
∼
B
A \sim Λ \sim B
A∼Λ∼B
(1)两个实对称/可相似对角化的矩阵相似的充要条件
两实对称矩阵/两可相似对角化的矩阵 相似 ⇦⇨ 特征多项式相同 ⇦⇨ 特征值全部相同
对于普通矩阵来说,特征多项式相同、特征值相同,只是相似的必要条件。
但对于两个 实对称/可对角化 的矩阵 来说,特征多项式相同、特征值相同等相似的必要条件,就变成了相似的充分必要条件。
证明:
1.若A、B均可相似对角化,且A、B特征值相同,则A、B相似于同一个对角阵。则
P
−
1
A
P
=
Λ
,
A
∼
Λ
P
−
1
B
P
=
Λ
,
B
∼
Λ
P^{-1}AP=Λ,A\sim Λ \qquad P^{-1}BP=Λ,B\sim Λ
P−1AP=Λ,A∼ΛP−1BP=Λ,B∼Λ
由相似的传递性,可知
A
∼
Λ
∼
B
,
∴
A
∼
B
A\sim Λ \sim B,∴A\sim B
A∼Λ∼B,∴A∼B
2.若A、B均为实对称矩阵。实对称矩阵一定可以相似对角化,再接1的证明
条件由强到弱依次是:
①实对称
②不对称但可相似对角化
③不对称,也不可相似对角化
(2)非实对称矩阵相似
(1)充要条件:若两矩阵相似,则特征矩阵也相似,则特征矩阵的秩相等。即
A
∼
B
⇦⇨
k
E
−
A
∼
k
E
−
B
A\sim B \ \ ⇦⇨ \ \ kE-A\sim kE-B
A∼B ⇦⇨ kE−A∼kE−B
(2)必要条件:A~B → r(A)=r(B)
λE-A ~ λE-B → r(λE-A) = r(λE-B)
证明:
例题1:18年5.
分析:
显然,M、A、B、C、D的特征值均为1,1,1。
M
∼
A
⇦⇨
k
E
−
M
∼
k
E
−
A
→
r
(
k
E
−
M
)
=
r
(
k
E
−
A
)
M\sim A\ \ ⇦⇨\ \ kE-M\sim kE-A \ → r(kE-M)=r(kE-A)
M∼A ⇦⇨ kE−M∼kE−A →r(kE−M)=r(kE−A)
r(E-M)=2,r(E-A)=2,r(E-B)=r(E-C)=r(E-D)=1,∴E-M~E-A
答案:A
例题2:13年06. 实对称矩阵相似的充要条件:特征值相同
分析:
答案:B
2.相似对角化
1.定义
A可相似于对角阵,称为A可相似对角化,即:
对于n阶矩阵A,存在n阶可逆矩阵P,使得
P
−
1
A
P
=
Λ
=
(
λ
1
λ
2
λ
3
)
P^{-1}AP=Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & λ₃\\ \end{array}\right)
P−1AP=Λ=
λ1λ2λ3
,其中
Λ
Λ
Λ为对角阵,记作
A
∼
Λ
A\sim Λ
A∼Λ,称A可相似对角化。称
Λ
Λ
Λ是A的相似标准形。P称为A到
Λ
Λ
Λ的相似变换矩阵或过渡矩阵。
2.相似对角化的条件(n阶矩阵A可相似对角化的条件)
n阶矩阵A可相似对角化的条件 | |
充分条件 | ①A为实对称矩阵 |
②A有n个互异的特征值 | |
充要条件 | ①A有n个线性无关的特征向量 (A的特征向量构成一组基) |
②A的每一个k重特征值,都有k个线性无关的特征向量 即 k=n-r(λE-A),λ是k重根 |
② k i = n − r ( λ i E − A ) k_i=n-r(λ_iE-A) ki=n−r(λiE−A), λ i λ_i λi是 k i k_i ki重根
注:
1.对于普通矩阵A:
①特征值不同 ( λ 1 ≠ λ 2 λ₁≠λ₂ λ1=λ2):特征向量 ξ 1 ξ 2 ξ₁ξ₂ ξ1ξ2一定线性无关
②特征值相同 ( λ 1 = λ 2 λ₁=λ₂ λ1=λ2):特征向量 ξ 1 ξ 2 ξ₁ξ₂ ξ1ξ2 可能无关,可能相关
2.A可相似对角化最本质的充要条件:A有n个线性无关的特征向量
3.相似对角化的性质
相似的两矩阵若均可相似对角化,则可以相似于同一个对角矩阵。该对角矩阵的主对角线元素即为特征值 λ1、λ2、λ3
选择、填空:
例题1:17年6. 相似对角化的条件
分析:
A、B为上三角矩阵,C为对角矩阵。显然,A、B、C的特征值均为 2,2,1。
判断A、B是否与C相似, 即A、B能否相似对角化。
