「SymPy」符号运算(6) 矩阵Matrix及基础运算

导言

在前几篇文章中，我们学习了SymPy基础/高级用法、方程求解、微积分以及向量运算等内容，本节我们学习SymPy核心内容之一Matrix矩阵计算（基础）。

传送链接：
「SymPy」符号运算(1) 简介/符号/变量/函数/表达式/等式/不等式/运算符
「SymPy」符号运算(2) 各种形式输出、表达式的化简合并与展开
「SymPy」符号运算(3) (非)线性方程(组)求解、数列求和、连乘、求极限
「SymPy」符号运算(4) 微积分与有限差分
「SymPy」符号运算(5) Vector向量及运算

sympy.matrices官方文档¹：https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/matrices.html?highlight=matrix

创建矩阵

SymPy的矩阵模块具有丰富的矩阵初始化方法，类比于NumPy中np.ndarray数组等数据结构的创建方式，Matrix的初始化方法大同小异。

列表初始化

创建一个矩阵M，即创建一个Matrxi实例：

import sympy
from sympy.matrices import Matrix
M = Matrix([[1,0,0], [0,0,0]]);
M

输出：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
如果用sympy.pprint()函数输出，则输出为

[1  0  0]
[       ]
[0  0  0]

Matrices模块处理的是二维数据，一维带符号的数据可以用Matrix或上一篇讲过的vector，高维数据可以用tensor中的array，之后会单开一篇讲到。当然三者也是可以相互转换的。

Matrices创建矩阵时，如果是像上述那样利用两层嵌套列表初始化，则里层括号内的数据为一行。

在刚才创建的矩阵M的基础上添加一行：

Matrix([M, (0,0,-1)])
# 或者 Matrix([M, [0,0,-1])

输出：
[ 1 0 0 0 0 0 0 0 − 1 ] \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1\end{matrix}\right] ​100​000​00−1​ ​

行向量

Matrices也可以创建一维数据集，用两层嵌套列表（两个方括号）创建一行数据得到行向量：

Matrix([[1, 2, 3]])

输出：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]$$

列向量

而如果只用一个方括号（没有嵌套的列表）产生一维Matrices，则得到列向量：

Matrix([1, 2, 3])

输出：
[ 1 2 3 ] \left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right] ​123​ ​

维度和数集

给定矩阵维度为$2\times 3$，元素为$1,2,\dots 6$，则Matrix可以自动按照给定的矩阵大小将给定的数据按行优先填充进去：

Matrix(2, 3, [1, 2, 3, 4, 5, 6])
# Matrix(2, 3, [1, 2, 3, 4, 5])	 # 报错ValueError，给定的数据总数需要与矩阵大小相容

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$$

二元函数

假设我们想要创建的矩阵为$M_{a\times b}$，脚标$a$和$b$对应的元素$m_{ab}$满足二元函数$f(a,b)$ ，则可以将函数名传递给Matirx函数自动创建矩阵：

def f(a, b):
    if a == b:
        return 1
    elif a > b:
        return 2 * a
    else:
        return 0

# 创建4x4矩阵，元素满足函数f(a, b)，其中a,b是整数脚标
Matrix(4, 4, f)

输出：
[ 1 0 0 0 2 1 0 0 4 4 1 0 6 6 6 1 ] \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0\\2 & 1 & 0 & 0\\4 & 4 & 1 & 0\\6 & 6 & 6 & 1\end{matrix}\right] ​1246​0146​0016​0001​ ​

lambda函数

用lambda构造一个二元函数，和前面讲的双变量函数逻辑一样：

# 创建3x4矩阵，元素为 1 - (i+j) % 2，其中i,j是整数脚标
Matrix(3, 4, lambda i,j: 1 - (i+j) % 2)

特殊矩阵

导入：

from sympy.matrices import Matrix, eye, zeros, ones, diag, GramSchmidt

1. 单位矩阵：eye(n)，单位方阵$n\times n$
2. 零矩阵：zeros(n)，零方阵$n\times n$；zeros(n, m)，零矩阵$n\times m$
3. 一矩阵：ones(3)，一方阵$n\times n$；ones(n, m)，一矩阵$n\times m$
4. 对角阵：diag(a, b, c, ...)，对角元素为$a,b,c,\dots$

举例：

from sympy.matrices import Matrix, eye, zeros, ones, diag, GramSchmidt
import sympy
eye(5)

输出：
[ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ] \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] ​10000​01000​00100​00010​00001​ ​

zeros(3, 4)

[ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] ​000​000​000​000​ ​

x, y = sympy.symbols('x y', real = True)
diag(10, Matrix([[x, 4], [6, y]]), eye(2))

