计算机图形学中的曲线问题——拉格朗日插值曲线绘制实践-Toy模板网

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拉格朗日插值曲线的绘制

限于篇幅，我们将在这篇文章中介绍拉格朗日插值曲线绘制实践，主文章链接：

GGN_2015
计算机图形学中的曲线问题

在主文章中我们已经介绍了拉格朗日插值函数的绘制方法。给定一个函数必须通过的点的集合，保证任意两点 $x$ 指不同，我们就能构造出一条拉格朗日插值函数。但是函数图象作为一种特殊的曲线，有着很多的我们不想要的约束，例如：

函数曲线上每个 $x$ 至多只有一个 $y$ 与之对应；
函数难以描述斜率不存在的位置；

因此，假如我们先要描述一条在平面甚至空间中任意“蜿蜒”的曲线，我们需要使用参数方程的方式。我们可以把平面上的参数方程理解成一个从 $\R$ 映射到 $R^2$ 的映射，每一个自变量 $t$ 对应着参数方程中的一个点对 $X_t, Y_t)$ 。

拉格朗日插值曲线的表示

假设我们希望我们的曲线能够依次通过 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2), \cdots, P_n(x_n, y_n)$ ，那么我们不妨定义一个这样的参数方程：
$M(t)=P_1\cdot f_1(t)+P_2\cdot f_2(t)\cdots +P_n\cdot f_n(t), t\in[1, n] \tag{1}$

其中 $f_i$ 的是一个在 $x = i$ 处取值为 $1$ ，在 $x\in\{1, 2, \cdots, n\} 且 x\neq i$ 时 $f_i(x)=0$ ，这种函数的构造方法在主文章中介绍过，在此不再赘述。 $(1)$ 式中，我们将 $P_i$ 与 $f_i(t)$ 依次对应相乘，这里的点 ‘ $\cdot$ ’ 表示数乘向量，其中 $P_i$ 是二维空间的点坐标，也就是一个二维向量， $f_i(t)\in \R$ 是一个实数。最终我们得到的 $M(t)\in \R^2$ 是一个二维向量，我们把它视为平面中的一个动点，这个动点的轨迹就是我们的插值曲线。

根据我们之前对一般的拉格朗日插值函数的介绍，我们可以得知：
$M(1)=P_1\cdot 1+P_2\cdot 0\cdots +P_n\cdot0=P_1\\ M(2)=P_1\cdot 0+P_2\cdot 1\cdots +P_n\cdot0=P_2\\ \vdots\\ M(n)=P_1\cdot 0+P_2\cdot 0\cdots +P_n\cdot1=P_n\\$

换言之，当 $t$ 从 $1$ 变化到 $n$ 的过程中参数方程曲线 $M (t)$ 能够依次通过 $P_1, P_2, \cdots, P_n$ 中的每一个点。下面给出了一个包含五个结点的拉格朗日插值函数的示例：

如何画出拉格朗日插值函数,数学,计算机图形学,算法导论,线性代数,算法,计算机图形学
我们会看到，上图中红色的曲线确实忠实地穿过了 $P_1, P_2, \cdots, P_5$ 这五个控制点，但是当我们改变其中一个点的坐标时，整条曲线都扭得很厉害，而这也正是插值曲线不适合做工业设计的原因。在大多数时刻我们都不仅需要曲线经过一些指定的定点，还希望曲线能在控制点变化时尽可能保持一个较为稳定的形态，否则我们将很难实现对曲线形状的自由控制。

但拉格朗日插值曲线也有它的优势，一方面他是插值曲线，能够通过指定的所有控制点，而拟合曲线只能近似通过某些控制点。另一方面就是拉格朗日插值曲线无穷阶可导连续，而这一点是一般的分段函数很难实现的。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-627980.html

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