由相似对角化的充要条件:2重根,要有2个线性无关的特征向量,n-r(λE-A)=3-1=2 ∴r(λE-A)=1
显然,r(2E-A)=1,而r(2E-B)=2,∴A可以相似对角化,B不可以
答案:B
大题:
例题1:给定矩阵A,求可逆矩阵P,使得A可相似对角化,即 P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=Λ P−1AP=Λ
步骤:①求特征值与特征向量 ②令 P = ( α 1 , α 2 , α 3 ) P=(α₁,α₂,α₃) P=(α1,α2,α3) ③②验证α₁,α₂,α₃线性无关,若无关则P可逆 ④P可逆,则有 P − 1 A P = Λ = ( λ 1 λ 2 λ 3 ) P^{-1}AP=Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & λ₃\\ \end{array}\right) P−1AP=Λ= λ1λ2λ3
例题2:20年20.(2) 同19年21:两矩阵相似,且均可相似对角化
分析:
(1)①二次型与矩阵的对应关系 ②正交变换也是相似变换
(2) ∵二阶矩阵A、B均有2个互异的特征值,∴A、B均可相似对角化
且∵A~B,∴A、B相似于同一个对角矩阵
设A ~ Λ,则存在可逆矩阵P1使得
P
1
−
1
A
P
1
=
Λ
P_1^{-1}AP_1=Λ
P1−1AP1=Λ
设B ~ Λ,则存在可逆矩阵P2使得
P
2
−
1
B
P
2
=
Λ
P_2^{-1}BP_2=Λ
P2−1BP2=Λ
∴
B
=
P
2
Λ
P
2
−
1
=
P
2
P
1
−
1
A
P
1
P
2
−
1
∴B=P_2ΛP_2^{-1}=P_2P_1^{-1}AP_1P_2^{-1}
∴B=P2ΛP2−1=P2P1−1AP1P2−1
令
P
=
P
1
P
2
−
1
P=P_1P_2^{-1}
P=P1P2−1,
∴
B
=
P
−
1
A
P
∴B=P^{-1}AP
∴B=P−1AP
所以,求出P1、P2,得 P = P 1 P 2 − 1 P=P_1P_2^{-1} P=P1P2−1。对P进行正交化单位化,得正交矩阵Q
4.求可逆矩阵P,使得:① P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=Λ P−1AP=Λ ② P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B
(1)求可逆矩阵P,使得 P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=Λ P−1AP=Λ
①求出A的全部特征值 λ₁ λ₂ λ₃
②求出A的特征值对应的特征向量 α₁ α₂ α₃
③存在可逆矩阵P=(α₁,α₂,α₃),使得
P
−
1
A
P
=
(
λ
1
λ
2
λ
3
)
P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & λ₃\\ \end{array}\right)
P−1AP=
λ1λ2λ3
例题1:880 相似矩阵 基础解答1
答案:
例题2:15年21.(2)
求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵:
只需求出其特征值,以及对应的n个线性无关的特征向量即可
分析:
①求特征值:A~B,∴A和B特征值相同。因为B的0更多,特征值更好求,所以用矩阵B来求特征值。
②求特征向量:分别将3个特征值λ代入λE-A,化简矩阵,得线性无关的特征向量
解题步骤:
①|λE-B|= |三阶行列式| =(λ-1)2(λ-5) ∴B的特征值为1,1,5
∵A~B ∴A的特征值也为1,1,5
②将λ=1代入(λE-A)x=0,即(E-A)x=0
E-A =()→(),得A的属于特征值λ=1的线性无关的特征向量为α1=( ),α2=( )
将λ=5代入(λE-A)x=0,即(5E-A)x=0
5E-A=()→(),得A的属于特征值λ=5的线性无关的特征向量为α3=( )
令P=(α1,α2,α3),则P-1AP = ʌ =()