[ 10 0 0 0 0 0 x 4 0 0 0 6 y 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ] \left[\begin{matrix}10 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & x & 4 & 0 & 0\\0 & 6 & y & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] ​100000​0x600​04y00​00010​00001​ ​

基本操作

索引

假设有一个$2\times 3$的数组， 元素从$1$到$6$，由一维数据填充得到：

from sympy.matrices import Matrix
import sympy
M = Matrix(2, 3, [1, 2, 3, 4, 5, 6])

可以通过一维索引，索引到第3个元素4

M[3]
# 输出: 4

也可以通过二维索引，索引到第2行第2列的元素：

M[1, 1]
# 输出: 5

也可以切片，返回一个矩阵类型的副本，原矩阵不受影响

M[0:2, 0:2]

输出：
$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 5\end{array}\right]$$

type(M[0:2, 0:2])
# 输出：sympy.matrices.dense.MutableDenseMatrix

索引不仅可以“查”，也可以“改”，修改矩阵某一个元素为符号$x$：

x = sympy.symbols('x')
M[0] = x
M

输出：
$$\left[\begin{array}{ccc}x& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$$

增删

• 增

除了在初始化部分讲过的添加行/列数据的方式外，还可以通过col_insert()或者row_insert()添加（返回副本）

from sympy.matrices import Matrix
M = Matrix(3, 3, list(range(9)))
M1 = Matrix([100, 101, 102])    # 列向量
M.col_insert(1, M1)

输出：
[ 0 100 1 2 3 101 4 5 6 102 7 8 ] \left[\begin{matrix}0 & 100 & 1 & 2\\3 & 101 & 4 & 5\\6 & 102 & 7 & 8\end{matrix}\right] ​036​100101102​147​258​ ​

• 删

删除行或列（直接在原矩阵上修改，无返回值）

from sympy.matrices import Matrix
import sympy
M = Matrix(([1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,10,11,12],[13,14,15,16]))

删除第0行

M.row_del(0)
M

输出：
[ 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ] \left[\begin{matrix}5 & 6 & 7 & 8\\9 & 10 & 11 & 12\\13 & 14 & 15 & 16\end{matrix}\right] ​5913​61014​71115​81216​ ​
再删除最后一列：

M.col_del(-1)
M

[ 5 6 7 9 10 11 13 14 15 ] \left[\begin{matrix}5 & 6 & 7\\9 & 10 & 11\\13 & 14 & 15\end{matrix}\right] ​5913​61014​71115​ ​

• 合并

有两个矩阵

from sympy.matrices import eye, zeros
M1 = eye(3)			# 3x3
M2 = zeros(3, 4)	# 3x4

他们具有相同的行数，可以按行把它们拼起来

M1.row_join(M2)

[ 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] ​100​010​001​000​000​000​000​ ​

另外可以用.col_join()函数按列聚合矩阵，不再赘述。

基础运算

算数运算符都可以直接使用：+, -, *, /, **

数与矩阵相乘时是数乘运算，矩阵与矩阵相乘时是矩阵乘法；乘方同理。

栗子：

from sympy.matrices import Matrix
import sympy
M = Matrix(2, 2, [1, 2, 3, 4])
x = sympy.symbols('x')
# 数乘
x*M

输出：
$$\left[\begin{array}{cc}x& 2x\\ 3x& 4x\end{array}\right]$$

# 矩阵乘法
M*M		# 或M**2

输出：
$$\left[\begin{array}{cc}7& 10\\ 15& 22\end{array}\right]$$
如果相对矩阵内的每个元素做三角函数等特殊函数的运算，可以使用.applyfunc(f)的方法

def f(x):
    return sympy.sin(x)

M.applyfunc(f)

输出：
$$\left[\begin{array}{cc}\sin \left(1\right)& \sin \left(2\right)\\ \sin \left(3\right)& \sin \left(4\right)\end{array}\right]$$

向量运算

先定义两个列向量v1, v2

from sympy.matrices import Matrix
import sympy
v1 = Matrix([1,2,3])
v2 = Matrix([4,5,6])

• 叉乘

v3 = v1.cross(v2)
v3

[ − 3 6 − 3 ] \left[\begin{matrix}-3\\6\\-3\end{matrix}\right] ​−36−3​ ​

• 点乘

v1.dot(v2)
# 输出: 32
v1.dot(v3)
# 输出: 0

关于Matrix符号运算与线性代数的内容十分丰富，官方文档中也用了大量篇幅进行讲解，后续将继续介绍…

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