一、空间直线的方程
1.1 空间直线的一般方程
空间直线
L
L
L 可以看做是两个平面
Π
1
\Pi_1
Π1 和
Π
2
\Pi_2
Π2 的交线，那么就可以用两个平面方程来表示这个直线：
{
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
z
+
D
1
=
0
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
z
+
D
2
=
0
(1)
\left\{ \begin{aligned} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{aligned} \right.\tag{1}
{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0(1)
这个叫做空间直线的一般方程。
1.2 对称式方程
如果一个非零向量平行于一条已知直线，那么这个向量就叫做直线的方向向量。要确定唯一的直线，还需要一个点。所以，已知直线
L
L
L 上的一点
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
M_0(x_0,y_0,z_0)
M0(x0,y0,z0) 和它的一个方向向量
s
=
(
m
,
n
,
p
)
s=(m,n,p)
s=(m,n,p) ，设点
M
(
x
,
y
,
z
)
M(x,y,z)
M(x,y,z) 是直线上的任意点，根据方向向量
s
=
(
m
,
n
,
p
)
s=(m,n,p)
s=(m,n,p) 与
M
0
M
→
=
(
x
−
x
0
,
y
−
y
0
,
z
−
z
0
)
\overrightarrow{M_0M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)
M0M=(x−x0,y−y0,z−z0) 平行的事实有：
x
−
x
0
m
=
y
−
y
0
n
=
z
−
z
0
p
(2)
\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}\tag{2}
mx−x0=ny−y0=pz−z0(2)
你也可以叫他点向式方程。一个直线可以由多个方向向量，具体的某一个就叫做方向数，对应方向向量的预先表示叫做这个直线的方向余弦。
PS：如果方向向量中有一个分量为零，那么应该用1代替0，且独立出一个零方程，如，m为零，那么方程应该理解为：
{
x
−
x
0
=
0
y
−
y
0
n
=
z
−
z
0
p
\left\{ \begin{aligned} x-x_0&=0\\ \frac{y-y_0}{n}&=\frac{z-z0}{p} \end{aligned} \right.
⎩
⎨
⎧x−x0ny−y0=0=pz−z0
1.3 参数方程
参数方程直接可以由公式
(
2
)
(2)
(2)变形得出：
x
−
x
0
m
=
y
−
y
0
n
=
z
−
z
0
p
=
t
(3)
\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t\tag{3}
mx−x0=ny−y0=pz−z0=t(3)
即：
{
x
=
x
0
+
m
t
,
y
=
y
0
+
n
t
,
z
=
z
0
+
p
t
,
\left\{ \begin{aligned} x&=x_0+mt,\\ y&=y_0+nt,\\ z&=z_0+pt, \end{aligned} \right.
⎩
⎨
⎧xyz=x0+mt,=y0+nt,=z0+pt,
二、空间直线与直线的夹角
在解析几何中，两个直线方向向量的夹角叫做两直线的夹角。和之前遇到的问题一样，向量之间的夹角通常是 ≤ 180 \le180 ≤180的，所以也需要取绝对值。
设直线
L
1
L1
L1
L
2
L2
L2的方向向量依次是
s
1
=
(
m
1
,
n
1
,
p
1
)
\bold{s_1}=(m_1,n_1,p_1)
s1=(m1,n1,p1) 和
s
2
=
(
m
2
,
n
2
,
p
2
)
\bold{s_2}=(m_2,n_2,p_2)
s2=(m2,n2,p2) ，所以直线的夹角余弦可以求得：
cos
φ
=
∣
m
1
m
2
+
n
1
n
2
+
p
1
p
2
∣
m
1
2
+
n
1
2
+
p
1
2
m
2
2
+
n
2
2
+
p
2
2
\cos\varphi=\frac{|m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}
cosφ=m12+n12+p12m22+n22+p22∣m1m2+n1n2+p1p2∣
从上面的公式可以推出以下结论：
- 两条直线 L 1 L1 L1 L 2 L2 L2相互垂直的条件为： m 1 m 2 + n 1 n 2 + p 1 p 2 = 0 m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2=0 m1m2+n1n2+p1p2=0
- 两条直线 L 1 L1 L1 L 2 L2 L2相互平行或重合的条件为： m 1 m 2 = n 1 n 2 = p 1 p 2 \frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2} m2m1=n2n1=p2p1
三、空间直线和平面的夹角
当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角 φ ∈ [ 0 , π 2 ] \varphi\in[0,\frac{\pi}{2}] φ∈[0,2π]称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时规定夹角为90度。我们设直线的方向向量为 s = ( m , n , p ) \bold{s}=(m,n,p) s=(m,n,p) ，平面的法向量为 n = ( A , B , C ) \bold{n}=(A,B,C) n=(A,B,C) ，设平面直线与其投影的夹角为 φ \varphi φ 。
如果
s
\bold{s}
s 和
n
\bold{n}
n 夹角为锐角那么：
φ
=
π
2
−
(
s
,
n
^
)
\varphi=\frac{\pi}{2}-(\widehat{\bold{s,n}})
φ=2π−(s,n
)
如果
s
\bold{s}
s 和
n
\bold{n}
n 夹角为钝角那么：
φ
=
(
s
,
n
^
)
−
π
2
\varphi=(\widehat{\bold{s,n}})-\frac{\pi} {2}
φ=(s,n
)−2π
写成一个式子则为：
φ
=
∣
π
2
−
(
s
,
n
^
)
∣
\varphi=|\frac{\pi}{2}-(\widehat{\bold{s,n}})|
φ=∣2π−(s,n
)∣
左右两边同时取正弦：
sin
φ
=
sin
∣
π
2
−
(
s
,
n
^
)
∣
\sin\varphi=\sin|\frac{\pi}{2}-(\widehat{\bold{s,n}})|
sinφ=sin∣2π−(s,n
)∣
也就是：
sin
φ
=
∣
cos
(
s
,
n
^
)
∣
\sin\varphi=|\cos(\widehat{\bold{s,n}})|
sinφ=∣cos(s,n
)∣
前面已经探讨过余弦的表达式：
sin
φ
=
∣
A
m
+
B
n
+
C
p
∣
A
2
+
B
2
+
C
2
m
2
+
n
2
+
p
2
\sin\varphi=\frac{|Am+Bn+Cp|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}
sinφ=A2+B2+C2m2+n2+p2∣Am+Bn+Cp∣
因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与法向量平行所以：
A
m
=
B
n
=
C
p
\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}
mA=nB=pC
是直线和平面垂直的条件。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-632608.html
因为直线在平面上或者平行相当于法向量与直线垂直，所以：
A
n
+
B
n
+
C
p
=
0
An+Bn+Cp=0
An+Bn+Cp=0文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-632608.html
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