答案:
(2)求可逆矩阵P,使得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B:(A与B相似,A、B均可相似对角化)
①求出A的全部特征值 λ₁ λ₂ λ₃
②求出A的特征值对应的特征向量 α₁ α₂ α₃
③存在可逆矩阵P₁=(α₁,α₂,α₃),使得
P
1
−
1
A
P
1
=
Λ
=
(
λ
1
λ
2
λ
3
)
P_1^{-1}AP_1=Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & λ₃\\ \end{array}\right)
P1−1AP1=Λ=
λ1λ2λ3
④∵A~B,∴B的特征值也为 λ₁ λ₂ λ₃
⑤求出B的特征值对应的特征向量 β₁ β₂ β₃
⑥存在可逆矩阵P₂=(β₁,β₂,β₃),使得 P 2 − 1 B P 2 = Λ = ( λ 1 λ 2 λ 3 ) P_2^{-1}BP_2=Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & λ₃\\ \end{array}\right) P2−1BP2=Λ= λ1λ2λ3
⑦∴
P
1
−
1
A
P
1
=
P
2
−
1
B
P
2
P_1^{-1}AP_1=P_2^{-1}BP_2
P1−1AP1=P2−1BP2
∴
P
2
P
1
−
1
A
P
1
P
2
−
1
=
B
P_2P_1^{-1}AP_1P_2^{-1}=B
P2P1−1AP1P2−1=B,即
(
P
1
P
2
−
1
)
−
1
A
(
P
1
P
2
−
1
)
=
B
(P_1P_2^{-1})^{-1}A(P_1P_2^{-1})=B
(P1P2−1)−1A(P1P2−1)=B
令
P
=
P
1
P
2
−
1
P=P_1P_2^{-1}
P=P1P2−1,则
P
−
1
A
P
=
B
P^{-1}AP=B
P−1AP=B
例题1:19年21.(2) A、B相似,且A、B均可相似对角化:以各自相似于对角阵为桥梁
分析:
A
∼
B
A\sim B
A∼B ⇨
A
∼
Λ
,
B
∼
Λ
A\sim Λ,B\sim Λ
A∼Λ,B∼Λ ∴
A
∼
Λ
∼
B
A\sim Λ\sim B
A∼Λ∼B
∴ P 1 − 1 A P 1 = Λ , P 2 − 1 B P 2 = Λ P_1^{-1}AP_1=Λ,P_2^{-1}BP_2=Λ P1−1AP1=Λ,P2−1BP2=Λ
∴ P 1 − 1 A P 1 = P 2 − 1 B P 2 P_1^{-1}AP_1=P_2^{-1}BP_2 P1−1AP1=P2−1BP2,即 P 2 P 1 − 1 A P 1 P 2 − 1 = B P_2P_1^{-1}AP_1P_2^{-1}=B P2P1−1AP1P2−1=B,即 ( P 1 P 2 − 1 ) − 1 A P 1 P 2 − 1 = B (P_1P_2^{-1})^{-1}AP_1P_2^{-1}=B (P1P2−1)−1AP1P2−1=B
令 P = P 1 P 2 − 1 P=P_1P_2^{-1} P=P1P2−1,得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B
例题2:24李林四(一)21.
分析:
(Ⅰ)求c:
r
(
λ
E
−
A
)
=
r
(
λ
E
−
B
)
r(λE-A)=r(λE-B)
r(λE−A)=r(λE−B),取二重特征值
(Ⅲ) 通解X=k₁α₁+k₂α₂ (k₁,k₂为任意常数)
若求特征向量 ξ=k₁α₁+k₂α₂,则k₁,k₂不全为0
5.证明题:可逆与相似
例题1:20年21.
例题2:24李林六(一) 21.
3.实对称矩阵的相似对角化
1.实对称矩阵的性质
①实对称矩阵必能相似对角化
②实对称矩阵必有n个线性无关的特征向量
③实对称矩阵 不同特征值对应的特征向量一定正交
④实对称矩阵的特征值都是实数
⑤非零的幂零矩阵一定不能相似对角化
①对于任一n阶实对称矩阵A,必存在正交矩阵Q,使得
Q
−
1
A
Q
=
Q
T
A
Q
=
Λ
=
(
λ
1
λ
2
.
