【C++】中位数求解，中位数绝对偏差MAD的应用-Toy模板网

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【C++】中位数求解，中位数绝对偏差MAD的应用,# C++,c++

标准正态分布是一种均值为0、标准差为1的特殊连续概率分布。它的概率密度函数是对称的钟形曲线。

中位数绝对偏差（Median Absolute Deviation，MAD）是一种用于衡量数据集的离散程度的统计量。它衡量了观测值相对于数据集的中位数的平均偏离程度。MAD 的计算过程首先找到数据集的中位数，然后计算每个观测值与中位数的绝对差，并求这些绝对差的中位数。

标准正态分布和 MAD 的关系约为 0.6745 是基于统计推断的结果。具体为沙呢：

对于标准正态分布，约68% 的数据落在均值加减一个标准差的范围内，常见的3sigma原则，约95% 的数据落在均值加减两个标准差的范围内，约99.7% 的数据落在均值加减三个标准差的范围内。这是根据正态分布的性质推导出来的。
中位数绝对偏差（MAD）的特性是，在标准正态分布中，数据集的中位数绝对偏差大约等于标准差乘以一个常数。这个常数约为0.6745。

对于标准正态分布的观测值，约50% 的数据落在中位数加减一个中位数绝对偏差的范围内。而对于标准正态分布，中位数绝对偏差的均值是标准差的某个倍数，经过计算得到约为0.6745。因此，我们可以使用这个常数来近似地将 MAD 转换为标准差的估计值。

需要注意的是，这个关系只在标准正态分布下成立。对于其他分布，该关系可能不准确。但在实际应用中，由于 MAD 具有鲁棒性（对异常值不敏感）和简单计算等优点，因此常常用作统计中的一种离散程度衡量指标。

float MADScaleEstimator::compute(std::vector<float>& errors) const
{
  CHECK(!errors.empty()) << "Error vector is empty.";
  auto it = errors.begin()+std::floor(errors.size()/2);
  std::nth_element(errors.begin(), it, errors.end()); // compute median
  return 1.48f * (*it); // 1.48f / 0.6745
}

这段代码是一个名为 MADScaleEstimator 的函数的实现，它计算给定浮点数向量 errors 的中位数绝对偏差（Median Absolute Deviation，MAD）的估计值。

具体功能如下：

首先，代码使用 CHECK(!errors.empty()) 来确保输入的错误向量 errors 不为空，如果为空，则抛出异常并输出错误信息 “Error vector is empty.”。
然后，代码通过使用标准库函数 std::nth_element 来找到 errors 向量的中位数。std::nth_element 函数在 errors.begin() 和 errors.end() 之间找到第 (errors.size()/2) 个元素，并将其放置在 it 迭代器位置上，从而将 errors 向量分成两部分，左边小于中位数，右边大于等于中位数。
最后，代码返回 1.48f * (*it)，这里使用了常量 1.48f 乘以中位数值 (*it) 来估计中位数绝对偏差（MAD）。这个系数（1.48）是一个经验值，用于将中位数绝对偏差转换成标准差估计的近似值。由于标准正态分布的标准差与 MAD 的关系约为 0.6745，因此 1.48f / 0.6745 用于进行该转换。