【深度学习_TensorFlow】梯度下降

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写在前面

一直不太理解梯度下降算法是什么意思，今天我们就解开它神秘的面纱

写在中间

线性回归方程

如果要求出一条直线，我们只需知道直线上的两个不重合的点，就可以通过解方程组来求出直线

但是，如果我们选取的这两个点不在直线上，而是存在误差（暂且称作观测误差），这样求出的直线就会和原直线相差很大，我们应该怎样做呢？首先肯定不能只通过两个点，就武断地求出这条直线。

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我们通常尽可能多地使用分布在直线周围的点，也可能不存在一条直线完美的穿过所有采样点。那么，退而求其次，我们希望能找到一条比较“好”的位于采样点中间的直线。那么怎么衡量“好”与“不好”呢？一个很自然的想法就是，求出当前模型的所有采样点上的预测值𝑤𝑥(𝑖) + 𝑏与真实值𝑦(𝑖)之间的差的平方和作为总误差 $\mathcal{L}$ ，然后搜索一组参数 $w^{*},b^{*}$ 使得 $\mathcal{L}$ 最小，对应的直线就是我们要寻找的最优直线。

$w^*,b^*=\arg\min_{w,b}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bigl(wx^{(i)}+b-y^{(i)}\bigr)^2$

最后再通过梯度下降法来不断优化参数 $w^{*},b^{*}$

有基础的小伙伴们可能知道求误差的方法其实就是均方误差函数，不懂得可以看这篇文章补充养分《误差函数》，我们这篇文章就侧重梯度下降。

梯度下降

函数的梯度定义为函数对各个自变量的偏导数组成的向量。不会的话，翻翻高等数学下册书。

举个例子，对于曲面函数𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)，函数对自变量𝑥的偏导数记为 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ，函数对自变量𝑦的偏导数记为 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ，则梯度∇𝑓为向量 $({\frac{\partial z}{\partial x}},{\frac{\partial z}{\partial y}})$ ，梯度的方向总是指向当前位置函数值增速最大的方向，函数曲面越陡峭，梯度的模也越大。

函数在各处的梯度方向∇𝑓总是指向函数值增大的方向，那么梯度的反方向−∇𝑓应指向函数值减少的方向。利用这一性质，我们只需要按照下式来更新参数，，其中𝜂用来缩放梯度向量，一般设置为某较小的值，如 0.01、0.001 等。

$x'=x-\eta\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

结合上面的回归方程，我们就可对误差函数求偏导，以循环的方式更新参数 $w, b$ ：

$\begin{aligned}w'&=w-\eta\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial w}\\\\b'&=b-\eta\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial b}\end{aligned}$

函数实现

计算过程都需要包裹在 with tf.GradientTape() as tape 上下文中，使得前向计算时能够保存计算图信息，方便自动求导操作。通过tape.gradient()函数求得网络参数到梯度信息，结果保存在 grads 列表变量中。

GradientTape()函数

GradientTape(persistent=False, watch_accessed_variables=True)

persistent：布尔值，用来指定新创建的gradient
tape是否是可持续性的。默认是False，意味着只能够调用一次GradientTape()函数，再次使用会报错
watch_accessed_variables：布尔值，表明GradientTape()函数是否会自动追踪任何能被训练的变量。默认是True。要是为False的话，意味着你需要手动去指定你想追踪的那些变量。

tape.watch()函数

tape.watch()用于跟踪指定类型的tensor变量。

由于GradientTape()默认只对tf.Variable类型的变量进行监控。如果需要监控的变量是tensor类型，则需要tape.watch()来监控，否则输出结果将是None

tape.gradient()函数

tape.gradient(target, source)

target：求导的因变量
source：求导的自变量

import tensorflow as tf

w = tf.constant(1.)
x = tf.constant(2.)
y = x * w

with tf.GradientTape() as tape:
    tape.watch([w])
    y = x * w

grads = tape.gradient(y, [w])
print(grads)