.
.
λ
n
)
Q^{-1}AQ=Q^TAQ=Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & ...\\ &&& λ_n \end{array}\right)
Q−1AQ=QTAQ=Λ=
λ1λ2...λn
其中
λ
1
,
λ
2
,
.
.
.
,
λ
n
λ₁,λ₂,...,λ_n
λ1,λ2,...,λn为A的n个实特征值,矩阵Q的列向量为A的依次对应于
λ
1
,
λ
2
,
.
.
.
,
λ
n
λ₁,λ₂,...,λ_n
λ1,λ2,...,λn的两两正交的单位特征向量
例题1:24李林六(五)21. 实对称矩阵:不同特征值对应的特征向量必正交
2.用正交矩阵Q将 实对称矩阵A 对角化的步骤
根据上述结论,总结出正交变换矩阵Q将实对称矩阵A对角化的步骤为:
(1)求出A的全部特征值
λ
1
,
λ
2
,
.
.
.
,
λ
n
λ₁,λ₂,...,λ_n
λ1,λ2,...,λn
(2)对每个特征值
λ
i
λ_i
λi,求出其特征向量
(3)将特征向量正交化,再单位化
(4)将这些单位向量作为列向量构成正交矩阵Q,从而有
Q
−
1
A
Q
=
Q
T
A
Q
=
Λ
=
(
λ
1
λ
2
.
.
.
λ
n
)
Q^{-1}AQ=Q^TAQ=Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & ...\\ &&& λ_n \end{array}\right)
Q−1AQ=QTAQ=Λ=
λ1λ2...λn
例题1:证明:实对称矩阵不同特征值对应的特征向量一定正交
例题2:23李林四(一)6.
分析:
答案:B
3.正交矩阵、正交变换
(1)正交矩阵Q
1.正交矩阵定义: Q Q T = Q T Q = E QQ^T=Q^TQ=E QQT=QTQ=E
两向量正交:内积为0
2.正交矩阵性质:(A,B均为n阶正交矩阵)
(1)
Q
−
1
=
Q
T
Q^{-1}=Q^T
Q−1=QT
(2) Q的各行向量两两正交,各列向量两两正交
(3)
∣
Q
∣
=
±
1
|Q|=±1
∣Q∣=±1
(4)
Q
−
1
、
Q
T
、
Q
B
Q^{-1}、Q^T、QB
Q−1、QT、QB也是正交阵
(5)方阵Q是正交矩阵的充要条件:Q的列向量组或行向量组为标准正交向量组
3.求正交矩阵Q,使得
Q
T
A
Q
\rm Q^TAQ
QTAQ为对角矩阵 (A为实对称矩阵):
①求A的特征值:即求A的特征方程|λE-A|=0的全部解
②求A的特征向量:对求得的每一个特征值,将其代入
(
λ
E
−
A
)
x
=
0
(λE-A)x=0
(λE−A)x=0,求出每个特征值对应的特征向量
③特征向量正交化:施密特正交化
④特征向量单位化。然后组成正交矩阵Q
(2)正交变换
1.定义:
若Q为正交矩阵,则线性变换X=QY称为正交变换。正交变换属于相似变换,不改变矩阵的特征值。
对任一n阶实对称矩阵A,必存在正交矩阵Q 使得A可以相似对角化,即
Q
−
1
A
Q
=
Q
T
A
Q
=
Λ
=
(
λ
1
λ
2
.
.
.
λ
n
)
Q^{-1}AQ=Q^TAQ=Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & ...\\ &&& λ_n \end{array}\right)
Q−1AQ=QTAQ=Λ=
λ1λ2...λn
2.若二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) f(x_1,x_2,x_3) f(x1,x2,x3)在正交变换X=PY下的标准型为 2 y 1 2 + y 2 2 − y 3 2 2y_1^2+y_2^2-y_3^2 2y12+y22−y32 ,即 P T A P = ( 2 1 − 1 ) P^TAP=\left(\begin{array}{cc} 2 & & \\ & 1 & \\ && -1 \end{array}\right) PTAP= 21−1
3.性质:
(1)正交变换保持向量的内积不变
(2)正交变换保持向量的长度不变
(3)正交变换保持向量的夹角不变
只会将图形在坐标系中旋转,而不会拉伸或压缩图形。【正交变换:只旋转,不拉压】
正交变换,既相似又合同
例题1:11年13. 正交变换不改变矩阵的特征值、行列式=特征值之积
分析:
答案:1
例题2:22年21.(2) ①二次型的定义 ②求正交矩阵、正交变换法化二次型为标准型 ③配方法
答案:
例题3:20年20(2)
4.反求参数、反求矩阵A、 A k A^k Ak
P
−
1
A
P
=
Λ
P^{-1}AP=Λ
P−1AP=Λ,则有:
①
A
=
P
Λ
P
−
1
A=PΛP^{-1}
A=PΛP−1
②
A
k
=
P
Λ
k
P
−
1
A^k=PΛ^kP^{-1}
Ak=PΛkP−1
③
f
(
A
)
=
P
f
(
A
)
P
−
1
f(A)=Pf(A)P^{-1}
f(A)=Pf(A)P−1
例题1:
分析:
f
(
λ
1
)
=
f
(
1
)
=
−
2
,
f
(
λ
2
)
=
f
(
2
)
=
−
2
,
f
(
λ
3
)
=
f
(
3
)
=
−
2
f(λ₁)=f(1)=-2,f(λ₂)=f(2)=-2,f(λ₃)=f(3)=-2
f(λ1)=f(1)=−2,f(λ2)=f(2)=−2,f(λ3)=f(3)=−2
B = f ( A ) = P f ( Λ ) P − 1 = P ( f ( λ 1 ) f ( λ 2 ) f ( λ 3 ) ) P − 1 = − 2 P E P − 1 = − 2 E B=f(A)=Pf(Λ)P^{-1}=P\left(\begin{array}{cc} f(λ₁) & & \\ & f(λ₂) & \\ & & f(λ₃)\\ \end{array}\right) P^{-1}=-2PEP^{-1}=-2E B=f(A)=Pf(Λ)P−1=P f(λ1)f(λ2)f(λ3) P−1=−2PEP−1=−2E
答案:-2E
第6章 二次型
(一) 二次型的定义与矩阵表示
1.二次型定义
二次型的矩阵表达式:
f
(
x
)
=
x
T
A
x
f(x)=x^TAx
f(x)=xTAx
即
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
(
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
)
(
x
1
x
2
x
3
)
=
a
11
x
1
2
+
a
22
x
2
2
+
a
33
x
3
2
+
f(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{cc} a₁₁ & a₁₂ & a₁₃ \\ a₂₁ & a₂₂ & a₂₃ \\ a₃₁ & a₃₂ & a₃₃ \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=a₁₁x₁^2+ a₂₂x₂^2+a₃₃x_3^2+
f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)
a11a21a31a12a22a32a13a23a33
x1x2x3
=a11x12+a22x22+a33x32+
(
a
12
+
a
21
)
x
1
x
2
+
(
a
13
+
a
31
)
x
1
x
3
+
(
a
23
+
a
32
)
x
2
x
3
(a₁₂+a₂₁)x_1x_2+(a₁₃+a₃₁)x_1x_3+(a₂₃+a₃₂)x_2x_3
(a12+a21)x1x2+(a13+a31)x1x3+(a23+a32)x2x3
A为实对称矩阵 ( A = A T A=A^T A=AT),称为二次型的系数矩阵。
平方项: x i 2 x^2_i xi2、交叉项(混合项): x i x j 、 x j x i x_ix_j、x_jx_i xixj、xjxi
2.二次型的矩阵表示:二次型与矩阵的对应关系
1.看到二次型能写出矩阵,看到矩阵能写出它的二次型。
2.二次型f的矩阵,就是A,不能带x。二次型的定义是
f
(
x
)
=
x
T
A
x
f(x)=x^TAx
f(x)=xTAx
例题1:02年4.
分析:对二次型进行正交变换得标准形,实际上就是对矩阵进行相似对角化。正交变换得到的标准形对应矩阵都是对角矩阵,标准形系数都是特征值。
答案:2
例题2:23李林六套卷(五)15. 二次型定义、合同的定义及性质
答案:
3.二次型与二次曲面
二次型与二次曲面:直接求特征值,根据特征值正负判断曲面类型
f(x,y,z)=1:
①两正一负:单叶双曲面
②一正两负:双叶双曲面
③三正:椭球面
④两正一零:圆柱面
f(x,y,z)=0:
①两正一负/一正两负:圆锥面
例题1:24李林四(四)7.
分析:注意右边 = 0
答案:D
例题2:16年06. 二次型与二次曲面
分析:求特征值,看正负惯性指数,判断曲面类型
答案:B
例题3:880 二次型 基础选择6
分析:
解得特征值为-3,3,3。两正一负,为单叶双曲面。
答案:C
例题4:880 二次型 综合选择3
分析:
解得特征值为0,3,3。两正一零,为椭圆柱面。
答案:D
例题5:880 二次型 基础选择7
分析:椭球面,则特征值全正,对应正定二次型。Δ₁>0,Δ₂>0,Δ₃=|A|>0,取交集得k>0
答案:A
(二) 化二次型为标准型、规范型
1.线性变换
(1)可逆线性变换 x=Py
可逆线性变换:①正交变换 ②配方法
(2)正交变换 x=Qy
(3)合同变换:用于解决二次型问题
二次型的矩阵表示总是对称的。任何对称矩阵必可合同于对角矩阵。(实对称矩阵一定可相似对角化,即一定相似于对角矩阵,则一定可合同于对角矩阵)
例题1:23年21.
2.合同
(1)定义
设A,B为n阶方阵。若存在可逆矩阵P,使得
P
T
A
P
=
B
P^TAP=B
PTAP=B,则称 矩阵A与B合同。记作
A
≃
B
A\simeq B
A≃B。
此时称对应的二次型f(x)与g(y)为合同二次型。
(2)性质
1.两实对称矩阵A、B合同:
⇦⇨ A、B 正、负惯性指数 相同 【两合同矩阵的正负特征值个数相同】
⇦⇨ A、B 正惯性指数相同 + 秩相同
⇦⇨ p、q、r均相同
(3)相似与合同
1.相似的必要条件:(用于排除)
①特征值相同 ⇨ 行列式相等、迹相等。若A B为实对称矩阵,则为充要条件。
②秩相同:
r
(
A
)
=
r
(
B
)
r(A)=r(B)
r(A)=r(B)、
r
(
λ
E
−
A
)
=
r
(
λ
E
−
B
)
r(λE-A)=r(λE-B)
r(λE−A)=r(λE−B)
2.合同:
①若A,B合同,则A,B要么都为实对称,要么都不对称。若A,B中一个为实对称,一个不为实对称,则A,B不合同。
②合同的必要条件:正负惯性指数相同。若A B为实对称矩阵,则为充要条件。
③实对称矩阵,若相似,一定合同
对称矩阵和不对称矩阵,不可能合同
证明:设A与B合同,A=AT,B≠BT。
存在可逆矩阵P,使得 PTAP=B①。两边取转置得,PTATP=BT
∵A=AT,得PTAP=BT②
∵B≠BT ∴①与②矛盾。故对称矩阵与不对称矩阵不合同。
例题1:24李林六(二)7.
分析:
A.A与C均为三角阵,特征值不同,不符合相似的必要条件。A❌
B.A不为实对称矩阵,B为实对称矩阵,A B不合同。B❌
C.D. B与C均为实对称矩阵,则实对称矩阵相似必然合同。若能选D,一定能选C。故只能选C
答案:C
例题2:07年8. 相似与合同:实对称矩阵
分析:
①A与B均为实对称矩阵,若相似 必合同,排除C
②由|λE-A|=0求得A的特征值为3,3,0。对角阵B的特征值为1,1,0。A,B不相似,排除A。
③实对称 + 正惯性指数和秩相同,因此A B合同。
答案:B
例题3:01年9.
分析:
A、B均为实对称矩阵,若相似,必合同
A的秩为1,故A的特征值为 λ₁=tr(A)=4,其余为0。对角阵B的特征值也为λ₁=4,λ₂=λ₃=λ₄=0
实对称矩阵,特征值相等 是 相似的充要条件。选A
答案:A
例题4:880 相似矩阵 综合选择3
分析:
①与对称阵合同的一定是对称阵,排除A
②由相似的必要条件,迹相同。只有C符合,排除BD
答案:C
3.标准形、规范形
(1)标准形
1.标准形:与对角矩阵对应的二次型
f
f
f只含有变量的平方项,没有变量的交叉乘积项,即为标准形。
2.由正交矩阵Q通过正交变换x=Qy得到的标准形,其平方项系数为
f
f
f对应的矩阵A的特征值
(2)规范形
1.规范形:只含有平方项,且平方项的系数仅为 1,-1,0
①为什么要化为“标准形”、“规范形”?
答:标准形、规范形只含平方项,二次型对应的二次曲面方便找出最大值。
②如何化为标准形、规范形?
对A做相似对角化,化为相似的对角阵,主对角线元素均为特征值。满足只含平方项。
例题1:18年20(2) 线性方程组、规范形
分析:
(1)平方和为0,则每个括号内都为0
(3)正交变换法 化二次型为标准形:得对角阵,系数为特征值
1.定理
任意给定实二次型
f
=
x
T
A
x
(
A
T
=
A
)
f=x^TAx\quad(A^T=A)
f=xTAx(AT=A),一定存在正交变换
x
=
Q
y
x=Qy
x=Qy,使
f
f
f化为标准形
f
=
λ
1
y
1
2
+
λ
2
y
2
2
+
.
.
.
+
λ
n
y
n
2
f= λ_1y_1^2+λ_2y_2^2+...+λ_ny_n^2
f=λ1y12+λ2y22+...+λnyn2 。其中
λ
i
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
)
λ_i(i=1,2,...,n)
λi(i=1,2,...,n)为二次型矩阵A的特征值。
2.性质
①正交变换相当于对实对称矩阵A做了相似对角化,得到的平方项系数即为A的特征值。【而配方法得到的系数一般不是特征值。】
②正交变换法只能化二次型为标准形,不能化为规范形(除非特征值都属于{1,-1,0})
3.用正交变换化二次型为标准形的步骤:
(1)写出二次型对应的实对称矩阵A
(2)求出A的所有特征值λ₁ λ₂ λ₃ 和 特征向量ξ₁ ξ₂ ξ₃
(3)将特征向量正交化得β₁ β₂ β₃,单位化 得 β₁o β₂o β₃o,得正交矩阵
Q
=
(
β
1
o
β
2
o
β
3
o
)
=
(
λ
1
λ
2
λ
3
)
Q=(β₁^o β₂^o β₃^o)=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & λ₃\\ \end{array}\right)
Q=(β1oβ2oβ3o)=
λ1λ2λ3
即正交变换 x=Qy 将二次型f化为标准形
λ
1
y
1
2
+
λ
2
y
2
2
+
λ
3
y
3
2
λ_1y_1^2+λ_2y_2^2+λ_3y_3^2
λ1y12+λ2y22+λ3y32
例题1:15年6.
分析:
答案:A
例题2:12年21.
分析:秩的性质、正交变换的步骤
答案:(1)a = -1
①求 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 0 f(x₁,x₂,x₃)=0 f(x1,x2,x3)=0 的解
利用平方项的和为0,转化为线性方程组
例题1:18年20.(1)
例题2:22年21(3)
(4)配方法 化二次型为标准形、规范形
配方法:
①将某个
x
i
x_i
xi的平方项及与其有关的所有混合项,一次性配成一个完全平方。如此,直到全部配成完全平方项。
②n元要n换,缺项要补项(+0倍
x
3
x_3
x3,令
y
3
=
x
3
y_3=x_3
y3=x3),得到
Y
=
C
−
1
X
Y=C^{-1}X
Y=C−1X
③反解出C,即 X=CY
若要化二次型为规范形,只可使用配方法。正交变换法只能化到标准形,正交变换化的标准形的系数是实对称矩阵A的特征值。
例题1:880 二次型 基础解答1(Ⅱ) 配方法
分析:
(Ⅱ)一次解决一个自变量
答案:
例题2:14年13. 配方法求二次型的标准形
分析:初等变换改变特征值,相似变换不改变特征值
答案:[-2,2]
例题3:没有平方项,创造平方项
分析:化为规范形,只能使用配方法
答案:
(三) 正定二次型
1.惯性定理
惯性定理:可逆线性变换,不改变正负惯性指数
①正惯性指数p:正特征值的个数
②负惯性指数q:负特征值的个数。满秩时,负惯性指数为奇数,行列式<0
③
r
=
p
+
q
r=p+q
r=p+q
例题1:14年13. 正负惯性指数
分析:
求特征值时,不可进行初等变换(初等变换会改变特征值),不要化为行最简。此题直接求特征值困难。
满秩时,负惯性指数为奇数,行列式<0
答案:[-2,2]
2.正定二次型、正定矩阵、 二次型正定性的判别
(1)正定的定义
设
f
=
x
T
A
x
(
A
T
=
A
)
f=x^TAx \ (A^T=A)
f=xTAx (AT=A)为实二次型,若对于任意非零向量
x
(
x
≠
0
)
x (x≠0)
x(x=0),
(1)恒有
f
=
x
T
A
x
>
0
f=x^TAx >0
f=xTAx>0,则称 f=xTAx 为正定二次型,称矩阵A为正定矩阵;
【即,当且仅当
x
=
0
x=0
x=0 时,才有
f
=
x
T
A
x
=
0
f=x^TAx=0
f=xTAx=0。当
x
≠
0
x≠0
x=0 时都有
f
=
x
T
A
x
>
0
f=x^TAx>0
f=xTAx>0,则
f
f
f为正定二次型】
恒有
f
=
x
T
A
x
<
0
f=x^TAx <0
f=xTAx<0,则称
f
=
x
T
A
x
f=x^TAx
f=xTAx 为负定二次型,称矩阵A为负定矩阵;
(2)恒有
f
=
x
T
A
x
≥
0
f=x^TAx ≥ 0
f=xTAx≥0,则称
f
=
x
T
A
x
f=x^TAx
f=xTAx为 半正定二次型,称矩阵A为半正定矩阵;
恒有
f
=
x
T
A
x
≤
0
f=x^TAx ≤ 0
f=xTAx≤0,则称
f
=
x
T
A
x
f=x^TAx
f=xTAx为 半负定二次型,称矩阵A为半负定矩阵;
(3)若 f = x T A x f=x^TAx f=xTAx的值时而为正,时而为负,则称 f = x T A x f=x^TAx f=xTAx 为不定二次型
(2)正定的性质(充要条件)
矩阵A正定 (抽象型矩阵:先说A是实对称,
A
T
=
A
A^T=A
AT=A,再用充要条件)
⇦⇨ ①A的各阶顺序主子式
Δ
i
>
0
Δ_i>0
Δi>0 (从左上角或右下角开始都可) 【具体型矩阵】
⇦⇨ ②A的所有特征值均为正值
λ
i
>
0
λ_i>0
λi>0 【具体型、抽象型】
⇦⇨ ③A的正惯性指数
p
=
r
=
n
p=r=n
p=r=n 【配方法求】
⇦⇨ ④对任意n维非零列向量
x
x
x,总有
f
=
x
T
A
x
>
0
f=x^TAx>0
f=xTAx>0 (正定的定义)
⇦⇨ ⑤A与单位阵E合同,即
P
T
A
P
=
E
P^TAP=E
PTAP=E
⇦⇨ ⑥存在可逆矩阵Q,使得
A
=
Q
T
Q
A=Q^TQ
A=QTQ
⇨ ⑦方程组仅有零解 ⇦⇨ |A|≠0
例题1:880 二次型 基础填空1
分析:各阶顺序主子式>0,取交集
答案: − 2 < a < 1 -2<a<1 −2<a<1
例题2:880 二次型 综合填空2
分析:
r
(
A
m
×
n
)
=
n
r(A_{m×n})=n
r(Am×n)=n,则矩阵
A
T
A
A^TA
ATA正定
答案:n
例题3:设
r
(
A
m
×
n
)
=
n
r(A_{m×n})=n
r(Am×n)=n,证明:矩阵
A
T
A
A^TA
ATA正定
答案:
对任意x≠0,有XTATAX=(AX)TAX>0,则矩阵ATA正定文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-619984.html
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